2021高考物理挑战压轴题 专题五：万有引力定律、卫星模型

专题五：万有引力定律、卫星模型

1．万有引力定律的规律和应用
(1)在处理天体的运动问题时，通常把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需要的向心力由万有引力提供．基本关系式为G＝m＝mω2r＝m()2r＝m(2πf)2r.
在天体表面，忽略自转的情况下有G＝mg.
(2)卫星的绕行速度v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系
由G＝m，得v＝，则r越大，v越小．
由G＝mω2r，得ω＝，则r越大，ω越小．
由G＝mr，得T＝，则r越大，T越大．
(3)卫星变轨
由低轨变高轨，需加速，稳定在高轨道上时速度比在低轨道小；由高轨变低轨，需减速，稳定在低轨道上时速度比在高轨道大．
(4)宇宙速度
第一宇宙速度：
由mg＝＝得：
v1＝＝＝7.9 km/s.
第一宇宙速度是人造地球卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．
第二宇宙速度：v2＝11.2 km/s，是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
题型一：匀变速直线运动规律的应用
类型1　万有引力定律的应用
1．天体质量和密度的求解
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.
(2)利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力提供向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝.
2．变轨问题
(1)点火加速，v突然增大，G (2)点火减速，v突然减小，G>m，卫星将做近心运动．
(3)同一卫星在不同圆轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．
(4)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．
例1　(2019·陕西榆林市第三次测试)2019年3月10日我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将“中星6C”卫星发射升空，卫星进入预定轨道，它是一颗用于广播和通信的地球静止轨道通信卫星，假设该卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A．同步卫星运动的周期为2π
B．同步卫星运行的线速度为
C．同步轨道处的重力加速度为()2g
D．地球的平均密度为
答案　C
解析　地球同步卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动，万有引力提供向心力，有：＝m，在地球表面附近，重力等于万有引力，有：mg＝，故同步卫星运动的周期为：T＝2π，故A错误；根据万有引力提供向心力，有：＝m，解得同步卫星运行的线速度为：v＝，故B错误；根据万有引力提供向心力，有：G＝mg′，解得g′＝()2g，故C正确；由mg＝得：M＝，故地球的平均密度为：ρ＝＝，故D错误．
拓展训练1　(2019·山东泰安市第二轮复习质量检测)2019年1月3日，嫦娥四号月球探测器成功软着陆在月球背面，成为人类历史上第一个在月球背面成功实施软着陆的人类探测器．如图10所示，已关闭动力的探月卫星在月球引力作用下沿椭圆轨道(图中只画了一部分)向月球靠近，并在B处变轨进入半径为r、周期为T的环月圆轨道运行．已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　)

图10
A．图中探月卫星飞向B处的过程中速度越来越小
B．图中探月卫星飞向B处的过程中加速度越来越小
C．由题中条件可以计算出探月卫星受到月球的引力大小
D．由题中条件可以计算出月球的质量
答案　D
解析　探月卫星飞向B处时，万有引力增大，做正功，探月卫星动能增大，加速度增大，A、B选项错误；由于探月卫星质量未知，无法计算出探月卫星受到月球的引力大小，C选项错误；由＝m()2r可得：M＝，D选项正确．
拓展训练2　(2019·安徽A10联盟开年考)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图11所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是(　　)

图11
A．两颗恒星相距
B．恒星A与恒星B的向心力之比为3∶1
C．恒星A与恒星B的线速度之比为1∶3
D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为∶1
答案　A
解析　两恒星做匀速圆周运动的向心力来源于两恒星的万有引力，所以向心力大小相等，即MrA＝3MrB，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA∶rB＝3∶1，故选项B、D错误；设两恒星相距L，则rA＋rB＝L，rA＝L，根据牛顿第二定律：MrA＝G，解得L＝ ，选项A正确；由v＝r得，恒星A与恒星B的线速度之比为3∶1，选项C错误．
例2　(2019·山西临汾市二轮复习模拟)质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep＝－G，其中G为引力常量，M为地球质量．该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其做圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为(　　)
A．GMm(－) B．GMm(－)
C.(－) D.(－)
答案　C
解析　卫星做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则：
轨道半径为R1时＝m①
卫星的引力势能为Ep1＝－②
轨道半径为R2时＝m③
卫星的引力势能为Ep2＝－④
设因摩擦而产生的热量为Q，根据能量守恒定律得：
mv12＋Ep1＝mv22＋Ep2＋Q⑤
联立①②③④⑤得Q＝(－)，故C正确．
拓展训练3　(2019·福建宁德市5月质检)2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片在全球六地的视界面望远镜发布会上同步发布．该黑洞半径为R，质量M和半径R的关系满足：＝(其中c为光速，G为引力常量)．若天文学家观测到距黑洞中心距离为r的天体以速度v绕该黑洞做匀速圆周运动，则(　　)
A．该黑洞质量为
B．该黑洞质量为
C．该黑洞的半径为
D．该黑洞的半径为
答案　C
解析　天体受到的黑洞的万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力，则：G＝m，得M＝，故A、B错误；又黑洞的质量M和半径R的关系满足：＝，则有R＝，故C正确，D错误．
类型2　应用万有引力定律解决“新情景”问题
解题的关键是把实际问题模型化，即建立天体的环绕运动模型，然后利用天体运动的有关规律分析和解决问题．
例1　(2019·重庆市第三次调研抽测)2018年2月6日，“猎鹰”重型火箭将一辆特斯拉跑车发射到太空．假设其轨道示意图如图12中椭圆Ⅱ所示，其中A、C分别是近日点和远日点，图中Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力， 则以下说法正确的是(　　)

图12
A．跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率
B．跑车经过B点时的加速度大于火星经过B点时的加速度
C．跑车在C点的速率一定大于火星绕日的速率
D．跑车由A到C的过程中动能减小，机械能也减小
答案　A
解析　由题意知G＝m，解得：v＝，因地球轨道半径小于火星的轨道半径，故地球的线速度大于火星的线速度；若跑车从Ⅰ轨道的A点变轨至Ⅱ轨道的A点，需要加速，故跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率，故A正确；根据牛顿第二定律得：G＝ma，解得：a＝，跑车与火星在B点离太阳的距离一样，故加速度相同，故B错误；跑车由A到C的过程中万有引力做负功，动能减少，势能增加，机械能守恒，故D错误；跑车在轨道Ⅱ上C点的速率小于其过C点绕太阳做匀速圆周运动的速率，又跑车在C绕太阳做匀速圆周运动的速率小于火星绕日的速率，故C错误．
拓展训练1　(2019·湖北武汉市四月调研)如图13为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道．已知地球的半径R＝6 400 km，该图中MEO卫星的周期为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)(　　)

图13
A．3 h B．8 h C．15 h D．20 h
答案　A
解析　GEO是地球同步轨道，则周期为TG＝24 h；根据开普勒第三定律可知，＝，则TM＝TG＝×24 h＝3 h，故选A.
拓展训练2　 (2019·福建龙岩市5月模拟)我国计划发射“人造月亮”，届时天空中将会同时出现月亮和“人造月亮”．月亮A和“人造月亮” B绕地球(球心为O)的运动均可视为匀速圆周运动，如图14所示，设∠BAO＝θ，运动过程中θ的最大正弦值为p，月亮绕地球运动的线速度和周期分别为v1和T1，“人造月亮”绕地球运动的线速度和周期分别为v2和T2，则(　　)

图14
A.＝，＝ B.＝，＝
C.＝，＝ D.＝，＝
答案　A
解析　由题图知，当AB的连线与“人造月亮”的轨道圆相切时，θ最大，有最大正弦值为p，根据几何关系可得sin θ＝＝p.根据万有引力提供向心力G＝m可得：v1＝，v2＝，由G＝mr得：T1＝，T2＝，所以＝＝，＝＝，故A正确，B、C、D错误．
考题预测
一、选择题
1.2020年11月24日4时30分，在我国文昌航天发射场，长征五号运载火箭顺利将“嫦娥五号”探测器送入预定轨道。此次“嫦娥五号”探测器将执行月球采样返回任务，完成我国探月工程“绕、落、回”三步走中的最后一步——“回”，其过程大致如下：着陆器在月球表面采样后，将样品转运到上升舱，上升舱点火从月表发射，与在近月轨道上等待的返回舱对接，返回舱再次点火，从而摆脱月球的引力束缚返回地球。请利用以下表格给出的相关数据，估算上升舱的发射速度至少为（?? ）
地球
月球
质量
5.97×1024
7.35×1022
半径
6400
1738
公转周期（天）
365
27
自转周期（天）
1
27
引力常量 G=6.67×10?11
A.?7.9km/s???????????????????????????B.?11.2km/s???????????????????????????C.?1.7km/s???????????????????????????D.?2.4km/s
2.征途漫漫，星河璀璨，2021年2月10日，“天问一号”成功被火星捕获，进入环火星轨道。探测器被火星俘获后经过多次变轨才能在火星表而着陆。若探测器在半径为r的轨道1上绕火星做圆周运动，动能为Ek变轨到轨道2上做圆周运动后，动能增加了 ΔE ，则轨道2的半径为（?? ）
A.?EkEk+ΔEr?????????????????????????????B.?ΔEEk+ΔEr?????????????????????????????C.?Ek+ΔEΔEr?????????????????????????????D.?EkΔEr
3.2020年10月，我国成功地将高分十三号光学遥感卫星送入地球同步轨道。已知地球半径为R，地球的第一宇宙速度为v，光学遥感卫星距地面高度为h，则该卫星的运行速度为（? ）
A.?RR+?v???????????????????????????????B.?RR+?v???????????????????????????????C.?R+?Rv???????????????????????????????D.?R+?Rv
4.2020年11月24日4时30分，在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器。嫦娥五号探测器在经过月面着陆、自动采样、月面起飞、月轨交会对接、再入返回等多个难关后，于2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆。如图所示是嫦娥五号探测器到达月面之前的两个轨道，轨道I为环月圆轨道，轨道II是椭圆轨道，其中B为近月点，A为远月点。下列说法正确的是（?? ）
A.?嫦娥五号探测器在轨道II上A点的速度大于在B点的速度
B.?嫦娥五号探测器在轨道II运动的周期大于在轨道I运动的周期
C.?嫦娥五号探测器从轨道I变轨到轨道II，机械能增加
D.?嫦娥五号探测器在轨道I上运动到A点时的加速度等于在轨道II上运动到A点时的加速度
5.2020年12月17日，“嫦娥五号”从月球上取土归来，完成了中国航天史上一次壮举。探测器在月球表面完成取土任务返回地球升空时，在火箭推力作用下离开月球表面竖直向上做加速直线运动。一质量为m的物体，水平放置在探测器内部的压力传感器上，当探测器上升到距月球表面高度为月球半径的 14 时，探测器的加速度大小为a，压力传感器的示数为F。已知引力常量为G，不计月球的自转，则月球表面的重力加速度大小为（?? ）
A.?4(F?ma)5m?????????????????????????B.?16(F?ma)25m?????????????????????????C.?5(F?ma)4m?????????????????????????D.?25(F?ma)16m
6.假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回地面，上升的最大高度为h。已知月球半径为R、万有引力常量为G，不计一切阻力。则月球的密度为（?? ）
A.?3π?4Rt2?????????????????????????????????B.?6π?GRt2?????????????????????????????????C.?6?GπRt2?????????????????????????????????D.?8π?3GRt2
7.中国首次火星探测任务“天问一号”已于2021年2月10日成功环绕火星。火星公转轨道半径是地球公转轨道半径的 32 ，火星的半径为地球半径的 12 ，火星的质量为地球质量的 19 ，火星探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动（探测器可视为火星的近地卫星），探测器绕火星运行周期为T，已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，地球和火星可看作均匀球体，则（?? ）
A.?火星的公转周期和地球的公转周期之比为 2333
B.?火星的自转周期和地球的自转周期之比为 3323
C.?探测器环绕火星表面运行速度与环绕地球表面运行速度之比为 29
D.?火星的平均密度为 3πGT2
8.2018年6月14日11时06分，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成为世界首颗成功进入地月拉格朗日 L2 点的 Halo 使命轨道的卫星，为地月信息联通搭建“天桥”．如图所示，该 L2 点位于地球与月球连线的延长线上，“鹊桥”位于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动．已知地球、月球和“鹊桥”的质量分别为 Me 、 Mm 、m，地球和月球之间的平均距离为R， L2 点离月球的距离为x，不计“鹊桥”对月球的影响，则（?? ）
A.?“鹊桥”的线速度大于月球的线速度??????????????????B.?“鹊桥”的向心加速度小于月球的向心加速度
C.?x满足 Me(R+x)2+Mmx2=MeR3(R+x)?????????????????????D.?x满足 Me(R+x)2+Mex2=MeR3(R+x)
9.2020年7月23日“天问一号”火星探测器成功发射，开启了火星探测之旅，迈出了我国行星探测第一步.“天问一号”将完成“绕、落、巡”系列步骤.假设在着陆前，“天问一号”距火星表面高度为h，绕火星做周期为T的匀速圆周运动，已知火星半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（??? ）
A.?火星的平均密度为 3πGT2????????????????????????????????????B.?“天问一号”圆周运动的角速度大小为 2πT
C.?火星表面重力加速度为 4π2RT2????????????????????????????D.?“天问一号”圆周运动的线速度大小为 2π(R+?)T
10.“嫦娥之父”欧阳自远透露：我国计划于2020年登陆火星。假如某志愿者登上火星后将一小球从高h 处以初速度的水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知火星半径为R，万有引力常量为G，不计空气阻力，不考虑火星自转，则下列说法正确的是（?? ）
A.?火星表面的重力加速度 g=?v02L2??????????????????????????B.?火星的第一宇宙速度为 v=v0L2?R
C.?火星的质量为 M=2?v02R2GL2????????????????????????????????D.?火星的平均密度为 3?v022πGL
11.飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，P对该星球的张角为 θ ，如图所示。下列说法中正确的是（?? ）
A.?轨道半径越大，周期越小
B.?张角越大，速度越大
C.?若测得周期和星球相对飞行器的张角，则可得到星球的平均密度
D.?若测得周期和轨道半径，则可得到星球的平均密度
12.“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（?? ）
A.?月球平均密度为 3v24πGR2?????????????????????????????????????B.?月球平均密度为 3v2r4πGR3
C.?月球表面重力加速度为 v2R??????????????????????????????????D.?月球表面重力加速度为 v2rR2
13.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号B运载火箭，搭载新一代载人飞船试验船和柔性充气式货物返回舱试验舱，在文昌航天发射场点火升空，载荷组合体被准确送入预定轨道，首飞任务取得圆满成功，实现空间站阶段飞行任务首战告捷，拉开我国载人航天工程“第三步”任务序幕。我们可以将载荷组合体送入预定轨道的过程简化为如图所示，轨道A为近地轨道，轨道C为预定轨道。轨道A与轨道B相切于P点，轨道B与轨道C相切于Q点，下列说法正确的是（?? ）
A.?组合体在轨道B上经过P点速度大于地球的第一宇宙速度
B.?组合体在轨道B上经过P点时的加速度大于在轨道A上经过P点的加速度
C.?组合体从轨道B进入轨道C需要在Q点减速
D.?组合体在轨道B上由P点到Q点的过程中机械能守恒
14.地球同步卫星的质量为m，距地面高度为h，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，地球的自转角速度为ω，那么同步卫星绕地球转动时，下列叙述正确的是（?? ）
A.?卫星受到的向心力 F=mRω2????????????????????????????B.?卫星的加速度 a=(R+?)ω2
C.?卫星的线速度 v=RgR+??????????????????????????????????D.?卫星的线速度 v=3gR2ω
15.2019年1月3号“嫦娥4号”探测器实现人类首次月球背面着陆，并开展巡视探测。因月球没有大气，无法通过降落伞减速着陆，必须通过引擎喷射来实现减速。如图所示为“嫦娥4号”探测器降落月球表面过程的简化模型。质量m的探测器沿半径为r的圆轨道I绕月运动。为使探测器安全着陆，首先在P点沿轨道切线方向向前以速度u喷射质量为△m的物体，从而使探测器由P点沿椭圆轨道II转至Q点（椭圆轨道与月球在Q点相切）时恰好到达月球表面附近，再次向前喷射减速着陆。已知月球质量为M、半径为R。万有引力常量为G。则下列说法正确的是（ ??）
A.?探测器喷射物体前在圆周轨道I上运行时的周期为 2πr3GM
B.?在P点探测器喷射物体后速度大小变为 (m?Δm)um
C.?减速降落过程，从P点沿轨道II运行到月球表面所经历的时间为 π2(R+r)3GM
D.?月球表面重力加速度的大小为 GMR2
16.卫星绕某行星做匀速圆周运动的加速度为a，卫星的轨道半径为r， a?1r2 的关系图像如图所示，图中b为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k，该行星的自转周期为T0 ， 引力常量为G，下列说法正确的是（?? ）
A.?行星的质量为 kG????????????????????????????????????????????????B.?行星的半径为 kb
C.?行星的第一宇宙速度为 kb???????????????????????????????D.?该行星同步卫星的轨道半径为 3kT024π2
17.卫星导航系统是全球性公共资源，多系统兼容与互操作已成为发展趋势。中国始终秉持和践行“中国的北斗，世界的北斗，一流的北斗”的发展理念，服务“一带一路”建设发展，积极推进北斗系统国际合作。与其他卫星导航系统携手，与各个国家、地区和国际组织一起，共同推动全球卫星导航事业发展，让北斗系统更好地服务全球、造福人类。基于这样的理念，从2017年底开始，北斗三号系统建设进入了超高密度发射。北斗系统正式向全球提供RNSS服务，在轨卫星共53颗。预计2020年再发射2﹣4颗卫星后，北斗全球系统建设将全面完成，使我国的导航定位精度不断提高。北斗导航卫星有一种是处于地球同步轨道，假设其离地高度为h，地球半径为R，地面附近重力加速度为g，则有（?? ）
A.?该卫星运行周期可根据需要任意调节??????????????????B.?该卫星所在处的重力加速度为（ RR+? ）2g
C.?该卫星运动动能为 mgR22(R+?)????????????????????????????D.?该卫星周期与近地卫星周期之比为 (1+?R)23
三、填空题
18.如图所示，在距一质量为M、半径为R、密度均匀的球体R处有一质量为m的质点，此时球体对质点的万有引力F1=________；若以球心O为中心挖去一个质量为 M2 的球体，则剩下部分对质点的万有引力F2=________。
四、综合题
19.2020年11月24日4时30分，中国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道。标志着我国月球探测新旅程的开始，飞行136个小时后总质量为m的嫦娥五号以速度v高速到达月球附近P点时，发动机点火使探测器顺利变轨，被月球捕获进入半径为r的环月轨道，已知月球的质量为M，引力常量为G。求
（1）嫦娥五号探测器发动机在P点应沿什么方向将气体喷出？
（2）嫦娥五号探测器发动机在P点应将质量为Δm的气体以多大的对月速度喷出？
20.已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。地可视为质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。
（1）北京时间2020年3月9日，中国在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第54颗导航卫星，此次发射的是北斗第2颗地球静止轨道卫星（又称地球同步卫星），它离地高度为h。求此卫星进入地球静止轨道后正常运行时v的大小（不考虑地球自转的影响）；
（2）为考察地球自转对重力的影响，某研究者在赤道时，用测力计测得一小物体的重力是F1。在南极时，用测力计测得该小物体的重力为F2。求地球的质量M。（已知地球自转周期为T）
21.天宫二号在距地面h高度处绕地球做匀速圆周运动。2016年10月19日，神舟十一号飞船发射成功，与天宫二号空间站圆满完成自动交会对接。假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”在同一轨道围绕地球做匀速圆周运动，如图所示。已知地球质量为M，半径为R，引力常量为G。
（1）求天宫二号在轨运行线速度v的大小；
（2）求天宫二号在轨运行周期T；
（3）若“神舟十一号”在图示位置，欲与前方的“天宫二号”对接，只通过向后方喷气能否实现成功对接?请说明理由。
22.我们可以借鉴研究静电场的方法来研究地球周围空间的引力场，如用“引力场强度”、“引力势”的概念描述引力场。已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G，将地球视为均质球体，且忽略自转。
（1）类比电场强度的定义方法，写出地球引力场的“引力场强度E”的定义式，并结合万有引力定律，推导距离地心为r（r>R）处的引力场强度的表达式 E引=GMr2 ；
（2）设地面处和距离地面高为h处的引力场强度分别为 E引 和 E引' ，如果它们满足 |E引'?E引|E引≤0.02 ，则该空间就可以近似为匀强场，也就是我们常说的重力场。请估算地球重力场可视为匀强场的高度h（取地球半径R=6400km）；
（3）某同学查阅资料知道:地球引力场的“引力势”的表达式为 φ引=-GMr （以无穷远处引力势为0）。请你设定物理情景，简要叙述推导该表达式的主要步骤。
23.一球形人造卫星，其最大横截面积为A、质量为m，在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动．由于受到稀薄空气阻力的作用，导致卫星运行的轨道半径逐渐变小．卫星在绕地球运转很多圈之后，其轨道的高度下降了△H，由于△H <（1）求人造卫星在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动的周期；
（2）某同学为估算稀薄空气对卫星的阻力大小，做出了如下假设：卫星运行轨道范围内稀薄空气的密度为ρ，且为恒量；稀薄空气可看成是由彼此不发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后都具有与卫星相同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变．在满足上述假设的条件下，请推导：
①估算空气颗粒对卫星在半径为R轨道上运行时，所受阻力F大小的表达式；
②估算人造卫星由半径为R的轨道降低到半径为R-△H的轨道的过程中，卫星绕地球运动圈数n的表达式．
24.2019年10月5日2时51分，我国在太原卫星发射中心用长征四号丙运载火箭，成功将“高分十号”地球同步卫星发射升空。一般发射地球同步卫星要经过两次变轨才能进入地球同步轨道。如图所示，先将卫星送入较低的圆轨道Ⅰ，经椭圆轨道Ⅲ进入地球同步轨道Ⅱ。已知“高分十号”卫星质量为m卫 ， 地球质量为m地 ， 轨道Ⅰ半径为r1 ， 轨道Ⅱ半径为r2 ， A、B为两轨道的切点，则下列说法正确的是（? ）
A.?“高分十号”在轨道Ⅰ上的运行速度大于7.9km/s
B.?若”高分十号”在轨道I上的速率为v1：则在轨道II上的速率v2=v1 r1r2
C.?在椭圆轨道上通过B点时“高分十号”所受万有引力小于向心力
D.?假设距地球球心r处引力势能为Ep=－ Gm地m卫r 则“高分十号”从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅱ，其机械能增加了 Gm地m卫2r1 － Gm地m卫2r2
25.2019年1月3号“嫦娥4号”探测器实现人类首次月球背面着陆，并开展巡视探测。因月球没有大气，无法通过降落伞减速着陆，必须通过引擎喷射来实现减速。如图所示为“嫦娥4号”探测器降落月球表面过程的简化模型。质量m的探测器沿半径为r的圆轨道I绕月运动。为使探测器安全着陆，首先在P点沿轨道切线方向向前以速度u喷射质量为△m的物体，从而使探测器由P点沿椭圆轨道II转至Q点（椭圆轨道与月球在Q点相切）时恰好到达月球表面附近，再次向前喷射减速着陆。已知月球质量为M、半径为R．万有引力常量为G．则下列说法正确的是（?? ）
A.??探测器喷射物体前在圆周轨道I上运行时的周期为2π r3GM
B.?在P点探测器喷射物体后速度大小变为 (m?△m)um
C.?减速降落过程，从P点沿轨道II运行到月球表面所经历的时间为 π2 (R+r)3GM
D.?月球表面重力加速度的大小为 GMR2
答案解析部分
一、单选题
1. C
【解答】上升舱的发射速度至少为月球的第一宇宙速度，由 GM月mr月2＝mv月2r月
解得 v月=GM月r月=6.67×10?11×7.35×10221.738×106m/s≈1.7×103m/s=1.7km/s
C符合题意。
故答案为：C。

【分析】根据万有引力提供向心力求出上升舱4的第一宇宙速度。
2. A
【解答】根据牛顿第二定律得 GMmr2=mv2r=2Ekr
解得 r=GMm2Ek
由此可知，轨道半径与动能成反比，则有 r′=EkEk+ΔEr
故答案为：A。

【分析】利用引力提供向心力结合动能的表达式可以求出轨道半径和动能的大小关系；利用动能的大小可以求出轨道半径的大小。
3. B
【解答】根据 mv′2R+?=GMm(R+r)2
GMmR2=mv2R
联立解得 v′ = RR+?v
故答案为：B。

【分析】利用引力提供向心力可以求出光学遥感卫星的线速度大小。
4. D
【解答】A．嫦娥五号探测器在轨道II上，近月点速度大于远月点速度，A不符合题意；
B．根据开普勒三定律，嫦娥五号探测器在轨道II运动的轨迹的半长轴小于在轨道I运动的半径，所以周期小于在轨道I运动的周期。B不符合题意；
C．嫦娥五号探测器从轨道I变轨到轨道II，需要减速，所以机械能减小。C不符合题意；
D．加速度是由万有引力提供，所以嫦娥五号探测器在轨道I上运动到A点时的加速度等于在轨道II上运动到A点时的加速度。D符合题意。0
故答案为：D。

【分析】探测器在椭圆轨道上近月点的速度大于远月点的速度大小；利用开普勒第三定律结合轨道半径的大小可以比较运动的周期大小；利用向心运动可以判别需要减速则机械能减小；利用引力提供向心力结合半径相同可以判别加速度大小相等。
5. D
【解答】当探测器上升到距月球表面高度为月球半径的 14 时，由牛顿第二定律有 F?GMm(R+R4)2=ma
在月球表面上有 GMmR2=mg
解得 g=25(F?ma)16m
故答案为：D。

【分析】利用探测器上升过程的牛顿第二定律结合月球表面其引力形成重力可以求出重力加速度的大小。
6. C
【解答】由自由落体公式得 ?=12g(t2)2
设月球质量为M，月球表面质量为m的物体所受重力 mg=GMmR2
设月球体积为V V=43πR3
则月球的密度为 ρ=MV
联立以上各式得 ρ=6?GπRt2
故答案为：C。

【分析】利用自由落体运动可以求出月球表面重力加速度的大小；结合引力形成重力及密度公式可以求出月球密度的大小。
二、多选题
7. C,D
【解答】AB．设太阳质量为M，火星、地球质量分别为m1、m2 ， 轨道半径分别为r1、r2 ， 公转周期分别为T1、T2 ， 则 GMm1r12=m1(2πT1)2r1
GMm2r22=m2(2πT2)2r2
解得 T1T2=(r1r2)3=(32)3=3323
A、B不符合题意；
C．设火星、地球的半径分别为R1、R2 ， 探测器质量为m，运行速度分别为v1、v2 ， 则 Gm1mR12=mv12R1
Gm2mR22=mv22R2
解得 v1v2=Gm1R1×R2Gm2=19×21=29
C符合题意；
D．探测器绕火星表面附近运行时，有 Gm1mR12=m(2πT)2R1
整理得 Gm1R13=4π2T2
Gm143π×R13=4π243π×T2
即 ρ=m143πR13=3πGT2
D符合题意。
故答案为：CD。

【分析】星体绕中心天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力。根据牛顿第二定律和匀速圆周运动的基本量，可以讨论天体运动的周期、线速度等问题。
8. A,C
【解答】A．根据题意可知，“鹊桥”与月球运动的角速度相等，“鹊桥”中继星绕地球转动的半径比月球绕地球转动的半径大，根据线速度 υ=ωr 可知，“鹊桥”中继星绕地球转动的线速度比月球绕地球转动的线速度大，A符合题意；
B．根据向心加速度 a=ω2r 可知，“鹊桥”中继星绕地球转动的向心加速度比月球绕地球转动的向心加速度大，B不符合题意；
CD．中继卫星的向心力由月球和地球引力的合力提供，则有 GMem(R+x)2+GMmmx2=mω2(R+x)
对月球而言，则有 GMeMmR2=Mmω2R
两式联立可解得 Me(R+x)2+Mmx2=MeR3(R+x)
C符合题意，D不符合题意。
故答案为：AC。

【分析】根据线速度和角速度关系判断线速度的大小，根据向心加速度与角速度的关系判断出向心加速度的关系根据合力提供向心力求出X满足的条件。
9. B,D
【解答】A．“天问一号”距火星表面高度为h，绕火星做周期为T的匀速圆周运动 GMm(R+?)2=m4π2T2(R+?) , M=ρ43πR3
解得火星的平均密度为 3π(R+?)3GT2R3 ，A不符合题意；
B．“天问一号”圆周运动的角速度大小为 ω=2πT
B符合题意；
C．根据 GMm(R+?)2=m4π2T2(R+?) ， GMmR2=mg
解得： g=4π(R+?)3T2R2
C不符合题意；
D．“天问一号”圆周运动的线速度大小为 v=(R+?)ω=2π(R+?)T
D符合题意；
故答案为：BD。

【分析】利用引力提供向心力结合密度公式可以求出火星的平均密度；利用周期的大小可以求出卫星圆周运动的角速度；利用引力形成重力可以求出火星表面重力加速度的大小；利用角速度和轨道半径可以求出线速度的大小。
10. B,C
【解答】A．某志愿者登上火星后将一小球从高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L，根据分位移公式，有L=v0t， ?=12gt2
解得 g=2?v02L2
A不符合题意；
B．火星的第一宇宙速度为 v1=gR＝2?v02L2?R＝v0L2?R
B符合题意；
C．由 GMmR2=mg ，解得火星的质量为 M=gR2G=2?v02R2GL2
C符合题意；
D．火星的平均密度为 ρ=MV=2?v02R2GL243πR3＝3?v022πGL2R
D不符合题意。
故答案为：BC。

【分析】利用平抛运动的位移公式可以求出月球表面重力加速度的大小；利用引力提供向心力可以求出第一宇宙速度的大小；利用引力形成重力可以求出火星的质量；结合体积公式可以求出火星的平均密度大小。
11. B,C
【解答】A．由引力做为向心力可得 GMmr2=mr4π2T2
化简可得 T=4π2r3GM ，故轨道半径越大，周期越大，A不符合题意；
B．由引力做为向心力可得 GMmr2=mv2r
化简可得 v=GMr ，张角越大，轨道半径越小，速度越大，B符合题意；
C．星球半径为R，轨道半径r，由星球相对飞行器的张角可得 sinθ2=Rr
由A的分析可得星球质量 M=4π2r3GT2 ，体积 V=43πR3 ，则星球的密度为 ρ=MV=3πGT2?1sin3θ2
故测得周期和星球相对飞行器的张角，则可得到星球的平均密度，C符合题意；
D．由C的分析可知，若测得周期和轨道半径，无法得到星球的平均密度，D不符合题意。
故答案为：BC。

【分析】根据万有引力提供向心力得出周期T、线速度v与轨道半径的关系；根据几何关系、密度公式求出星球的平均密度。
12. B,D
【解答】AB．根据万有引力定律和牛顿第二定律可得 GMmr2=mv2r
又 M=43πR3?ρ
解得 ρ=3v2r4πGR3
A不符合题意，B符合题意；
CD．由于 GMmR2=mg
联立可得 g=v2rR2
C不符合题意，D符合题意。
故答案为：BD。
【分析】万有引力提供向心力GMmr2=mv2r且M=43πR3?ρ求解密度。2.引力=重力，GMmR2=mg解重力加速度。
13. A,D
【解答】A．组合体在近地点 P 点做离心运动，则其速度大于做圆周运动的速度即第一宇宙速度，A符合题意；
B．根据牛顿第二定律得加速度 a=GMr2
所以在轨道B上经过 P 点时的加速度等于在轨道A上经过 P 的加速度，B不符合题意；
C．组合体从轨道B进入轨道C，需要在 Q 点加速，做离心运动，C不符合题意；
D．在轨道B上由 P 点到 Q 点的过程中，组合体只受到万有引力的作用，机械能守恒，D符合题意；
故答案为：AD。

【分析】卫星离地球越近，线速度越大，环绕周期越短，向心加速度越大，同时动能增加，势能减小，总的机械能减小，结合选项分析即可。
14. B,C,D
【解答】AB．根据 GMm(R+?)2=mω2(R+?)
可得卫星受到的向心力 F=m(R+?)ω2
卫星的加速度 a=(R+?)ω2
A不符合题意，B符合题意；
CD．对卫星有 GMm(R+?)2=mv2(R+?)=mω2(R+?)
在地球表面，有 mg=GMmR2
联立解得 v=RgR+?
v=3gR2ω
CD符合题意。
故答案为：BCD。
【分析】利用引力提供向心力可以求出卫星的加速度、线速度的大小；利用向心力公式可以求出向心力的大小。
15. A,D
【解答】A．探测器绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 GMmr2=m(2πT)2r
解得探测器喷射物体前在圆周轨道I上运行时的周期 T=2πr3GM
A符合题意；
B．在P点探测器喷射物体的过程中，设喷射前的速度为v，根据动量守恒可知mv=△mu+（m-△m）v'
解得喷射后探测器的速度 v'=mv?△mum?△m≠(m?△m)um
B不符合题意；
C．探测器在轨道II上做椭圆运动，半长轴 a=r+R2
根据开普勒第三定律可知 a3TII2＝r3TI2
解得 TII=(r+R2r)32?2πr3GM
减速降落过程，从P点沿轨道II运行到月球表面所经历的时间为 t=12TII=(r+R2r)32?πr3GM
C不符合题意；
D．假设在月球表面的放置一个质量为m的物体，则它受到的重力和万有引力相等 mg=GMmR2
解得月球表面重力加速度的大小 g=GMR2
D符合题意。
故答案为：AD。

【分析】利用引力提供向心力可以求出运行的周期；利用动量守恒定律可以求出速度的大小；利用周期定律可以求出运动的时间；利用引力形成重力可以求出重力加速度的大小。
16. A,D
【解答】卫星绕行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有 GmMr2=ma
得 a=GM?1r2
A．图线斜率为 k=GM
则行星的质量为 M=kG ， A符合题意；
B．加速度最大即卫星半径约等于行星半径，则有 b=GM?1R2
解得 R=GMb=kb ， B不符合题意；
C．行星的第一宇宙速度为 v1=GMR=kR=k×bk=kb ， C不符合题意；
D．由公式 GmMr2=m4π2T02r
得 r=3GMT024π2=3kT024π2 ， D符合题意。
故答案为：AD。

【分析】利用引力提供向心力结合图像斜率可以求出行星的质量；利用坐标可以求出行星的半径大小；利用引力提供向心力可以求出第一宇宙速度和轨道半径的大小。
17. B,C
【解答】解：A、地球同步卫星和地球自转同步，周期为24h，A不符合题意；
B、卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力等于重力， GMm(R+?)2 ＝mg'，在地球表面， GMmR2=mg ，联立解得该卫星所在处的重力加速度：g'＝ (RR+g)2g ，B符合题意；
C、根据万有引力提供向心力， GMm(R+?)2=mv2R+? ，该卫星的动能Ek＝ 12 mv2＝ 12 ? GMmR+? ＝ mgR22(R+?) ，C符合题意；
D、根据万有引力提供向心力， GMmr2=m4π2T3r ，解得周期：T＝ 2πr3GM ，该卫星周期与近地卫星周期之比为 (RR+?)32 ，D不符合题意。
故答案为：BC。

【分析】同步卫星周期固定为24h；利用引力形成重力可以求出重力加速度的大小；利用引力提供向心力结合动能表达式可以求出动能的大小；利用引力提供向心力可以求出周期之比。
三、填空题
18. GMm4R2；GMm8R2
【解答】根据万有引力定律可知 F1=GMm(2R)2=GMm4R2
挖去部分对质点的万有引力为 F=GM2m(2R)2=GMm8R2
则 F2=F1?F=GMm4R2?GMm8R2=GMm8R2

【分析】利用引力公式可以求出引力的大小。
四、综合题
19. （1）解：探测器发动机在P点应制动减速，所以应沿探测器运动方向喷出气体。
（2）解：在P点由动量守恒定律得 mv=(m?Δm)v1+Δmv2
探测器进入半径为r的环月轨道有 GM(m?Δm)r2=(m?Δm)v12r
解得 v2=mv?(m?Δm)GMrΔm
【分析】（1）嫦娥五号探测器需要从高轨道变轨到低轨道，应该减速，沿着运动方向喷气；
（2）在喷气的过程中，由于反冲使探测器减速，反冲过程中动量守恒，进入环月轨道之后由万有引力求喷出的气体质量。
20. （1）解：设该卫星质量为m，根据万有引力提供向心力可得 GMm(R+?)2=mv2R+?
在地球表面，根据万有引力和重力的关系可得 GMmR2=mg
解得线速度 v=GMR+?=gR2R+?
（2）解：设小物体质量为 m0 ，在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有 GMm0R2?F1=m04π2T2R
在南极地面 GMm0R2=F2
联立得地球质量 M=4π2F2R3(F2?F1)T2G
【分析】（1）利用引力提供向心力及形成重力可以求出速度的大小；
（2）利用引力的分力提供向心力可以求出地球质量的大小。
21. （1）解：设天宫二号质量为m，根据万有引力定律和牛顿第二定律，万有引力提供向心力? GMm(R+?)2＝mv2R+?
解得线速度 v＝GMR+?
（2）解：根据周期公式? T=2π(R+?)v ?
解得周期 T＝2π(R+?)R+?GM
（3）解：“神舟十一号”向后喷气，速度增大，所需的向心力也增大，此时的万有引力不足以提供“神舟十一号”所需的向心力，飞船将做离心运动，到离地球更远的轨道上运动，不能实现对接。
【分析】（1）利用引力提供向心力可以求出速度的大小；
（2）利用周期的表达式可以求出周期的大小；
（3）利用加速变轨可以判别不能实现对接。
22. （1）解：引力场强度定义式 E引=Fm
F=GMmr2
联立得 E引=GMr2
（2）解：根据题意 E引=GMR2
E引'=GMr2
|E引'?E引|E引=0.02
?=r?R=R0.98?R
解得h=64976m
（3）解：定义式引力势 φ引=Epm ，式中 Ep 为某位置的引力势能
把某物体从无穷远移动到某点引力做的功 W引=0-Ep=-Ep
即 Ep=-W引
则当质量为m的物体自无穷远处移动到距离地球r处时，引力做功为 W引
通过计算得 W引=GMmr>0
所以 Ep=-GMmr
φ引=-GMr
【分析】（1）结合电场力的定义式分析引力场的定义式即可；
（2）结合题目该出的判定和第一问求解的引力场强度分析求解即可。
23. （1）解：设卫星在R轨道运行的周期为T，
根据万有引力定律和牛顿第二定律有： GMmR2=m4π2T2R
解得： T=4π2R3GM
（2）解：①如图所示，最大横截面积为A的卫星，经过时间 Δt 从图中的实线位置运动到了图中的虚线位置，该空间区域的稀薄空气颗粒的质量为 Δm=ρAvΔt
以这部分稀薄空气颗粒为研究对象，碰撞后它们都获得了速度v，设飞船给这部分稀薄空气颗粒的平均作用力大小为F，根据动量定理有： FΔt=Δmv
根据万有引力定律和牛顿第二定律有： GMmR2=mv2R ，解得： F=ρAGMR
根据牛顿第三定律，卫星所受的阻力大小F′= F=ρAGMR ．
②设卫星在R轨道运行时的速度为v1、动能为Ek1、势能为Ep1、机械能为E1 ，
根据牛顿定律和万有引力定律有： GMmR2=mv12R
卫星的动能 Ek1=12mv12 ，势能 E1p=?GMmR
解得： E1=?GMm2R
卫星高度下降ΔH，在半径为（R-ΔH）轨道上运行，
同理可知其机械能 E2=?GMm2(R?△H)
卫星轨道高度下降ΔH，其机械能的改变量 △E=?GMm2(12(R?△H)?1R)
卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功．设卫星在沿半径为R的轨道运行一周过程中稀薄空气颗粒作用于卫星的阻力做的功为W0 ， 利用小量累积的方法可知：
上式表明卫星在绕不同轨道运行一周，稀薄空气颗粒所施加的阻力做的功是一恒量，与轨道半径无关．
则ΔE=nW0
解得： n=m△H4πρA(R?△H)或m4πρA(1R?△H?1R)
【分析】（1）利用引力提供向心力可以求出周期的大小；
（2）利用动量定理结合引力提供向心力可以求出阻力的大小；利用引力提供向心力结合机械能的总量和改变量可以求出卫星绕地球运动的圈数。
24. B,D
【解答】A ．第一宇宙速度为7.9km/s，绕地球做圆周运动的轨道半径等于地球的半径，根据万有引力提供向心力则有 Gm地m卫r2=m卫v2r
可得 v=Gm地r
知轨道半径越大，线速度越小，所以“高分十号”卫星在轨道Ⅰ上的运行速度小于7.9km/s，A不符合题意；
B．根据 v=Gm地r 可得“高分十号”卫星在轨道I上的速率为 v1=Gm地r1
在轨道II上的速率为 v2=Gm地r2
联立解得 v2=v1r1r2
B符合题意；
C．由于“高分十号”卫星需要在 B 点从椭圆轨道Ⅲ进入轨道Ⅱ，卫星在 B 点需加速，所以“高分十号”卫星在椭圆轨道Ⅲ上通过B点时，万有引力大于向心力，C不符合题意；
D．“高分十号”卫星在轨道Ⅰ上的机械能 E1=12m卫v12?Gm地m卫r1
在轨道Ⅱ上的机械能 E2=12m卫v22?Gm地m卫r2
则机械能增加量 ΔE=E2?E1=12m卫v22?Gm地m卫r2?12m卫v12+Gm地m卫r1=Gm地m卫2r1?Gm地m卫2r2
D符合题意；
故答案为：BD。

【分析】利用轨道半径的大小可以比较线速度的大小；利用引力提供向心力可以求出线速度的大小；利用向心运动可以比较向心力和引力的大小；利用动能和势能之和可以比较机械能的变化量。
25. A,D
【解答】解：A、探测器绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力， GMmr2 ＝m 4π2T2r ，解得探测器喷射物体前在圆周轨道I上运行时的周期：T＝2π r3GM ，A符合题意；
B、在P点探测器喷射物体的过程中，设喷射前的速度为v，根据动量守恒可知，mv＝△mu+（m﹣△m）v'，解得喷射后探测器的速度：v'＝ mv?△mum?△m ≠ (m?△m)um ，B不符合题意；
C、探测器在轨道II上做椭圆运动，半长轴：a＝ r+R2 ，根据开普勒第三定律可知， a3TII2=r3TI2 ，解得：TII＝ (r+R2r)32?2πr3GM ，C不符合题意；
D、月球表面的重力等于万有引力，mg＝ GMmR2 ，解得月球表面重力加速度的大小g＝ GMR2 ，D符合题意。
故答案为：AD。

【分析】利用引力提供向心力可以求出周期的大小；利用动量守恒定律可以求出速度的大小；利用开普勒周期定律可以求出周期的大小；利用引力形成重力可以求出重力加速度的大小。
12528557702550