2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册6.1余弦定理与正弦定理（第一课时）学案

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§6.1 余弦定理与正弦定理（第一课时）
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、会利用向量数量积推导余弦定理。 2、掌握余弦定理及其推理。
3、运用余弦定理及推理解决两类基本的解三角形问题。 重点：1、余弦定理的推导。
2、余弦定理及其推理。
难点：余弦定理及推理的应用。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材P108—P109“余弦定理”部分
【问题提出】
在初中学习了“解直角三角形”，利用“勾股定理”和“锐角三角函数”由已知的边和角求出未知的边和角。那么，在任意三角形中，已知两边及其夹角，如何求另外的边和角？已知三边，又如何求出三个角？
分析：在中，分别为角，，所对的边。
，
，
，
即 。
同理：，。
【抽象概括】
1、余弦定理
。
文字概述：三角形任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边及其夹角余弦积的两倍。
思考：勾股定理和余弦定理的关系？（特殊与一般的关系）
2、余弦定理的推论
。
文字概述：三角形任意一角的余弦等于夹该角两边的平方和减去该角对边的平方的差除以夹该角两边积的2倍。
思考：余弦定理能解决什么条件的三角形？（已知两边及其夹角求第三边）
余弦定理的推论能解决什么条件的三角形？（已知三边求三角）
例1在中，已知，，，求边和角、角。
解：，
，则。
，，
，。
同理：（或。
例2如图是古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，约前417—前369）用来构造无理数，，，···的图形。试计算图中线段的长度及的大小。（长度精确到0.1，角度精确到）
解：在中，，，
，
。
在中，，，，
，
。
【方法总结】已知两边及其夹角（边，和角），解三角形的过程：
（1）由余弦定理，求边；
（2）由（或），求（或）；
（3）由，求（或）。
1、的三边之比为，则的最大角等于 。
2、在中，已知，则角等于（ ）。
A． B． C． D．
3、的三边满足，，则（ ）。
A． B． C． D．
4、如图，在□中，。
求证：。
第1页（共3页）——第二章 平面向量及其应用