二次函数复习学案
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文档简介
二次函数（1）
课型：复习课 审核：九年级数学组 时间：2012/3/4
【复习目标】会用配方法、公式法求抛物线的顶点坐标、对称轴方程；结合方程根的性质，一元二次方程根的判别式，判断抛物线与x轴交点的情况；能结合函数图象对简单问题进行分析。
【重点】求函数解析式，利用图象分析简单问题.
【考点】会用配方法、公式法求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，能由解析式的特征想象出图象的形状和位置，能结合函数图象对简单问题进行分析.
【复习过程】一．基础练习
1. (2011年四川省内江市)抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）
2.（2010年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为
A． B．
C． D．
3. (2011年陕西省)根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴 【 】
x … －1 0 1 2 …
y … －1 －2 …
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C．有两个交点，且它们均在y轴同侧
4. （2010年台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？
(A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。
二．典型例题
例1（2011山西省太原市）已知，二次函数的表达式为．写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与轴的交点的坐标．
例2 (2011年陕西省) 如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．
例3（2011年贵州省黔东南州）已知二次函数。
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。
（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。
三．应用提高
(2010武汉)如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．
四．课堂小结
通过这节课的复习，你都有哪些收获？
五．自我检测
1. (2011年上海市)抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2. （2010年遂宁）把二次函数用配方法化成的形式
A. B.
C. D.
3. （2011年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原
点的距离为1，则该二次函数的解析式为
4. (2010宁夏)如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求三点的坐标；
（2）证明为直角三角形；
（3）在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
六．延伸拓展
（2010年河北)已知抛物线经过点和点P （t，0），且t ≠ 0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，
请通过观察图象，指出此时y的最小值，
并写出t的值；
（2）若，求a、b的值，并指出此时抛
物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
二次函数及其图象
【课前热身】
1．将抛物线y=-3x2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是___________.
2. 如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象，
那么a的值是______.3. 二次函数y=(x-1)2+2的最小值是( )
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
4. 二次函数y=2(x-5)2+3的图象的顶点坐标是( )
A.(5，3) B.(-5，3) C.(5，-3) D.(-5，-3)
5. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. a＞0，b＜0，c＞0 B. a＜0，b＜0，c＞0
C. a＜0，b＞0，c＜0 D. a＜0，b＞0，c＞0
【知识整理】1. 解析式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)，其图象顶点坐标(h，k).
(3)两根式：y=a(x-x1)( x-x2) (a≠0)，其图象与x轴的两交点分别为(x1，0)，(x2，0).
注意：①一般式可通过配方法化为顶点式.②求二次函数解析式通常由图象上三个点的坐标，用待定系数法求得. 若已知抛物线的顶点和对称轴，可用顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点，可用两根式；若已知三个非特殊点，通常用一般式.
2. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质
a＞0 a＜0
图 象
开 口
对 称 轴
顶点坐标
最 值 当x=_______时，y有最 _____值为________. 当x=_______时，y有最 _____值________.
增减性 在对称轴左侧 y随x的增大而______ y随x的增大而______
在对称轴右侧 y随x的增大而______ y随x的增大而______
3. 二次函数y=a(x-h)2+k (a≠0)的对称轴是______________，顶点坐标是___________.
4. 二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成y=a(x-h)2+k的形式，其中h=____，k=________.
5. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和y=ax2图象的关系.
6. 二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c符号的关系.
(1)a决定抛物线开口方向：a＞0时抛物线开口向上；a＜0时抛物线开口向上；
(2)a、b决定对称轴x=-的位置：ab＞0时对称轴在y轴左侧；b=0时对称轴为y轴；
ab＜0时对称轴在y轴右侧.(3)c决定抛物线与y轴交点的位置：c＞0时抛物线交y轴于正半轴；c=0时抛物线过原点；c＜0时抛物线交y轴于负半轴.
【例题讲解】
例1 已知二次函数y=x2+4x.
(1)用配方法把该函数化为y=a(x-h)2+k(其中a、h、k都是
常数且a≠0)形式，并求出函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)求函数的图象与x轴的交点坐标；
(3)直接画出函数的图象.
例2 求满足下列条件的二次函数解析式.
(1)一个二次函数的图象经过点(0，0)，(1，-3)，(2，-8).
(2)抛物线与x轴交于点(-2，0)和(1，0)，与y轴交点的纵坐标是9.
(3)抛物线y=ax2+bx+c图象的顶点为(-2，3)，且经过点(1，6).
例3 如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1，0)，B(3，2).
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．(直接写出答案)
【中考演练】
1. 抛物线y＝-x2+1的开口向＿＿＿，对称轴是＿＿＿_＿.
2. 抛物线y=(x-2)2的顶点坐标是_________.
3. 将抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，最后所得的抛物线的解析式为_________________.
4. 函数y=x2+bx+3的图象经过点(-1，0)，则b=_________.5. 二次函数y=(x-1)2+2，当x=______时，y有最小值.
6. 函数y=3(x-1)2+3，当x______时，函数值y随x的增大而增大.7. 将y=x2-4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式，则y=________________.8. 若点A(2，m)在函数y=x2-1的图象上，则A点的坐标是__________.
9. 抛物线y=2x2+3x-4与y轴的交点坐标是___________.
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示：则这个二次函数的解析式是y=___________.
11. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式________________.
12. 已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如右图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为_______________.
13. 在圆的面积公式S=πr2中，S与r的关系是( )
A.一次函数关系 B.正比例函数关系 C.反比例函数关系 D.二次函数关系
14. 已知函数是二次函数，则m等于( )
A.±2 B.2 C.-2 D.±
15. 苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间 t 满足 s＝gt2(g=9.8)，则s与t的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
16. 抛物线y=-x2不具有的性质是( )
A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.与y轴不相交 D.最高点是原点
17. 函数y=ax2与y=ax+b(a＞0，b＞0)在同一坐标系中的大致图象是( )
18. 已知函数y=x2-2x-2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，
可求得使y≥1成立的x的取值范围是( )
A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1
C．x≥-3 D．x≤-1或x≥3
19. 已知二次函数y=ax2-4x+3的图象经过点(-1，8).
(1)求此二次函数的解析式；
(2)根据(1)填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；
x 0 1 2 3 4
y
(3)根据图象回答：当函数值y＜0时，x的取值范围是什么？
20. 已知二次函数y=(m-2)x2+(m+3)x+m+2的图象过点(0，5).
(1)求m的值，并写出二次函数的解析式；
(2)求出二次函数图象的顶点坐标，对称轴.
21. 一次函数y=2x+3，与二次函数y=a(x-h)2+k的图象交于A(m，5)和B(3，n)两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9.
(1)求二次函数的表达式；
(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象；
(3)从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大.
(4)当x为何值时，一次函数值大于二次函数值.
y
x
O
A
B
C
y
x
B
O
A
C
A
O
P
x
y
- 3
- 3
y
x
O
y
x
O
x
y
O
1
1
2
-1
s
t
O
s
t
O
s
t
O
s
t
O
课型：复习课 审核：九年级数学组 时间：2012/3/4
【复习目标】会用配方法、公式法求抛物线的顶点坐标、对称轴方程；结合方程根的性质，一元二次方程根的判别式，判断抛物线与x轴交点的情况；能结合函数图象对简单问题进行分析。
【重点】求函数解析式，利用图象分析简单问题.
【考点】会用配方法、公式法求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，能由解析式的特征想象出图象的形状和位置，能结合函数图象对简单问题进行分析.
【复习过程】一．基础练习
1. (2011年四川省内江市)抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）
2.（2010年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为
A． B．
C． D．
3. (2011年陕西省)根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴 【 】
x … －1 0 1 2 …
y … －1 －2 …
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C．有两个交点，且它们均在y轴同侧
4. （2010年台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？
(A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。
二．典型例题
例1（2011山西省太原市）已知，二次函数的表达式为．写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与轴的交点的坐标．
例2 (2011年陕西省) 如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．
例3（2011年贵州省黔东南州）已知二次函数。
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。
（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。
三．应用提高
(2010武汉)如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．
四．课堂小结
通过这节课的复习，你都有哪些收获？
五．自我检测
1. (2011年上海市)抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2. （2010年遂宁）把二次函数用配方法化成的形式
A. B.
C. D.
3. （2011年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原
点的距离为1，则该二次函数的解析式为
4. (2010宁夏)如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求三点的坐标；
（2）证明为直角三角形；
（3）在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
六．延伸拓展
（2010年河北)已知抛物线经过点和点P （t，0），且t ≠ 0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，
请通过观察图象，指出此时y的最小值，
并写出t的值；
（2）若，求a、b的值，并指出此时抛
物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
二次函数及其图象
【课前热身】
1．将抛物线y=-3x2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是___________.
2. 如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象，
那么a的值是______.3. 二次函数y=(x-1)2+2的最小值是( )
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
4. 二次函数y=2(x-5)2+3的图象的顶点坐标是( )
A.(5，3) B.(-5，3) C.(5，-3) D.(-5，-3)
5. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. a＞0，b＜0，c＞0 B. a＜0，b＜0，c＞0
C. a＜0，b＞0，c＜0 D. a＜0，b＞0，c＞0
【知识整理】1. 解析式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)，其图象顶点坐标(h，k).
(3)两根式：y=a(x-x1)( x-x2) (a≠0)，其图象与x轴的两交点分别为(x1，0)，(x2，0).
注意：①一般式可通过配方法化为顶点式.②求二次函数解析式通常由图象上三个点的坐标，用待定系数法求得. 若已知抛物线的顶点和对称轴，可用顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点，可用两根式；若已知三个非特殊点，通常用一般式.
2. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质
a＞0 a＜0
图 象
开 口
对 称 轴
顶点坐标
最 值 当x=_______时，y有最 _____值为________. 当x=_______时，y有最 _____值________.
增减性 在对称轴左侧 y随x的增大而______ y随x的增大而______
在对称轴右侧 y随x的增大而______ y随x的增大而______
3. 二次函数y=a(x-h)2+k (a≠0)的对称轴是______________，顶点坐标是___________.
4. 二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成y=a(x-h)2+k的形式，其中h=____，k=________.
5. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和y=ax2图象的关系.
6. 二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c符号的关系.
(1)a决定抛物线开口方向：a＞0时抛物线开口向上；a＜0时抛物线开口向上；
(2)a、b决定对称轴x=-的位置：ab＞0时对称轴在y轴左侧；b=0时对称轴为y轴；
ab＜0时对称轴在y轴右侧.(3)c决定抛物线与y轴交点的位置：c＞0时抛物线交y轴于正半轴；c=0时抛物线过原点；c＜0时抛物线交y轴于负半轴.
【例题讲解】
例1 已知二次函数y=x2+4x.
(1)用配方法把该函数化为y=a(x-h)2+k(其中a、h、k都是
常数且a≠0)形式，并求出函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)求函数的图象与x轴的交点坐标；
(3)直接画出函数的图象.
例2 求满足下列条件的二次函数解析式.
(1)一个二次函数的图象经过点(0，0)，(1，-3)，(2，-8).
(2)抛物线与x轴交于点(-2，0)和(1，0)，与y轴交点的纵坐标是9.
(3)抛物线y=ax2+bx+c图象的顶点为(-2，3)，且经过点(1，6).
例3 如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1，0)，B(3，2).
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．(直接写出答案)
【中考演练】
1. 抛物线y＝-x2+1的开口向＿＿＿，对称轴是＿＿＿_＿.
2. 抛物线y=(x-2)2的顶点坐标是_________.
3. 将抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，最后所得的抛物线的解析式为_________________.
4. 函数y=x2+bx+3的图象经过点(-1，0)，则b=_________.5. 二次函数y=(x-1)2+2，当x=______时，y有最小值.
6. 函数y=3(x-1)2+3，当x______时，函数值y随x的增大而增大.7. 将y=x2-4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式，则y=________________.8. 若点A(2，m)在函数y=x2-1的图象上，则A点的坐标是__________.
9. 抛物线y=2x2+3x-4与y轴的交点坐标是___________.
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示：则这个二次函数的解析式是y=___________.
11. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式________________.
12. 已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如右图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为_______________.
13. 在圆的面积公式S=πr2中，S与r的关系是( )
A.一次函数关系 B.正比例函数关系 C.反比例函数关系 D.二次函数关系
14. 已知函数是二次函数，则m等于( )
A.±2 B.2 C.-2 D.±
15. 苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间 t 满足 s＝gt2(g=9.8)，则s与t的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
16. 抛物线y=-x2不具有的性质是( )
A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.与y轴不相交 D.最高点是原点
17. 函数y=ax2与y=ax+b(a＞0，b＞0)在同一坐标系中的大致图象是( )
18. 已知函数y=x2-2x-2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，
可求得使y≥1成立的x的取值范围是( )
A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1
C．x≥-3 D．x≤-1或x≥3
19. 已知二次函数y=ax2-4x+3的图象经过点(-1，8).
(1)求此二次函数的解析式；
(2)根据(1)填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；
x 0 1 2 3 4
y
(3)根据图象回答：当函数值y＜0时，x的取值范围是什么？
20. 已知二次函数y=(m-2)x2+(m+3)x+m+2的图象过点(0，5).
(1)求m的值，并写出二次函数的解析式；
(2)求出二次函数图象的顶点坐标，对称轴.
21. 一次函数y=2x+3，与二次函数y=a(x-h)2+k的图象交于A(m，5)和B(3，n)两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9.
(1)求二次函数的表达式；
(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象；
(3)从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大.
(4)当x为何值时，一次函数值大于二次函数值.
y
x
O
A
B
C
y
x
B
O
A
C
A
O
P
x
y
- 3
- 3
y
x
O
y
x
O
x
y
O
1
1
2
-1
s
t
O
s
t
O
s
t
O
s
t
O