2020-2021学年北师大版八年级数学下册第四章因式分解的专题突破训练（Word版,附答案解析）

2021年北师大版八年级数学下册第4章因式分解的应用专题突破训练（附答案）
1．已知a＝2b﹣5，则代数式a2﹣4ab+4b2﹣5的值是（　　）
A．﹣30 B．20 C．﹣10 D．0
2．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x+2023的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
3．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（　　）
A．2 B．5 C．20 D．9
4．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．6
5．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
7．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
8．已知a2+b2＝2a﹣b﹣2，则3a﹣b的值为（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
9．若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
10．当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能（　　）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
11．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是：　 　；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2； B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； C．a2+ab＝a（a+b）．
（2）应用：利用所选（1）中等式两边的等量关系，完成下面题目：
若x+4y＝6，x﹣4y＝5，则x2﹣16y2+64的值为　 　．
12．已知△ABC的三边的长分别是a，b，c，且满足a2+2b2﹣2b（a+c）+c2＝0，判断此三角形的形状为　 　．
13．若a2+2b2+5c2＝4bc﹣2ab+2c﹣1，则a﹣b+c的值是　 　．
14．如果a+4＝b，那么8b﹣b2+a2＝　 　．
15．已知x2+x﹣2＝0，则代数式x3+2020x2+2017x+2＝　 　．
16．若a﹣b＝﹣2，则a2﹣ab+2b＝　 　．
17．若2x﹣y＝3，xy＝3，则y2+4x2＝　 　．
18．若n为正整数，（2n+1）2﹣25的值一定能被3、4、5这三个数中的　 　整除．
19．若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值　 　．
20．如果a2﹣2a＝0，则2a2020﹣4a2019+2020的值为　 　．
21．定义：对于整数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，结果能被15整除，则称n为15的“亲和数”，如4是15的“亲和数”，因为4+5+6＝15，15能被15整除；﹣7不是15的“亲和数”，因为（﹣7）+（﹣6）+（﹣5）＝﹣18，﹣18不能被15整除．
（1）填空：﹣16　 　15的“亲和数”（填“是”还是“不是”）；
（2）求出1到2021这2021个整数中，是15的“亲和数”的个数；
（3）当n在﹣10到10之间时，直接写出使2n+3是15的“亲和数”的所有n的值．
22．a、b、c是△ABC的三边，且有a2+b2＝4a+10b﹣29．
（1）求a、b的值．
（2）若c为整数，求c的值．
（3）若△ABC是等腰三角形，求这个三角形的周长．
23．阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足c2a2﹣c2b2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵c2a2﹣c2b2＝a4﹣b4，
∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）﹣﹣（A）
∴c2＝a2+b2﹣﹣（B）
∴△ABC是直角三角形﹣﹣（C）
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　 　；
（2）错误的原因为：　 　；
（3）从错误的那一步起写出正确完整过程．
24．如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）．
（1）请用不同的式子表示图丁的面积（写出两种即可）；
（2）根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．
25．我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），
所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7×（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）．
但小白在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式．
x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42
＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．
这种在二次三项式x2+6x﹣7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．
（1）请使用小白发现的方法把x2﹣8x+7分解因式；
（2）填空：x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+　 　+9y2﹣　 　＝（x﹣5y）2﹣16y2
＝（x﹣5y）2﹣（　 　）2＝[（x﹣5y）+　 　][（x﹣5y）﹣　 　]
＝（x﹣y）（x﹣　 　）；
（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx﹣13m2．
26．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式：　 　．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）
27．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y+2）
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
28．阅读理解：
材料1：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了：
x2﹣4y2﹣2x+4y
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．
材料2：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n
＝x3﹣n2x﹣x+n
＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）
＝x（x+n）（x﹣n）﹣（x﹣n）
＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）
解决问题：（1）分解因式：①a2﹣4a﹣b2+4；
②x3﹣5x+2．
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
参考答案
1．解：已知式子a＝2b﹣5变形为a+2b＝﹣5，
∴a2﹣4ab+4b2﹣5＝（a﹣2b）2﹣5＝52﹣5＝20．故选：B．
2．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴2x3﹣7x2+4x+2023＝2x（x2﹣2x﹣1）﹣3（x2﹣2x﹣1）+2020
＝2x×0﹣3×0+2020＝0+0+2020＝2020，故选：A．
3．解：a2+2ab+b2﹣c2＝10，
（a+b）2﹣c2＝10，
（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，
∵a+b+c＝5，
∴5（a+b﹣c）＝10，
解得a+b﹣c＝2．
故选：A．
4．解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）
＝（ab﹣1）（a+b）
将a+b＝3，ab＝1代入，得
原式＝0．
故选：B．
5．解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝
＝
＝＝＝3，
故选：D．
6．解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵a+b﹣c≠0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
则△ABC为等腰三角形．
故选：C．
7．解：∵x2+x＝1，
∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2020＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2020
＝x2+x3﹣x2﹣2x+2020＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2020＝x﹣x2﹣2x+2020
＝﹣x2﹣x+2020＝﹣（x2+x）+2020＝﹣1+2020＝2019．
故选：A．
8．解：∵a2+b2＝2a﹣b﹣2，
∴a2﹣2a+1+b2+b+1＝0，
∴，
∴a﹣1＝0，b+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴3a﹣b＝3+1＝4．
故选：A．
9．解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），
∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，
∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c﹣2）2＝0，
∴b+c＝2，
故选：D．
10．解：（n+1）2﹣（n﹣3）2＝n2+2n+1﹣n2+6n﹣9＝8n﹣8＝8（n﹣1），
∴能被8整除，
故选：D．
11．解：（1）图一剩余部分面积＝a2﹣b2
图二的面积＝（a+b）（a﹣b）
故有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故选：B．
（2）∵x+4y＝6，x﹣4y＝5．
∴x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y）＝30．
∴x2﹣16y2+64的值为94．
故答案为：94．
12．解：∵a2+2b2﹣2b（a+c）+c2＝0，
∴a2+2b2﹣2ab﹣2bc+c2＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（c2﹣2bc+b2）＝0，
∴（a﹣b）2+（c﹣b）2＝0，
∴a﹣b＝0，c﹣b＝0，
∴a＝b，c＝b，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边三角形
13．解：∵a2+2b2+5c2＝4bc﹣2ab+2c﹣1，
∴a2+2b2+5c2﹣4bc+2ab﹣2c+1＝0，
∴（a+b）2+（b﹣2c）2+（c﹣1）2＝0，
∴a+b＝0，b﹣2c＝0，c﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝2，c＝1，
∴a﹣b+c＝﹣3，
故正确答案为：﹣3．
14．解：方法一：∵a+4＝b，
∴a＝b﹣4，
将a＝b﹣4代入所求式子，可得，
8b﹣b2+a2＝8b﹣b2+（b﹣4）2＝8b﹣b2+b2﹣8b+16＝16．
方法二：∵a+4＝b，
∴a＝b﹣4，
∴8b﹣b2+a2
＝﹣（b2﹣8b+16﹣16）+a2＝﹣（b﹣4）2+a2+16＝﹣a2+a2+16＝16．
15．解：∵x2+x﹣2＝0，
∴x2＝2﹣x，x2+x＝2，
∴x3+2020x2+2017x+2
＝x?x2+2020x2+2020x﹣3x+2＝x（2﹣x）+2020（x2+x）﹣3x+2
＝2x﹣x2+2020×2﹣3x+2＝﹣（x2+x）+4040+2＝﹣2+4040+2＝4040．
故答案为：4040．
16．解：∵a﹣b＝﹣2，
∴a2﹣ab+2b＝a（a﹣b）+2b＝﹣2a+2b＝﹣2（a﹣b）＝4．
故答案为：4．
17．解：∵2x﹣y＝3，
∴（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2＝9，
∵xy＝3；
∴y2+4x2＝9+4xy＝21；
故答案为：21．
18．解：原式＝（2n+1+5）（2n+1﹣5）＝（2n+6）（2n﹣4）＝4（n+3）（n+2），
∵n为正整数，
∴结果一定能被4整除，
故答案为4．
19．解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴m2﹣n2＝n﹣m，
∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，
∵m≠n，
∴m+n＝﹣1，
∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴m2﹣n＝2020，n2﹣m＝2020，
∴原式＝m3﹣mn﹣mn+n3
＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）＝2020m+2020n＝2020（m+n）＝2020×（﹣1）＝﹣2020．
故答案为：﹣2020．
20．解：原式＝2a2018（a2﹣2a）+2020，
∵a2﹣2a＝0，
∴原式＝2a2018×0+2020＝2020，
故答案为：2020．
21．解：（1）∵（﹣16）+（﹣15）+（﹣14）＝﹣45．
∴﹣45能够被15整除，故﹣16是15的“亲和数”．
故答案为：是．
（2）根据定义若数n是15的“亲和数”，则有：＝．
∴当1到2021这2021个整数中，若n是15的亲和数，n的个位必定是4或者是9．
∴1到2021这2021个整数中，是15的“亲和数”的个数为：404个．
（3）n在﹣10到10之间时，使2n+3是15的“亲和数”．
∴2n+3＝4或2n+3＝9或2n+3＝﹣6．
∴n＝．
22．（1）∵a2+b2＝4a+10b﹣29，
∴a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0．
∴a2﹣4a+4+b2﹣10b+25＝0．
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0．
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0．
解得a＝2，b＝5．
（2）∵a＝2，b＝5，根据三角形三边关系，
∴3＜c＜7．
∵c为整数，
∴c的值为4，5，6．
（2）当△ABC是等腰三角形时，a＝2，b＝c＝5，此时，该三角形的周长为2+5+5＝12．
23．解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a＝b的情况，
故答案为：没有考虑a＝b的情况；
（3）∴（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0
∴a2﹣b2＝0或c2﹣（a2+b2）＝0
∴a＝±b（﹣b舍去）或c2＝a2+b2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形
24．解：（1）①S＝x2+3xy+2y2，
②S＝x（x+y）+2y（x+y）；
（2）（x+y）（x+2y）．
25．解：（1）x2﹣8x+7＝x2﹣8x+16+7﹣16＝（x﹣4）2﹣9
＝（x﹣4）2﹣32＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）＝（x﹣1）（x﹣7）；
（2）x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+25y2+9y2﹣25y2＝（x﹣5y）2﹣16y2
＝（x﹣5y）2﹣（4y）2＝[（x﹣5y）+4y][（x﹣5y）﹣4y]＝（x﹣y）（x﹣9y）；
故答案为：25y2，25y2，4y，4y，4y，9y；
（3）方法1：原式＝x2+[13m+（﹣m）]x+13m?（﹣m）＝（x+13m）（x﹣m）；
方法二：原式＝x2+12mx+36m2﹣13m2﹣36m2＝（x+6m）2﹣49m2
＝（x+6m+7m）（x+6m﹣7m）＝（x+13m）（x﹣m）．
26．解：（1）根据图形可知，大正方形的边长为a+b+c，则其面积为（a+b+c）2，
各部分面积和可表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝144﹣94＝50；
（3）根据题意作图如下：
27．解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）
＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）
＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；
（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴（a+b）﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
得a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
28．解：（1）①a2﹣4a﹣b2+4＝a2﹣4a+4﹣b2＝（a﹣2）2﹣b2＝（a+b﹣2）（a﹣b﹣2）；
②x3﹣5x+2＝x3﹣4x﹣x+2＝（x3﹣4x）﹣（x﹣2）＝x（x2﹣4）﹣（x﹣2）
＝x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝x（x﹣2）（x2+2x﹣1）；
（2）a2﹣ab﹣ac+bc＝0，
∴a2﹣ab﹣（ac﹣bc）＝0，
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0，或者a﹣c＝0，
即：a＝b，或者a＝c，
∴△ABC是等腰三角形