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第二章 平面向量
2.2 平面向量的线性运算
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1．通过实例理解并掌握向量数乘定义及其规定．(重点)
2．理解两向量共线的含义．(重点)
3．掌握向量数乘运算法则并会进行有关运算．(难点)
1．向量的数乘运算
实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做向量的______，记作____，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝_________.
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向_______；
当λ＜0时，λa的方向与a的方向______．
(3)当λ＝0时，λa＝____.
向量
数乘
λa
|λ||a|
相同
相反
0
2．实数与向量的积的运算律
(1)λ(μa)＝__________；
(2)(λ＋μ)a＝_________；
(3)λ(a＋b)＝________.
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.
3．向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使_________.
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
b＝λa
判一判(判断下列说法的正误)
(1)实数λ与向量a的和λ＋a与差λ－a是向量．( )
提示：× 实数与向量不能作加减运算．
(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．( )
提示：√ －3a与3a方向相反．
(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．( )
提示：√ |－6a|＝6|a|＝2×|3a|.
1．从两个角度看数乘向量
(1)代数角度
λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，λa＝0的条件是λ＝0或a＝0.
(2)几何角度
对于向量的长度而言，
①当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ＞1)或反方向(λ＜－1)上伸长到|a|的|λ|倍；
②当0＜|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到|a|的|λ|倍．
2．对向量共线定理的理解
(1)定理本身包含了正、反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b＝λa.
(2)定理中，之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不唯一，定理的正、反两个方面不成立．
(3)若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.
向量的线性运算
向量线性运算的基本方法
向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用．
用已知向量表示其他向量
思路点拨：
用已知向量表示未知向量的求解思路
【互动探究】
若将本例中的“CD＝2BD”改为“CD＝BD”，你能用两种方法解答吗？
共线向量定理的应用
(12分)如图所示，已知在?ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线．
规范解答系列(三) 三点共线的判定
【即时演练】
如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M，使DM＝CD，延长BE至N，使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．
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第二章 平面向量
2.2 平面向量的线性运算
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
1．了解相反向量的概念．
2．了解差向量的概念和向量加减法间的关系．(重点、易混点)
3．掌握向量减法运算，理解其几何意义．(重点、难点)
1．相反向量
与a_______________的向量，叫做a的相反向量，记作___.
(1)规定：零向量的相反向量______________；
(2)－(－a)＝a；
(3)a＋(－a)＝____________＝___；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝_____，b＝－a，a＋b＝0.
模相等方向相反
－a
仍是零向量
(－a)＋a
0
－b
2．向量的减法
a的终点
1．想一想
若a＋b＝c＋d，则a－c＝d－b成立吗？
提示：成立，移项法则对等式适用．
1．向量的减法中应注意的问题
(1)两个向量的差仍是一个向量．
(2)向量的减法是加法的逆运算，因此向量的减法也适合交换律与结合律．
向量的减法及其几何意义
1.平移作两向量的差的步骤
此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”．
【互动探究】
本例中条件不变，求作向量a－b－c.
向量加、减法运算的综合
向量减法运算的常用方法
用已知向量表示其他向量
用已知向量表示其他向量的基本步骤
第一步：观察各向量的位置；
第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；
第三步：运用法则找关系；
第四步：化简结果．
易错误区系列(十二) 用错向量减法法则而致误
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第二章 平面向量
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
1．通过实例了解向量加法定义的由来．
2．掌握向量加法运算，并理解其几何意义．(重点、难点)
3．掌握向量加法的运算律，并会应用它们进行向量计算．(重点)
1．向量的加法
两个向量和
0＋a
2.向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝_______.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝_________．
3．重要结论
|a＋b|_____|a|＋|b|
b＋a
a＋(b＋c)
≤
1．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
(1)两个法则的使用条件不同．
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的联系
(1)当向量a与b不共线时，向量a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三边．
(2)当向量a与b同向时，向量a＋b与a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)当向量a与b反向，且|a|≤|b|时，a＋b与b方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.
3．向量加法的运算律的拓展
向量加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，就可以按照任意的次序和任意的组合进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋d)＋(b＋c)．
向量加法的运算
向量加法运算的几个注意点
(1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.
(2)运用多边形法则进行向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
向量加法与平面几何的综合应用
用向量加法证明几何问题的一般步骤及注意点
(1)一般步骤
①要把几何问题中的边转化成相应的向量；
②通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系；
③还原成几何问题．
(2)两点注意
①注意法则的应用；
②注意证明有向线段表示的向量相等，要说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等．
一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300
km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北30°的方向处，且A、C两地相距300
km，求飞机从B地到C地飞行的方向及B、C间的距离．
向量加法的实际应用
求解与向量有关的实际问题解题步骤
易错误区系列(十一) 向量加法的应用误区
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第二章 平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
1．了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出向量．(重点)
2．理解向量、相等向量的概念及向量的几何表示．(难点)
3．掌握向量的概念及共线向量的概念．(重点、易混点)
1．向量的概念
向量的两个要素：(1)大小；(2)______．
2．向量的表示
(1)表示工具——有向线段．
有向线段的三个要素：①____，②____，③____.
方向
起点
方向
长度
起点
终点
|a|
0
0
1
长度相等
方向相同
相同或相反
a∥b
1．想一想
零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？
提示：零向量的方向是任意的，两个单位向量的方向可以不同．
(2)与实数类似，对于两个向量a，b有：a＝b，a＞b，a＜b三种关系．( )
提示：× 向量只有相等或不相等，没有大小之分，因为向量不能比较大小．
(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( )
提示：× 两个向量平行时，表示向量的有向线段所在直线平行或重合．
3．对共线向量或平行向量的理解
(1)共线向量与平行向量是同一概念的不同名称，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，并规定零向量与任意向量平行．表示共线向量的有向线段所在的直线可以平行，也可以重合，所以“共线”“平行”的含义不同于平面几何中“共线”“平行”的含义．
(2)共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．
给出下列命题：
(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
(2)向量的模一定是正数；
(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
向量的有关概念
思路点拨：解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．
解析：(1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
(2)错误.0的模为零．
(3)正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
命题真假判断的方法
对于命题判断真假，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可．
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)两个有公共点的向量，一定是共线向量；
(2)数轴有方向，所以数轴是向量；
(3)由于0方向不确定，故0不与任何向量平行；
(4)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b.
解：(1)错误．有公共点的向量，它们的方向不一定相同或相反．
(2)错误．向量是既有大小又有方向的量，数轴虽有方向，但没有大小．
(3)错误.0方向不确定，规定0与任一向量平行．
(4)错误．向量不能比较大小．
一辆汽车从A点出发向西行驶了100
km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200
km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100
km到达D点．
向量的表示
向量的两种表示方法
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．
如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出：
相等向量与共线向量
1.在平面图形中找出相等向量和平行向量的关键
关键是根据平面图形的几何性质寻找线线的平行关系和线段之间的长度相等关系．
2．向量平行与直线平行的关系
两条直线平行时，直线上的有向线段平行，从而有向线段所表示的两个向量平行；两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线不一定平行(可能重合)．
易错误区系列(十) 对向量有关概念理解不准致误
错解
错因
填(1)(4)(5)或(3)(4)(5)
对向量相等概念理解不准或将向量和有向线段混淆，会误认为(1)正确；将向量平行和直线平行混淆，误认为(3)正确
【即时演练】
下列叙述：
(1)单位向量都相等．
(2)若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定．
(3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
(4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.
其中正确的有__________．(填所有正确的序号)
解析：(1)错误．单位向量模都相等，但是方向不一定相同．
(2)正确．若一个向量的模为0，则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的．
(3)错误．共线的向量，若起点不同，则终点有可能相同．
(4)错误．由|a|＝|b|，仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
答案：(2)
谢谢观看！
