2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第二章6.1余弦定理与正弦定理（第二课时）学案

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§6.1 余弦定理与正弦定理（第二课时）
————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————
1、了解正弦定理的推导。 2、掌握正弦定理。
3、运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题。 重点：1、正弦定理及其推导。
2、正弦定理的应用。
难点：正弦定理的应用。
【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己
一、阅读教材P110—P111“正弦定理”部分
【复习导入】
1、余弦定理及其推理
（1）余弦定理
。
文字语言如何概括？
（2）余弦定理推理
。
文字语言如何概括？
2、余弦定理及其推理解决三角形类型
（1）已知两边和夹角（如，和），解三角形；
请说出基本过程是什么？
（2）已知三边（，，），解三角形。
请说出基本过程是什么？
【问题提出】
如图，在直角中，，则
，，
，又，
。
上式对于等边三角形，显然成立；对于其他三角形，是否仍然成立？
【分析理解】
如图，是斜角三角形，是边上的高，则
，，
所以 ，
即 ；同理。
所以 。
【抽象概括】
1、正弦定理
。
文字概述：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
思考：（1）正弦定理共有几个等式？请写出所有的等式。每个等式共有几个量？
（2）正弦定理能解决什么条件的三角形？
例1在中，已知，，，求，边。
解：，。
，。
（由于不是特殊角，暂时还不能求值，所以还不能通过求边）
，，
即，解得（负舍）。
评：本题属于已知两角和其中一角对边，解三角形。
例2在中，已知，，，求，边。
解：，。
，。
，，
即，解得（负舍）。
评：本题属于已知两角及其夹边，解三角形。
【方法总结】已知两角和任意一边（角，和边；角，和边），解三角形的过程：（笔算只能解决已知边所对角一定是特殊角）
（1）由，求；
（2）由正弦定理求第二边（特殊角所对边）；
（3）由余弦定理（选含特殊角的公式）求第三边（非特殊角所对边）。
二、阅读教材P112“例5及思考交流”部分
【问题提出】
如图，在直角中，，设
外接圆半径，则，
由正弦定理，得
。
那么，对于锐角三角形、钝角三角形是否有同样的结论？
【分析理解】
如图，锐（钝）角及外接圆，
过作圆的直径，连接，则
，，。
在直角中，，。
2、正弦定理（加强版）
（为外接圆半径）。
文字概述：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比等于外接圆直径。
3、正弦定理的变形
变形一：； 变形二：。
思考：正弦定理的变形有什么意义？
意义：实现边与角的互化，将同次边（角的正弦）化为同次对应角的正弦（对应边）。
例3 在中，内角的对边分别为，且。
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值。
解：（1），，
，，，。
（2）由（1）知，，，
，，
解得，。
1、在中，已知，，，则 。
2、在中，已知，，，则 。
3、在中，已知，则角 。
4、在中，若，则（ ）。
A． B． C．或 D．或
第1页（共3页）——第二章 平面向量及其应用