(共27张PPT)
高中数学人教A版必修五
第二章
数列
2.3
数列的概念与简单表示法（第一课时）
（1）庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
发现问题：大家在分段过程中会什么发现？
…
木棒
情景导入
（2）请同学们看一则城市新闻报道：
“为创建生态旅游大县，市政府今年投资20万元进行城市绿化建设，在境内省道线50公理的路段上种植树木，从金家岭开始每隔10米种一棵树，以增加城市绿化面积，另外打算今后每年比上一年增加5万元进行城市绿化改造.为支持家乡建设事业发展，市职高某班的全体同学（1—58号）踊跃报名参加了义务植树活动······”
提出问题：请同学们说说这篇报道中出现的几列数
（学生讨论并回答）
（1）20，25，30，35，40，45，
··；·
（3）1，2，3，5，6，···，58。
（2）10，20，30，···，5000；（10，10，10，···，10）
1.理解数列及其有关概念.
2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.
3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．
教学目标
每一个数
第一位
{an}
自主学习
类别
含义
按项的
个数
有穷数列
项数
的数列
无穷数列
项数
的数列
按项的
变化趋
势
递增数列
从第2项起，每一项都
它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都
它的前一项的数列
常数列
各项
的数列
摆动数列
从第2项起，有些项
它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
有限
无限
大于
小于
相等
大于
序号n
定义域
(或它的有限子集{1,2,3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
自变量
时对应的一列函数值构成
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)
法；
(3)
法
正整数集N
从小到大依次取值
列表
图象
问题1
数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
不是．顺序不一样．
合作探究
数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．
问题2
数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？
100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项an＝n，从而第100项应为100.
问题3
数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？
如图，数列可以看成以正整数集N
(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
不同之处是定义域，数列中的n必须是
从1开始且连续的正整数，函数的定义
域可以是任意非空数集．
问题4
数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
(1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类．
思考5
对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？
例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
探究点1 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，
数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：
(3)9,99,999,9
999；
各项加1后，变为10,100,1
000,10
000，…，此数列的通项公式为10n，
可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N
.
(4)2,0,2,0.
这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，
所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N
.
要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系．
名师点评
探究点2 数列的通项公式的应用
例2 已知数列{an}的通项公式an＝
(1)写出它的第10项；
变式探究
对于例2中的{an}．
(1)求an＋1；
(2)求a2n.
名师点评
在通项公式an＝f(n)中，an相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．
1.下列叙述正确的是
A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3，…可以表示为{n}
C.数列0,1,0,1，…是常数列
1
2
3
√
当堂训练
1
2
3
2.数列2,3,4,5，…的一个通项公式为
A.an＝n，n∈N
B.an＝n＋1，n∈N
C.an＝n＋2，n∈N
D.an＝2n，n∈N
√
这个数列的前4项都比序号大1，
所以，它的一个通项公式为an＝n＋1，n∈N
.
1
2
3
1
1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.
(2)可重复性：数列中的数可以重复.
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关.
2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.
3.如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.
课堂小结2.1 数列的概念与简单表示法（一）
【教学目标】
1.理解数列及其有关概念.
2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.
3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.1 数列的概念与简单表示法（一）》课件“情景导入”部分，思考相关问题.通过互相交流，引导学生进入本节课的学习过程.
二、自主学习
教材整理1 数列的定义及分类
阅读教材P28～P29第10行，完成下列问题．
1．数列的概念及一般形式
2．数列的分类
类别
含义
按项的
个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的
变化趋
势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
教材整理2 数列与函数的关系
阅读教材P29第11行～P30倒数第3行，完成下列问题．
1．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
2．数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域
正整数集N
(或它的有限子集{1,2,3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法
三、合作探究[
问题1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
提示：不是．顺序不一样．
问题2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？
提示：数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．
问题3 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？
提示：100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项an＝n，从而第100项应为100.
问题4 数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
提示：如图，数列可以看成以正整数集N
(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)
当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
问题5 对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？
提示：(1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类．
探究点1 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－，，－；(2)，2，，8，；
(3)9,99,999,9999；(4)2,0,2,0.
提示：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N
.
(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，
所以它的一个通项公式为an＝，
n∈N
.
(3)各项加1后，变为10,100,1000，10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N
.
(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N
.
名师点评：要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系．
探究点2 数列的通项公式的应用
例2 已知数列{an}的通项公式an＝
(1)写出它的第10项；
(2)判断是不是该数列中的项．
提示：(1)
a10＝＝.
(2)令＝，
化简得8n2－33n－35＝0，
解得n＝5(n＝－，舍去)．
当n＝5时，a5＝－≠.
所以不是该数列中的项．
变式探究
对于例2中的{an}．
(1)求an＋1；
(2)求a2n.
提示：
(1)
an＋1＝＝.
(2)
a2n＝＝.
名师点评：在通项公式an＝f(n)中，an相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．
四、当堂检测
1．下列叙述正确的是( )
A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}
C．数列0,1,0,1，…是常数列
D．数列{}是递增数列
2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A．an＝n，n∈N
B．an＝n＋1，n∈N
C．an＝n＋2，n∈N
D．an＝2n，n∈N
3．已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N
，则a1＝________；an＋1＝________.
提示：1．D 2.B
3．1
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
六、课例点评
本节课准确把握了章起始课的定位，紧紧围绕为什么学、学什么以及怎样学的问题展开，从实际情境引入，巧妙引发所要探究的问题，通过有效的数学情景递进探究，一线串珠式的使学生从直观感知——动手提炼——理解本质——动态生成——总结升华层层深入了解本章知识结构，既体现数学知识在探究过程中的自然生成过程，又与学生的认知过程相吻合，充分体现了新课改的基本理念.有如下特色：
1.准确定位教学目标，教学编排一线串珠
本节课通过环环相扣的教学环节，不仅让学生明白了学习数列的重要意义，而且对数列将要学习的主要内容及知识框架有了大致了解，更重要的是通过本节课的学习让学生对数列的主要特点及学习方法有了初步感知，为后续学习做好了充足的心理准备，唤起了学生对本章学习的强烈期待。在具体问题的处理上把主要精力用于引导学生了解数列研究对象及怎样学习数列这两个方面，可谓重点突出，详略得当。
2.精心创设有效情景，知识体系自然建构
第斯惠说：“教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”
本节课的亮点就是在章节起始课中从学生熟悉的情景入手，立足学生最近发展区，尝试创设新颖的问题情境，引导学生主动分析问题背景，从中发现体会数学知识在实际生活中的运用，并在主动质疑中巧妙生成本节课要重点探究的问题，既增强了学生学习数学的兴趣，领悟到学习数学的价值，又体现了学以致用，发展了学生的数学应用意识。
3.展开适度探究模式，协作交流相得益彰
本节课坚持以问题为导引，着力整体概貌的介绍，让学生体验感知数列学习的主要特点但又巧妙规避了对这些内容的具体深入，可谓引而不发，通过有效留白，激发了学生好奇心与求知欲。本节课的教学过程就是学生自主合作学习的过程，教师采用提问、学生自主讨论、小组讨论、展示交流等多种方式促使学生合作学习.教学中教师把联系与思考的过程与合作学习结合起来，与交流、讨论结合起来，学生自主建构的知识与能力的效率无疑得到明显提高。(共23张PPT)
高中数学人教A版必修五
第二章
数列
2.1
数列的概念与简单表示法（第二课时）
情景导入:
(中国古题)
浮屠增级歌
远看巍巍塔七层
红光点点倍加倍
共灯三百八十一
请问尖头几盏灯
选自明.程大位<<算法统宗>>
宝塔古称浮屠.
本题是说有一七层宝塔,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,问塔顶有几盏灯?
1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.
2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．
教学目标
递推
自主学习
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项
(或前几项)之间的关系
表示an与
之间的关系
联系
(1)都是表示
的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
an－1
n
数列
问题1
(1)已知数列{an}的首项a1＝1，且有an＝3an－1＋2(n>1，n∈N
)，则a4＝____.
(2)
已知数列{an}中，a1＝a2＝1，且有an＋2＝an＋an＋1(n∈N
)，则a4＝___.
53
3
合作探究
问题2
我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列，那么通项公式和递推公式有什么不同呢？
通项公式和递推公式都是表示数列的方法．已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项．
问题3
以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
①通项公式法：an＝2n.
③列表法：
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…
④图象法：
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．
探究点1 数列的函数特性
如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)．
数列的通项公式不外乎把常见的函数式中的x换成n，且n∈N
，所以善于利用我们熟知的一些基本函数，通过合理的联想、转化，从而达到解决问题的目的．
名师点评
探究点2 数列的递推公式
命题角度1 由递推公式求前若干项
写出这个数列的前5项．
故{an}是周期为4的数列．
递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否有规律性．
名师点评
n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋
＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也适合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.
命题角度2 由递推公式求通项
例3 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N
)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；
a1＝1也适合上式，
名师点评
1.数列1,3,6,10,15，…的递推公式是
A.an＋1＝an＋n，n∈N
B.an＝an－1＋n，n∈N
，n≥2
C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N
D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N
，n≥2
√
1
2
3
由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，
a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，n∈N
，n≥2，故选B.
当堂测试
1
2
3
2.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N
)，则此数列的通项an等于
A.n2＋1
B.n＋1
C.1－n
D.3－n
√
∵an＋1－an＝－1.
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
1
2
3
3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，
a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1，n∈N
.
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_________________.
an＝2n＋1，n∈N
1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.
2.数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.
3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
课堂小结2.1 数列的概念与简单表示法（二）
【教学目标】
1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.
2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.1 数列的概念与简单表示法（二）》课件“情景导入”部分，让学生与大家分享自己的了解。通过互相交流，引入本节课要学习的数列知识.
二、自主学习
教材整理 数列的递推公式
阅读教材P30最后一行～P31例3，完成下列问题．
1．数列递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的第1项(或前n项)；
②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．
2．数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系
表示an与n之间的关系
联系
(1)都是表示数列的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
三、合作探究面
问题1 (1)已知数列{an}的首项a1＝1，且有an＝3an－1＋2(n>1，n∈N
)，则a4＝________.
(2)
已知数列{an}中，a1＝a2＝1，且有an＋2＝an＋an＋1(n∈N
)，则a4＝________.
提示：(1)53 (2)3
问题2我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列，那么通项公式和递推公式有什么不同呢？
提示：通项公式和递推公式都是表示数列的方法．已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项．
问题3以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
提示：①通项公式法：an＝2n.
②递推公式法：
③列表法：
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…
④图象法：
探究点1 数列的函数特性
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．
提示：
如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)．
探究点2 数列的递推公式
命题角度1 由递推公式求前若干项
例2 设数列{an}满足
写出这个数列的前5项．
提示：由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，
a5＝1＋＝1＋＝.
变式探究
数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，求a2016.
提示：a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1.
故{an}是周期为4的数列．
∴a2016＝a4×503＋4＝a4＝.
命题角度2 由递推公式求通项
例3 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N
)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；
(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N
)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N
)，求通项an.
提示：(1)n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也适合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.
(2)n≥2时，
an＝a1···…·
＝1···…·＝.
a1＝1也适合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝.
四、当堂检测
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N
B．an＝an－1＋n，n∈N
，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N
，n≥2
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N
)，则此数列的通项an等于( )
A．n2＋1B．n＋1C．1－nD．3－n
3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
提示：1．B
2．D [∵an＋1－an＝－1.
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…
＋(an－an－1)
＝2＋
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.]
3．an＝2n＋1，n∈N
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.
2.数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.
3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
