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第二章 平面向量
2.5 平面向量应用举例
1．能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点)
2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)
3．掌握用向量方法解决实际问题的步骤．(易混点)
1．物理学中的量与向量的关系
(1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是________．
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的_______法．
向量
加减
2．用向量方法解决平面问题的“三步法”
1．想一想
船逆水行驶的实际速度，可看作向量怎样的运算？
提示：可看作船静水速度(向量ν1)与水流速度(向量ν2)的和运算，即ν1＋ν2.
1．向量在平面几何中的应用
(1)把平面几何中的线段规定方向转化为向量，这样，有关线段的长度即转化为向量的长度(模)、射线的夹角即转化为向量的夹角，于是平面几何中的一此证明、计算就被向量的运算取代，这给许多问题的解决带来了方便，就是说向量为我们研究平面几何问题提供了一种新的思想，新的工具．
(2)平面几何证明中辅助线往往是学习的难点，而引入向量后，就减少或不需作辅助线，但应注意选用基底表示有关向量时，选用的基底不同，解法也会有一些差别，因此选用合适的基底显得很重要．
2．在物理中与向量运算有关的问题
(1)力、速度、加速度、位移都是向量．
(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减．
(3)动量mv是数乘向量．
(4)功是力F与位移s的数量积，即W＝F·s.
试用向量方法证明：平行四边形对角线平方和等于其各边平方和．
向量在平面几何中的应用
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找相应关系；
④把几何问题向量化．
求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
解：如图所示，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，
向量在物理中的应用
思路点拨：解答本题的切入点是根据三个力F1，F2，F3处于平衡状态分析出F1＋F2＋F3＝0.
向量解决物理问题的步骤
【互动探究】
在本例中，求F2与F3的夹角．
易错误区系列(十七) 利用向量判断平面图形
形状时的误区
错解
错因
选A或B或D
若在①处忽视a2＝|a|2的应用，②处忽视向量数量积的运算律的应用，③处相反向量的意义应用出错，则导致解答错误
【纠错提升】 应用向量知识判断平面图形形状的三点注意
(1)注意向量线性运算和数量积的几何意义的应用．
(2)注意常见平面图形的判定方法，如等腰三角形、等边三角形、平行四边形、梯形等．
(3)推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导，回答应力求准确．
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第二章 平面向量
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1．理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算．(重点)
2．能够用两个向量的坐标来判断向量的垂直关系．(难点)
3．增强用向量法与坐标法来处理向量问题的能力．(易混点)
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
2.三个重要公式
做一做
(1)已知a＝(－2,1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x＝______.
解析：∵a⊥b，∴－2x＋1×(－2)＝0.∴x＝－1.
答案：－1
1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题
向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来，本节主要应用有：
(1)求两点间的距离(求向量的模)．
(2)求两向量的夹角．
(3)证明两向量垂直．
2．向量垂直与向量平行坐标表示的区别
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
若a∥b?x1y2＝x2y1；
若a⊥b?x1x2＝－y1y2.
两个命题不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(2a－b)；
(3)(a·b)·c.
思路点拨：首先求解相关向量的坐标，再代入坐标运算表达式求解．
数量积的坐标运算
解：(1)a·b＝1×2＋3×5＝17.
(2)∵a＋b＝(3,8)，2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(0,1)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.
(3)(a·b)·c＝17·c＝17(2,1)＝(34,17)．
数量积坐标运算的方法技巧
(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
|a|2＝a·a.
(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2.
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解．
1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．
又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10.∴λ＝2.∴a＝(2,4)．
(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
∴(a·c)·b＝0·b＝0.
已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a的坐标．
思路点拨：
与向量模有关的问题
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算．
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算．
【互动探究】
本例中将“a∥b”改为“a·b＝10”，求a的坐标．
思路点拨：(1)按求向量夹角的步骤求解；
(2)利用两向量垂直数量积为零来证明．
向量的夹角与垂直问题
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
易错误区系列(十六) 忽视共线情况求错取值范围
【纠错提升】 两向量数量积符号与它们夹角的关系
(1)向量a与b的夹角为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0包含了a与b反向共线的情况．
(2)向量a与b的夹角为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0包含了a与b同向共线的情况．
【即时演练】
本例中a与b的夹角改为锐角，试求λ的取值范围．
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第二章 平面向量
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
1．掌握平面向量的数量积及其几何意义．(重点)
2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律．(重点)
3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件．(重点、难点)
1．向量的数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积
已知条件
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义
a与b的数量积(或内积)是数量_________
记法
a·b＝___________
|a||b|cos
θ
|a||b|cos
θ
(2)零向量与任意向量的数量积
规定：______________________________．
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念
①向量b在a的方向上的投影为____________.
②向量a在b的方向上的投影为____________.
(2)数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与__________________________的乘积．
零向量与任意向量的数量积为零
|b|cos
θ
|a|cos
θ
b在a的方向上的投影|b|cos
θ
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
≤
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
1．对数量积的理解
(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角，这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解．
(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0°时，符号为正；当夹角为钝角或180°时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零．
(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作a·b，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×”代替，写成a×b.
已知|a|＝3，|b|＝6，当：①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
思路点拨：解答本题可充分利用a·b＝|a||b|cos
θ，只要确定好夹角θ的值即可解决．
平面向量数量积的基本运算
求平面向量数量积的两个方法
(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos
θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.
1．已知|a|＝4，|b|＝5，且向量a与b的夹角为60°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．
已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|3a－4b|.
与向量的模有关的问题
求向量模的常见思路及常用公式
(1)求向量模的常见思路
(2)常用公式
①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；
②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
【互动探究】
本例中若将“a与b的夹角为120°”改为“a·b＝－1”，其他条件不变，则|a＋2b|的值又是什么？
已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直．
向量的夹角与垂直问题
求向量夹角的一般步骤
易错误区系列(十五) 对向量夹角概念理解模糊致误
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第二章 平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1．通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量，以及两直线平行与两向量共线的判定．(易混点)
2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并会应用．(重点)
3．会根据平面向量的坐标判断向量是否共线．(难点)
1．平面向量共线的坐标表示
2．对两个向量共线条件的三点说明
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0时，a＝λb
这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点，程序化的特征．
做一做
(1)已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是______．
解析：∵a∥b，∴－y－4＝0，即y＝－4.
答案：－4
(2)向量a＝(n,1)，b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝______.
解析：由a与b共线且方向相同，故存在实数λ＞0，使a＝λb，即(n,1)＝(4λ，nλ)．解得n＝2.
答案：2
向量共线的判定
向量共线的判定方法
已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，当实数k为何值时，向量ka－b与a＋3b平行？并确定此时它们是同向还是反向．
由共线向量求参数
由向量共线求参数的值的步骤
【互动探究】
本例中，向量ka－b与a＋3b能否同向？ka＋b与a＋3b能否同向？
利用向量共线的坐标表示解决三点共线问题
易错误区系列(十四) 忽视向量共线中的方向致误
【纠错提升】 向量共线坐标运算中的三点注意
(1)准确计算有关向量的坐标是解答此类问题的前提．
(2)当向量用坐标表示时，在解决与向量共线有关的问题时，一般用坐标表示向量平行．
(3)向量共线的坐标表示将向量共线用代数形式表示出来后，要注意与其他知识的结合应用．
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第二章 平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量．(重点)
2．掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算．(难点)
3．了解向量的坐标表示与平面内点的坐标．(易混点)
1．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．
互相垂直
2．平面向量的坐标表示
3．平面向量的坐标运算
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
相应坐标的和(差)
(λx，λy)
相应坐标
(x2－x1，y2－y1)
终点
起点
判一判(判断下列说法的正误)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
提示：× 向量的坐标是由终点坐标与起点坐标决定，终点不同，这两个向量的坐标可能相同．
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
提示：× 只有当向量的起点在原点时，其坐标与终点坐标才能相同．
(3)在平面直角坐标系中，两相等向量的终点坐标一样．( )
提示：× 在平面直角坐标系中，相等向量的终点坐标不一定一样．
1．点的坐标与向量的坐标的区别
(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．
(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．
提醒：在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系，关系图如图所示：
2．相等向量坐标之间的关系
由向量的坐标定义知，两向量相等等价于它们的坐标相等，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b?x1＝x2且y1＝y2.
3．向量的三种运算体系
(1)图形表示下的几何运算．
此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的应用．
平面向量的坐标表示
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
平面向量的坐标运算
平面向量坐标运算的技巧
(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
(2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算．
(3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．
解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)；
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)；
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)；
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．
规范解答系列(四) 平面向量坐标运算的综合应用
【题后悟道】 坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等．反之对应坐标相等的向量是相等向量．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值．
【即时演练】
已知点A(1,0)、B(0,2)、C(－1，－2)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
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第二章 平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量．(重点)
2．掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的运算．(难点)
3．了解向量的坐标表示与平面内点的坐标．(易混点)
1．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．
互相垂直
2．平面向量的坐标表示
3．平面向量的坐标运算
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
相应坐标的和(差)
(λx，λy)
相应坐标
(x2－x1，y2－y1)
终点
起点
判一判(判断下列说法的正误)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
提示：× 向量的坐标是由终点坐标与起点坐标决定，终点不同，这两个向量的坐标可能相同．
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
提示：× 只有当向量的起点在原点时，其坐标与终点坐标才能相同．
(3)在平面直角坐标系中，两相等向量的终点坐标一样．( )
提示：× 在平面直角坐标系中，相等向量的终点坐标不一定一样．
1．点的坐标与向量的坐标的区别
(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．
(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．
提醒：在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系，关系图如图所示：
2．相等向量坐标之间的关系
由向量的坐标定义知，两向量相等等价于它们的坐标相等，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b?x1＝x2且y1＝y2.
3．向量的三种运算体系
(1)图形表示下的几何运算．
此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的应用．
平面向量的坐标表示
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
平面向量的坐标运算
平面向量坐标运算的技巧
(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
(2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算．
(3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．
解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)；
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)；
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)；
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．
规范解答系列(四) 平面向量坐标运算的综合应用
【题后悟道】 坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等．反之对应坐标相等的向量是相等向量．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值．
【即时演练】
已知点A(1,0)、B(0,2)、C(－1，－2)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
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第二章 平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
1．了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理．(重点)
2．理解两个向量夹角的定义，以及两向量的夹角与两直线所成角的区别．(易混点)
3．掌握平面向量基本定理并能熟练应用．(难点)
1．平面向量基本定理
2．向量的夹角
非零
∠AOB＝θ
0°≤θ≤180°
同向
垂直
反向
想一想
平面向量的基底唯一吗？
提示：平面向量的基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面向量的一组基底．
1．对平面向量基本定理的三点说明
(1)实质
平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式．
(2)唯一性
平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．
(3)体现的数学思想
这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题中涉及的向量用基底化归，使问题得以解决．
用基底表示向量
思路点拨：该题目不能直接通过向量的加、减及数乘运算确定λ1，λ2，可以引进参数，利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2.
1.用基向量表示向量的三个依据
(1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则．
(2)向量减法的几何意义；
(3)数乘向量的几何意义．
2．关于基底的一个结论
设e1，e2是平面内一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.
(1)若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是________．
向量的夹角问题
(2)解：①如图所示，∵向量a，b的夹角为60°，
∴向量－a与b的夹角为120°.
两向量夹角的实质和求解
(1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．
(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
【互动探究】
本例(1)中，若|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a＋b的夹角．
因为|a|＝|b|＝|a＋b|，
所以△OAC是等边三角形，平行四边形OACB是菱形．所以∠AOC＝60°.
易错误区系列(十三) 未弄清向量的夹角而致误
【纠错提升】求两个向量的夹角时，应把这两个向量平移到起点重合的位置，若不便于平移，就需要作辅助线，两向量的夹角的范围是[0°，180°]．当两向量同向共线时，其夹角为0°；当两个向量反向共线时，其夹角为180°.
谢谢观看！
