2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册6.1余弦定理与正弦定理（第四课时）学案

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§6.1 余弦定理与正弦定理（第四课时）
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、掌握余弦定理与正弦定理。 2、掌握余弦定理与正弦定理能解决基本三角形类型。
3、理解已知两边和一边对角，三角形多解问题。 重点：1、余弦定理与正弦定理。
2、余弦定理与正弦定理应用。
难点：已知两边和一边对角，解的个数确定。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材P113“例6及思考交流”部分
【复习回顾】余弦定理与正弦定理的对比
余弦定理 正弦定理
内容

变形
；
条件 ①已知两边及夹角，求第三边；
（由定理知，解唯一）
②已知三边，求三角；
（由定理知，解唯一）
③已知两边和一边对角，求第三边。（解由不等正根的个数确定） ①已知两角和任意边，求其中一边对角；
（由、定理知，解唯一）
②已知两边和一边对角，求另一边对角。
（角的取舍根据“大边对大角”）
思考：已知两边和其中一边对角（如边和角），如何确定解的个数？
例1台风中心位于亳州市正东方300km处，正以40km/h的速度向北偏西方向移动，距离台风中心250km范围内将会受到影响。
（1）若台风风速和方向均不变，那么我市从何时起要遭受台风影响?影响会持续多久？（精确到0.1h）
（2）若台风风速不变，风向变为北偏西，那么台风又如何影响我市？
解：如图，设亳州市位于点，台风中心从点沿射线移动。
（1）由题意，知，，
过作，则，
所以，台风中心距离我市最小值为150km。
假设经过h，台风中心到达点，，则。
，
，
整理，得 ，解得，，。
所以，我市约1.5h后遭受台风影响，持续约10h。
（2）由题意，知，，
过作，则，
所以，台风中心距离我市最小值为150km。
，所以，我市不会遭受台风影响。
假设经过h，台风中心到达点，，则。
，
，整理，得，
，所以，方程无解。
例2 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ），并说明理由。
A． B．
C． D．
分析：选项，
①（正弦定理），，，
所以，三角形一解；
②（余弦定理），，
即，，，三角形一解。
选项，
①（正弦定理），，有两解（一个锐角和一个钝角），，取锐角，所以，三角形一解；
②（余弦定理），，
即，，且，所以，方程有两异号根，三角形一解。
选项，
①（正弦定理），，有两解（一个锐角和一个钝角），，取锐角，所以，三角形一解；
②（余弦定理），，
即，，且，所以，方程有两异号根，三角形一解。
选项，
①（正弦定理），，有两解（一个锐角和一个钝角），，取两解，所以，三角形两解；
②（余弦定理），，
即，，且，所以，方程有两正根，三角形两解。
【抽象概括】“已知两边和一边对角”，三角形解的个数判定
（1）正弦定理判定（已知，和）
分类
且
判断依据



解的个数 一解 两解 一解 无解
（2）余弦定理判定（已知，和）
由余弦定理，得（*）
①若方程（*）有两等正根或两异号根，三角形一解；
②若方程（*）有两不等正根，三角形两解；
③若方程（*）无实根或无正根，三角形无解。
1、在中，判断分别满足下列条件的三角形解的情况。
（1），，； （2），，。
第1页（共3页）——第二章 平面向量及其应用