(共35张PPT)
1.1 集合的概念
第2课时 全集与补集
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.了解全集的定义和它的记法.理解补集的概念,能正确运用补集的符号和表示形式,会用图形表示一个集合及其子集的补集.
2.会求一个给定集合在全集中的补集,并能解答简单的应用题.
3.体会数学抽象的过程,提升数学运算、逻辑推理的素养.
自主预习·新知导学
一、全集的含义
【问题思考】
1.根据方程(x-3)(x2-2)=0在不同范围内的解集,回答下面的问题:
(1)该方程在有理数集内的解集为 ;在实数集内的解集为 .?
(2)问题(1)中在有理数集范围内或在实数集范围内的含义是什么?
提示:有理数集范围内或实数集范围内是指所研究问题的所有元素组成的集合,即全集.
2.全集的定义
定义:在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号
U
表示.
二、补集的概念
【问题思考】
1.观察下面三个集合:A={1,2,3,4},B={5,6,7,8},U={1,2,3,4,5,6,7,8}.回答下面的问题.
(1)集合A,B,U有什么关系?
提示:A?U,B?U,A∪B=U.
(2)B中元素与U和A有什么关系?
提示:B中元素都属于集合U,它是由U中不属于集合A的元素组成的.
2.填一填:
设U是全集,A是U的一个子集(即A?U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集,记作?UA,即?UA={x|x∈U,且x?A}.用Venn图表示为
三、补集的性质
【问题思考】
1.设集合A={1,2},那么相对于集合M={0,1,2,3}和N={1,2,3},
?MA和?NA相等吗?由此说说你对全集与补集的认识.
提示:?MA={0,3},?NA={3},?MA≠?NA.补集是一个相对的概念,研究补集必须在全集的条件下研究,而全集因研究问题不同而不同,同一个集合相对于不同的全集,其补集也就不同.
2.?U(?UA)=A是如何得来的?
提示:先求?UA,然后再求?UA的补集即集合A.
3.补集的性质
(1)A∪(?UA)=U;
(2)A∩(?UA)=?;
(3)?UU=
?
,?U?=U,?U(?UA)=
A
;
(4)(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B);
(5)(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B).
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)全集一定是实数集R.(
×
)
(2)全集一定包含所有元素.(
×
)
(3)若B=?UA,则A?U.(
√
)
(4)若集合A={3,4,m},B={3,4},?AB={5},则m=5.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
补集的运算
【例1】
(1)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则?UA= .
(2)若全集U=R,集合A={x|x≥1},则?UA= .?
解析:(1)∵U={1,2,3,4,5},A={1,2},∴?UA={3,4,5}.
(2)由补集的定义,结合数轴可得?UA={x|x<1}.
答案:(1){3,4,5} (2){x|x<1}
根据补集的定义,当集合中元素离散时,可借助Venn图;当集合中元素连续时,可借助数轴,利用数轴分析法求解.
【变式训练1】
已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-3
.?
解析:借助数轴得?UA={x|x=-3,或x>4}.
答案:{x|x=-3,或x>4}
探究二
集合交、并、补的综合运算
【例2】
(1)已知全集U={x|x≤9,x∈N+},集合A={1,2,3},B={3,4,5,6},则?U(A∪B)=( )
A.{3}
B.{7,8}
C.{7,8,9}
D.{1,2,3,4,5,6}
解析:全集U={x|x≤9,x∈N+}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},
∵集合A={1,2,3},B={3,4,5,6},
∴A∪B={1,2,3,4,5,6},
∴?U(A∪B)={7,8,9}.故选C.
答案:C
(2)已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2解:在数轴上分别表示出全集U及集合A,B,如图.
?
则A∩B={x|-2所以(?UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4};A∩(?UB)={x|21.解决与不等式有关的集合问题时,画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观,要注意求解时端点的值是否能取到.
2.解决集合的混合运算时,一般先计算括号内的部分,再计算其他部分,如本例(2)求(?UA)∪B时,可先求出?UA,再求并集.
【变式训练2】
设全集为R,集合A={x|3≤x<7},B={x|2解:全集R和集合A,B在数轴上表示如下.
?
由图知,A∪B={x|2所以?R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10},
(?RA)∩B={x|2探究三
与补集相关的参数值的求解
【例3】
设全集U=R,M={x|3a分析:求N的补集→讨论集合M→借助数轴求解
解:?UN={x|x<-2,或x>1},因为M??UN,所以分M=?和M≠?两种情况讨论.
(1)当M=?时,有3a≥2a+5,解得a≥5.
(2)当M≠?时,在数轴上表示出集合M,?UN,如图.
1.例3中,若集合M={x|x+a≥0},且(?UM)∩N=?,其他条件不变,求实数a的取值范围.
解:由已知M={x|x≥-a},得?UM={x|x<-a},又因为N={x|-2≤x≤1},(?UM)∩N=?,在数轴上表示出集合N,?UM,如图.
?
由图可得-a≤-2,即a≥2,
所以实数a的取值范围是{a|a≥2}.
2.若例3中全集和N不变,集合M={x|x<-3,或x>0},集合C={x|x-a<0},求实数a的取值范围,使其满足下列两个条件:①C?(M∩N),②C?(?UM)∩(?UN).
解:因为M={x|x<-3,或x>0},N={x|-2≤x≤1},所以M∩N={x|01},
所以(?UM)∩(?UN)={x|-3≤x<-2}.
而C={x|x1,当C?(?UM)∩(?UN)时,有a≥-2,
综上所述,实数a的取值范围是{a|a>1}.
【变式训练3】
设全集为R,集合A={x|a≤x≤a+3},?RB={x|-1≤x≤5}.
(1)若A∩B≠?,求a的取值范围;
(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.
解:因为全集为R,?RB={x|-1≤x≤5},所以B={x|x<-1,或x>5}.
所以当A∩B≠?时,a的取值范围是{a|a<-1,或a>2}.
(2)假设A∩B=A,则A?B,结合数轴,得a+3<-1,或a>5,解得a<-4,或a>5.
?
所以当A∩B≠A时,a的取值范围是{a|-4≤a≤5}.
易
错
辨
析
忽视集合与全集的关系致误
【典例】
设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},?UA={5},求实数a的值.
错解 因为?UA={5},所以5∈U,且5?A,所以a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5,解得a=2或a=-4,即实数a的值是2或-4.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:本题解答错误在于没有验证A?U.集合A的元素|2a-1|是由a确立的.
正解:同错解.事实上,当a=2时,|2a-1|=3,A={2,3},符合题意,而当a=-4时,A={9,2},不是U的子集.因此a=2.
全集主要在与补集有关的问题中用到,要注意它是求补集的条件,研究补集问题需先确定全集,此外要注意集合元素的互异性.
【变式训练】
已知集合U={n|n是小于9的正整数},
A={n∈U|n是奇数},B={n∈U|n是3的倍数},则?U(A∪B)= .
解析:由题意知U={n|n是小于9的正整数}={1,2,3,4,5,6,7,8},
则A={n∈U|n是奇数}={1,3,5,7},B={n∈U|n是3的倍数}={3,6},
所以A∪B={1,3,5,6,7},所以?U(A∪B)={2,4,8}.
答案:{2,4,8}
随
堂
练
习
1.设全集U={x|x≥0},集合P={1},则?UP等于( )
A.{x|0≤x<1,或x>1}
B.{x|x<1}
C.{x|x<1,或x>1}
D.{x|x>1}
解析:因为U={x|x≥0},P={1},
所以?UP={x|x≥0,且x≠1}={x|0≤x<1,或x>1}.
答案:A
2.若全集U={1,2,3,4,5},且?UA={x∈N|1≤x≤3},则集合A的真子集共有( )个.
A.3
B.4
C.7
D.8
解析:根据题意,全集U={1,2,3,4,5},且?UA={x∈N|1≤x≤3}
={1,2,3},则A={4,5},故A的真子集有?,{4},{5},共3个.
答案:A
3.已知U={x|x>0},A={x|2≤x<6},则?UA= .
解析:如图,分别在数轴上表示出集合U,A,则由补集的定义可知,?UA={x|0?
答案:{x|04.设全集U=R,集合A={x|1≤x≤3},B={x|2a(1)当a=1时,求(?UA)∩B;
(2)若(?UA)∩B=B,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,B={x|2又A={x|1≤x≤3},
∴?UA={x|x<1,或x>3}.
∴(?UA)∩B={x|3(2)∵(?UA)∩B=B,
∴B??UA.
当B=?时,有2a≥a+3,解得a≥3;
当B≠?时,在数轴上表示出集合B,?UA,如图,(共38张PPT)
1.3 集合的基本运算
第1课时 交集与并集
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
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课标定位
素养阐释
1.理解两个集合的交集和并集的定义,明确数学中的“且”“或”的含义.
2.能借助Venn图或数轴求两个集合的交集和并集.
3.能利用交集、并集的性质解决有关参数问题.
4.体会数学抽象的过程,加强直观想象与数学运算能力素养的培养.
自主预习·新知导学
一、交集
【问题思考】
1.观察集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={3,4}.思考下面的问题:
(1)集合A与集合B有公共元素吗?如果有,它们的公共元素组成的集合是什么?
提示:有公共元素,它们的公共元素组成的集合是{3,4}.
(2)集合C中的元素与集合A,B有什么关系?
提示:集合C中的所有元素都属于集合A,且属于集合B,即若x∈C,则x∈A,且x∈B.
2.交集:一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集.记作A∩B,读作“A交B”,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
用Venn图表示如图所示.
3.做一做:已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )
A.{0,2}
B.{1,2}
C.{0}
D.{-2,-1,0,1,2}
答案:A
二、并集
【问题思考】
1.观察集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={1,2,3,4},回答下面的问题:
(1)集合A,B中的元素与集合C的关系是什么?
提示:通过观察可发现集合A中的所有元素都属于集合C;集合B中的所有元素都属于集合C.
(2)集合C中的元素与集合A中的元素和集合B中的元素有什么关系?
提示:集合C中的元素由所有属于集合A或属于集合B的元素组成,即若x∈C,则x∈A或x∈B.
2.并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫作集合A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
用Venn图表示如图所示.
A∪B
3.想一想:集合A∪B={x|x∈A,或x∈B}中的“或”包含哪几种情况?
提示:集合中的“或”包含三种情况:①x∈A,且x?B;②x∈B,且x?A;③x∈A,且x∈B.
三、交集与并集的运算性质
【问题思考】
1.交集与并集的性质
2.想一想:若A∩B=?,则A,B是否均为空集?若A∪B=?呢?
提示:不一定,当A∩B=?时,A,B可以为?,也可以不为?,如A={1,2},B={3,4},则A∩B=?,当A∪B=?时,则A=B=?.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)当两个集合没有公共元素时,这两个集合没有交集.(
×
)
(2)已知集合A={x|x>1},B={x|x>0},则A∪B={x|x>0}.(
√
)
(3)满足{1}∪B={1,2}的集合B的个数是2.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
交集及其运算
【例1】
(1)设集合M={m∈Z|-3A.{0,1}
B.{-1,0,1}
C.{0,1,2}
D.{-1,0,1,2}
(2)若集合A={x|1≤x≤3},B={x|x>2},则A∩B= .
解析:(1)由已知,得M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},
所以M∩N={-1,0,1}.故选B.
(2)结合数轴分析,可得A∩B={x|2?
答案:(1)B (2){x|2求集合交集的思路:
(1)识别集合:点集或数集;
(2)化简集合:明确集合中的元素;
(3)求交集:元素个数有限,利用定义或Venn图求解;连续数集,借助数轴求解.
【变式训练1】
(1)已知集合A={0,1,2,3},B={x|x-1>0},则A∩B=( )
A.{0,1,2,3}
B.{1,2,3}
C.{2,3}
D.{3}
(2)集合A={x|x≥2,或-2.?
解析:(1)集合A={0,1,2,3},B={x|x>1},则A∩B={2,3}.
(2)A∩B={x|x≥2,或-2答案:(1)C (2){x|x≥5,或x=2}
探究二
并集及其运算
【例2】
已知集合M={x|-35},则M∪N=( )
A.{x|x<-5,或x>-3}
B.{x|-5C.{x|-3D.{x|x<-3,或x>5}
解析:在数轴上表示集合M,N,如图所示,则M∪N={x|x<-5,或x>-3}.
?
答案:A
求集合并集的两种基本方法:
(1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解;
(2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解.
【变式训练2】
已知集合M={x|-1A.(-∞,-1)
B.(-1,2)
C.(-1,+∞)
D.[0,+∞)
解析:∵M={x|-1∴M∪N={x|x>-1}.故选C.
答案:C
探究三
集合交、并运算的性质及综合应用
【例3】
已知集合A={x|-1分析:先转化已知条件→把集合A,B在数轴上表示出来→数形结合求解
解:∵A∩B=A,∴A?B.
在数轴上表示出集合A,B,如图.
?
由图可知a≥1.
1.若将本例中的“A={x|-1解:如图.
?
由图可知a>1.
2.本例中若把集合B改为B={x|2a+1利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法:当题目中含有条件A∩B=A,A∪B=B时,常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析,将关系进行等价转化如:A∩B=A?A?B,A∪B=B?A?B等.
(2)关注点:当题目条件中出现B?A时,若集合B不确定,解答时要注意讨论B=?和B≠?的情况.
【变式训练3】
已知集合A={x|-3易
错
辨
析
集合运算中忽视空集致误
【典例】
已知集合M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax=1},若M∪N=M,则实数a的取值集合为 .?
错解 由题意,可得M={-1,3},又M∪N=M,
∴N?M.
∴N={-1}或N={3}.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:?是任何集合的子集,而错解中忽略了N=?的情况.
正解:∵M∪N=M,∴N?M,
∴可以分N=?和N≠?两种情况讨论.
当N=?时,a=0;
当N≠?时,
∵M={-1,3},∴N={-1}或N={3}.
当N={-1}时,把x=-1代入ax=1,得a=-1;
当N?M时,特别注意可能有N=?的情况.
【变式训练】
已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|2x2-ax+2=0},若A∪B=A,求实数a的取值范围.
解:因为A∪B=A,所以B?A.
由已知可得A={1,2}.
(1)若1∈B,则2×12-a×1+2=0,
得a=4,当a=4时,B={1}?A,符合题意.
(2)若2∈B,则2×22-2a+2=0,得a=5.
所以a=5不符合题意.
(3)若B=?,则a2-16<0,得-4随
堂
练
习
1.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )
A.{0,2}
B.{1,2}
C.{0}
D.{-2,-1,0,1,2}
解析:由题意可得A∩B={0,2}.
答案:A
2.已知集合A={x|-2A.{x|0≤x<1}
B.{x|-2C.{x|-2D.{x|0≤x≤1}
解析:在数轴上分别表示出集合A,B(图略),
得A∪B={x|-2答案:C
3.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|xA.-1B.a>2
C.a≥-1
D.a>-1
解析:因为A∩B≠?,所以集合A,B有公共元素,在数轴上表示出两个集合,如图所示,易知a>-1.
?
答案:D
4.已知集合A={(x,y)|y=x+3},B={(x,y)|y=3x-1},则A∩B= .
答案:{(2,5)}
5.已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|x≤1,或x≥5},求A∩B,
A∪B.
解:用数轴表示出集合A,B,如图所示.
?
则A∩B={x|x<-1,或x≥5},A∪B={x|x≤1,或x>4}.(共44张PPT)
1.2 集合的基本关系
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.理解子集、真子集的概念及集合相等的含义.
2.掌握子集、真子集及集合相等的应用,会判断集合间的基本关系.
3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.
4.通过本节的学习,学生能识别并判断集合的关系,提升逻辑推理的能力.
自主预习·新知导学
一、元素与集合的相关概念
【问题思考】
1.阅读下面的语句,并回答提出的问题:
观察下列各组集合:
①A={1,2,3};B={1,2,7};C={1,2,3,4,5}.
②P={马};Q={黑马}.
(1)集合A,B,C中的元素有关系吗?
(2)集合P与集合Q中的元素有关系吗?
提示:(1)有关系.集合A中的每一个元素都属于集合C,集合B中的1,2属于集合C,7不属于集合C.
(2)有关系.集合Q中的每一个元素都属于集合P.
2.填空:
子集的概念:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集,记作A?B(或B?A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).
二、子集的性质
【问题思考】
1.已知集合A={x|(x-1)2=0},B={1,2,3},C={1,2,3,4},请问集合A与B,B与C,A与C之间是什么关系?
提示:由题意,知A={1}.根据集合的关系,可知A?B,B?C,A?C.
2.填空:子集的有关性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A
?
A.
(2)规定:空集是任何集合的子集,也就是说,对于任意一个集合A,都有?
?
A.
(3)对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等,记作A=B.
【拓展】对于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么A
?
C.
3.想一想:?与{0}有什么区别?
提示:?是不含任何元素的集合,{0}是含有一个元素0的集合,
??{0}.
三、Venn图
【问题思考】
1.填空:Venn图
为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.
2.下列集合间是什么关系?能不能用Venn图表示?
(1)A={1,2},B={x|x2-3x+2=0};
(2)A={平行四边形},B={矩形}.
提示:(1)解x2-3x+2=0得x=1或x=2,
故B={1,2},所以A=B;(2)B?A.
它们用Venn图表示如下.
四、真子集
【问题思考】
1.集合B={1,2},集合C={x|(x2-2x)(x-1)=0}与集合A={0,1,2}的元素有何关系?
提示:集合B中的元素都是集合A中的元素,但集合A中的元素0在集合B中没有.
由(x2-2x)(x-1)=0得x=0或x=1或x=2,则C={0,1,2},即集合A与C的元素完全相同.
2.填空:对于两个集合A与B,如果A?B,且A≠B,那么称集合A是集合B的真子集,记作A
?
B(或B
?
A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).
3.列出集合A={0,1,2}的真子集.
提示:集合A={0,1,2}的真子集有?,{0},{1},{2},{0,1},{1,2},{0,2}.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)任何集合都有两个子集.(
×
)
(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.(
×
)
(3)空集是任何集合的真子集.(
×
)
(4)集合A不能是其自身的真子集.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
子集的确定
【例1】
已知集合A满足{a,b}?A?{a,b,c,d},求满足条件的集合A.
解:由题意可知,A中一定有a,b,对于c,d可能没有,也可能有1个,故满足{a,b}?A?{a,b,c,d}的A有{a,b},{a,b,c},{a,b,d}.
求解有限集合的子集问题,关键有三点
(1)确定所求集合;(2)合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出;(3)注意两个特殊的集合,即空集和集合本身.
注意:一般地,若集合A中有n(n≥1)个元素,则其子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个.
【变式训练1】
适合条件{1}?A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )
A.15
B.16
C.31
D.32
解析:满足条件的集合A有{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,2,3},
{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},
{1,2,4,5},{1,3,4,5},共15个.
答案:A
探究二
集合间关系的判断
【例2】
指出下列各对集合间的关系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};
(3)A={x|-1(4)M={x|x=2n-1,n∈N+},N={x|x=2n+1,n∈N+}.
解:(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故集合A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A?B.
(3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示.
?
由图可知A?B.
(4)由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故N?M.
判断集合与集合间关系的常用方法:(1)一一列举观察.(2)集合元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法:利用数轴或Venn图判断.若A?B和A?B同时成立,则A?B更能准确表达集合A,B之间的关系.
【变式训练2】
已知集合M={x|x=3k-2,k∈Z},
P={y|y=3n+1,n∈Z},S={z|z=6m+1,m∈Z},则集合M,P,S之间的关系为( )
A.S?P?M
B.S=P?M
C.S?P=M
D.S?P?M
解析:对于M:x=3k-2=3(k-1)+1,k∈Z,
对于P:y=3n+1,n∈Z,
∴M=P.
而集合S中,z=6m+1=3·(2m)+1,m∈Z,
故S?P=M.
答案:C
探究三
集合相等
【例3】
已知集合A={1,1+a,1+2a},B={1,q,q2}.若A=B,求实数a,q的值.
分析:根据两集合相等,列出关于a,q的方程组,求出a,q并验证是不是符合集合元素的互异性,从而得解.
1.若两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序无关,但要注意检验,排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形.
2.若两个集合中的元素均有无限多个,要看两集合的代表元素是否一致,且看代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两集合相等.
3.另外证明两个集合相等的思路是证A?B且B?A.
答案:C
探究四
由集合间的关系求参数范围
【例4】
已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},若A?B,求实数m的取值范围.
分析:根据集合关系把已知集合标在数轴上,然后建立不等式组求解.
1.本例中若将“A={x|-2≤x≤5},A?B”改为“A={x|x<-2或x>5},B?A”,求实数m的取值范围.
2.已知集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax-2=0},且B?A,求实数a的值.
解:A={x|x2-2x-3=0}={-1,3}.
当B=?时,ax-2=0无解,可得a=0.
当B≠?时,由于B?A,因此B={-1}或B={3}.
①当B={-1}时,由a×(-1)-2=0,可得a=-2;
1.求解集合中的参数问题,应先分析、化简每个集合,然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解.
2.利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,其中特别要注意端点值的检验.
3.注意空集的特殊性,遇到“B?A”时,若B为含字母参数的集合,一定要分“B=?”和“B≠?”两种情形讨论.
【变式训练4】
已知集合A={x|1易
错
辨
析
因忽视空集的特殊性致误
【典例】
已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B?A,求m的值.
错解 A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.
∵B?A,
∴mx+1=0的解为x=-3或x=2.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:上述解法是初学者解此类题的典型错误解法.原因是考虑不全面,由集合B的含义及B?A,忽略了集合B为?的可能,而漏掉解.
正解:A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.
∵B?A,
∴可以分以下情形讨论:当B=?时,有m=0,符合题意.
在解决此类问题时,若题目出现包含关系时,应首先想到有没有出现?的可能.
【变式训练】
已知集合A={x|1随
堂
练
习
1.下列关系错误的个数是( )
①1∈{0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2}?{0,1,2};
④{0,1,2}={2,0,1};⑤{0,1}?{(0,1)}.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①正确;因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集,而不能用属于来表示,所以②错误;③正确,因为任何集合都是它本身的子集;④正确,因为集合元素具有无序性;因为集合{0,1}表示数集,它有两个元素,而集合{(0,1)}表示点集,它只有一个元素,所以⑤错误,所以错误的个数是2.故选B.
答案:B
2.集合A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数为( )
A.4
B.7
C.8
D.16
解析:由题意,可得A={0,1,2},
其真子集为?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共7个.
答案:B
3.若{1,2}={x|x2+bx+c=0},则( )
A.b=-3,c=2
B.b=3,c=-2
C.b=-2,c=3
D.b=2,c=-3
解析:依题意知,x1=1,x2=2是方程x2+bx+c=0的两个实数根,由根与系数的关系,得b=-3,c=2.
答案:A
4.已知集合U,S,T,F的关系如图所示,则下列关系正确的是( )
?
①S∈U;②F?T;③S?T;
④S?F;⑤S∈F;⑥F?U.
A.①③
B.②⑤
C.③④
D.③⑥
解析:元素与集合之间的关系才用∈,故①⑤错误;子集的区域要被全部涵盖,故②④错误,③⑥正确.
答案:D
5.已知集合A={x|x-7≥2},B={x|x≥5},判断集合A,B间的关系.
解:因为A={x|x-7≥2}={x|x≥9},B={x|x≥5},所以A?B.(共39张PPT)
1.1 集合的概念
第2课时 集合的表示
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.掌握用列举法、描述法表示集合,并能够运用两种表示方法表示一些简单集合.
2.了解区间的含义,能用区间表示集合.
3.体会数学抽象的过程,加强抽象概括、数学运算素养的培养.
自主预习·新知导学
一、集合的表示
【问题思考】
阅读下面的语句,并回答提出的问题:
学习了集合的概念后,老师布置了一道作业题:把所有满足不等式3x-1<2x+9的正整数解用集合表示.结果李洋、张宇、王笑、吴婷婷四名同学给出了四个不同的答案,如下:
1.李洋的答案是否正确?他用了什么方法表示?
提示:正确,他是先解不等式,再找出正整数解,最后用列举法表示.
2.张宇、王笑、吴婷婷三名同学的答案是否正确?若正确,是用什么方法表示的?
提示:张宇、吴婷婷的答案都是正确的,是用描述法表示的.
3.表示集合的常用方法
(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{ }”内表示集合的方法,一般可将集合表示为{a,b,c,…}.
【特别提示】用列举法表示集合时,元素排列的顺序可以不同.如{1,2,3}与{2,1,3}表示同一个集合.
(2)描述法:通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.
二、空集
【问题思考】
1.集合{x∈R|x2<0}中有几个元素?
提示:0个.
2.填空:我们把不含任何元素的集合叫作空集,记作?.
三、实数集的区间表示
【问题思考】
2.区间
【注意】(1)这里的符号“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.
(2)区间是数集的另一种表示方法,区间的两个端点必须保证左小、右大.
3.想一想:区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗?
提示:不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合.(
×
)
(2)集合{x2+1,1}中x的取值为任意实数.(
×
)
(3)用描述法表示方程x-1=0的解为{1}.(
×
)
(4)集合{?}表示空集.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
用列举法表示集合
【例1】
用列举法表示下列集合:
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A.
(2)小于8的质数组成的集合B.
(3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C.
(4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.
解:(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,
所以A={0,2,4,6,8,10}.
(2)小于8的质数有2,3,5,7,所以B={2,3,5,7}.
所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点为(1,4),
所以D={(1,4)}.
1.集合中的元素具有无序性、互异性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序,且元素不能重复,元素与元素之间要用“,”隔开.
2.列举法表示的集合的种类:(1)元素个数少且有限时,全部列举,如{1,2,3,4};(2)元素个数多且有限时,可以列举部分,中间用省略号表示,如“从1到1
000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…,1
000};(3)元素个数无限但有规律时,类似地,也可以用省略号列举,如:自然数集N可以表示为{0,1,2,3,…}.
【变式训练1】
用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合.
(2)单词look中的字母组成的集合.
解:(1)小于10的所有自然数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)因为集合中的元素具有互异性,所以look中的字母组成的集合为{l,o,k}.
因为x为整数,所以x的取值为4,5,6,故所求集合为{4,5,6}.
探究二
用描述法表示集合
【例2】
用描述法表示下列集合:
(1)正偶数集;
(2)被3除余2的正整数的集合;
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
解:(1)偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N+,所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N+}.
(2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但元素为正整数,故x=3n+2,n∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.
用描述法表示集合的三个步骤
第一步:用符号表示一般元素及取值范围;
第二步:写出元素所具有的共同特征;
第三步:用竖线隔开写在花括号内.
【变式训练2】
用描述法表示下列集合:
(1)比1大且比10小的实数组成的集合;
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合.
解:(1){x∈R|1(2)集合的代表元素是点,用描述法可表示为{(x,y)|x<0,且y>0}.
探究三
列举法与描述法的综合运用
【例3】
已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}.若A中只有一个元素,求实数a的值.
解:当a=0时,原方程变为2x+1=0,此时
,符合题意.
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,当Δ=4-4a=0,即a=1时,原方程的解为x1=x2=-1,符合题意.
故a=0或a=1.
1.本例中若A中最多有一个元素,求实数a的取值范围.
解:A中最多有一个元素,即A中有一个元素或A中没有元素.当Δ=4-4a<0,即a>1时,原方程无实数解.结合例3知当a=0或a≥1时,A中最多有一个元素.
2.本例中若A中至少有一个元素,求实数a的取值范围.
解:A中至少有一个元素,即A中有一个或两个元素.
由Δ=4-4a>0,得a<1,结合例3可知a≤1.
故当a≤1时,A中至少有一个元素.
在用描述法表示集合时应注意
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数,还是有序实数对(点),还是集合或其他形式.
(2)元素具有怎样的特征.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的特征时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.
易
错
辨
析
因忽视集合中代表元素的表示形式致误
【典例】
用列举法表示集合A={(x,y)|y=x2,-1≤x≤1,x∈Z}.
错解 由-1≤x≤1,x∈Z,得x=-1,0,1,分别代入y=x2,得y=1,0,1,故A={0,1}.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:错解误把点集当数集,与{y|y=x2,-1≤x≤1,x∈Z}混淆.
解集合问题时一定要弄清集合的本质是什么,而集合的本质取决于代表元素的表现形式,即弄清代表元素的特征.
答案:C
随
堂
练
习
答案:D
2.集合A={x|-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示为( )
A.{1,2,3}
B.{0,1,2,3}
C.{-2,-1,0,1,2}
D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}
解析:因为x∈N,所以集合A表示-3到3的自然数组成的集合,故用列举法可表示为{0,1,2,3}.
答案:B
3.集合{(x,y)|y=2x-1}表示( )
A.方程y=2x-1
B.点(x,y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合
解析:集合中的元素为点,满足的条件是y=2x-1,故选D.
答案:D
3.集合{(x,y)|y=2x-1}表示( )
A.方程y=2x-1
B.点(x,y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合
解析:集合中的元素为点,满足的条件是y=2x-1,故选D.
答案:D
答案:{-1,0,3,8}
5.用适当的方法表示下列集合:
(1)方程x(x2+2x+1)=0的解集;
(2)在自然数集中,小于1
000的奇数组成的集合.
解:(1)因为方程x(x2+2x+1)=0的解为x1=0,x2=x3=-1,
所以解集为{0,-1}.
(2)在自然数集中,奇数可表示为x=2n+1,n∈N,故在自然数集中,小于1
000的奇数组成的集合为{x|x=2n+1,n∈N且n<500}.(共35张PPT)
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.通过实例了解集合的含义.
2.理解集合中元素的特征,并能利用它们进行解题.
3.掌握元素与集合的关系,并能用符号“∈”或“?”来表示.
4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.
5.体会数学抽象的过程,提升逻辑推理、数学运算能力等素养.
自主预习·新知导学
一、集合的概念
【问题思考】
1.阅读下面的语句,并回答提出的问题:
①平面内到定点O的距离等于定长d的所有的点;
②方程x2-1=0的所有实数根;
③著名的科学家.
(1)以上各语句中要研究的对象分别是什么?
(2)哪个语句中的对象不确定?为什么?
提示:(1)分别为点,实数根,科学家.
(2)③中的对象不确定.因为“著名”没有明确的划分标准.
2.填空:一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母A,B,C,…表示.
集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示.
3.做一做:下列各组对象不能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数
B.高一数学课本中所有的简单题
C.被3除余2的所有正整数
D.函数y=x图象上所有的点
答案:B
二、元素与集合的关系
【问题思考】
1.设集合A表示“1~10之间的所有质数”,3和4与集合A是何关系?
提示:3是集合A中的元素,即3属于集合A,记作3∈A;4不是集合A中的元素,即4不属于集合A,记作4?A.
2.填空:如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A,记作a∈A;如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A,记作a?
A.
三、集合中元素的性质
【问题思考】
1.构成英文单词good的所有字母能否组成一个集合?如果能组成一个集合,该集合中有几个元素?为什么?
提示:能.因为集合中的元素是明确的(确定性).三个元素.因为集合中的元素必须是不同的(互异性).
2.某班所有的高个子同学能否组成一个集合?某班身高高于175
cm的男生能否组成一个集合?集合元素确定性的含义是什么?
提示:某班所有的高个子同学不能组成集合,因为高个子无明确的标准.身高高于175
cm的男生能组成一个集合,因为标准确定.集合元素确定性的含义:集合中的元素必须是确定的,也就是说,一个集合确定后,任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了.
3.填空:
(1)抽象概括:一个集合确定后,任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了.
(2)规定:一个集合中的任何两个元素都不相同.也就是说,集合中的元素没有重复.
(3)概括:集合中元素具有确定性、互异性、无序性.
四、常用的数集及其记法
【问题思考】
1.非负整数集与正整数集有何区别?
提示:非负整数集包括0,而正整数集不包括0.
2.填表:
3.想一想:若a∈Q,则一定有a∈R吗?反过来呢?
提示:若a∈Q,则一定有a∈R;反过来,若a∈R,但不一定有a∈Q.
答案:(1)∈ (2)? (3)∈ (4)? (5)∈
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)如果小明的身高是1.78
m,那么他应该是由高个子学生组成的集合中的一个元素.(
×
)
(2)方程x2-2x+1=0的解集中含有两个元素.(
×
)
(3)0∈N+.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
集合的概念
【例1】
考察下列每组对象能不能组成一个集合:
(1)等边三角形的全体;(2)小于2的所有整数;(3)所有无理数;
(4)聪明的人;(5)著名的数学家.
解:(1)任给一个三角形,可以明确地判断是不是等边三角形,要么是,要么不是,两者必居其一,且仅居其一,故“等边三角形的全体”能组成集合;同理可得,(2)能组成集合;(3)能组成集合;
(4)“聪明的人”没有明确的判断标准,对于某个人算不算聪明无法客观判断,因此“聪明的人”不能组成集合;同理可得,(5)不能组成集合.
一般地,要确认一组对象a1,a2,a3,…,an能不能组成集合的过程为
【变式训练1】
下列各组对象不能组成集合的有 .
(填序号)?
①高一(2)班的女同学;
②26个英文字母;
③很大的数;
④所有的平行四边形;
⑤联合国安全理事会常任理事国;
⑥
的近似值;
⑦在数轴上离原点非常近的点;
⑧世界上最长的河流.
解析:对于①,凡是高一(2)班的女同学都满足,故有明确的标准判断某元素是否属于该集合,因此可以组成集合;类似地,②,④,⑤,⑧均可以组成集合;而对于③,没有一个明确的判断标准,故不能组成集合;同理可得,⑥,⑦不能组成集合.
答案:③⑥⑦
探究二
元素与集合的关系
【例2】
给出下列四个关系:
,其中正确的有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案:C
判断一个元素是不是某个集合的元素,关键是判断这个元素是否具有这个集合元素的共同特征或共同属性.要么具有,要么不具有,两者必居其一,且仅居其一.
探究三
集合中元素的性质
【例3】
已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.
分析:1∈A→a=1或a2=1→验证互异性
解:因为1∈A,所以a=1或a2=1,即a=±1,当a=1时,a=a2,集合A中只有一个元素,所以a≠1;当a=-1时,集合A中含有两个元素1,-1,符合互异性,所以a=-1.
1.本例中若去掉条件“1∈A”,其他条件不变,则实数a的取值范围是什么?
解:由题意a和a2组成含有两个元素的集合,则a≠a2,解得a≠0且a≠1.
2.本例中若将条件“1∈A”改为“2∈A”,其他条件不变,求实数a的值.
3.已知集合A中含有三个元素a+1,3a,a2+1,若1∈A,求实数a的值.
根据集合中元素的特征求解字母取值的三个步骤
易
错
辨
析
因忽视集合中元素的互异性致误
【典例】
方程x2-(a+1)x+a=0的解集中有几个元素?
错解 x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为x1=1,x2=a,则方程的解集有两个元素1,a.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:以上错解中没有注意到字母a的取值是不确定的.事实上,当a=1时,不满足集合中元素的互异性.
正解:因为x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为x1=1,x2=a.
若a=1,则方程的解集只有一个元素1;若a≠1,则方程的解集有两个元素1,a.
1.先解方程得到x的可能值,再根据元素的互异性进行检验.
2.在解方程求得x的值后,常因忘记验证集合中元素的互异性,而造成过程性失分.
【变式训练】
若以方程x2-5x+6=0和x2-x-2=0的解为元素组成集合M,则M中元素的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:方程x2-5x+6=0有两个不同的解x1=2,x2=3,方程x2-x-2=0有两个不同的解x3=-1,x4=2,其中2是相同的,在集合M中作为一个元素,故M中共有3个元素.
答案:C
随
堂
练
习
1.下列各选项中所述对象可以组成集合的是( )
A.相当大的数
B.本班视力较差的学生
C.广州六中2020级学生
D.著名的教育家
解析:A中“相当大”这个词界限不确定,不明确哪些元素在该集合中,故选项A中的对象不能组成集合;同样选项B,D中的对象也不能组成集合,故选C.
答案:C
2.设集合A中只含有一个元素a,则有( )
A.0∈A
B.a?A
C.a∈A
D.a=A
解析:∵集合A中只含有一个元素a,
∴a属于集合A,即a∈A.
答案:C
3.由x2,x3组成一个集合A,A中含有两个元素,则实数x的取值可以是( )
A.0
B.-1
C.1
D.-1或1
解析:验证法:若x=0,x2=0,x3=0,不合题意;
若x=1,x2=1,x3=1,不合题意;
若x=-1,x2=1,x3=-1,符合题意,故选B.
答案:B
答案:(1)? ∈ ∈ (2)? ∈ ∈
5.已知集合M中含有3个元素:0,x2,-x,求x满足的条件.