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习题课三　动能定理和机械能守恒定律的应用
关键能力·探究学习
知识点一　动能定理与牛顿第二定律的比较
1.动能定理与牛顿第二定律的比较:
规律
动能定理
牛顿第二定律
内容
合力做的功等于物体动能的变化
加速度与合外力成正比,与物体的质量成反比
表达
式
标量形式,无分量形式,涉及F、l、m、v、W、Ek、ΔEk
F合=ma,矢量形式,有分量形式,Fx=max,Fy=may
规律
动能定理
牛顿第二定律
研究
对象
单个物体
单个物体或系统(中学阶段,限于只有一个物体有加速度或整体有相同的加速度)
特点
某个过程中,合力的功和动能变化的因果、数值关系
某一时刻,合力与加速度的因果、数值关系
2.规律的选择原则:
(1)解决物体在恒力作用下的直线运动问题,可以用牛顿第二定律结合运动学公式求解,也可以用动能定理求解。
(2)对非匀变速直线运动,动能定理仍然适用,而牛顿运动定律不能运用。
3.规律的应用:
(1)应用牛顿第二定律和运动学规律解题时,涉及到的有关物理量比较多,对运动过程的细节也要仔细研究。
(2)应用动能定理解题只需考虑外力做功和初、末两个状态的动能,并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理。一般情况下,由牛顿第二定律和运动学规律能够解决的问题,用动能定理也可以解决,并且更为简便。
提醒:(1)动能定理没有适用条件。
(2)牛顿第二定律只能适用于恒力作用下的直线运动问题。
【问题探究】
如图所示是古代战争中攻击城门的战车,战车上装有一根质量很大的圆木,有很多士兵推着以很大的速度撞击城门,能轻而易举地将城门撞破。圆木的质量很大,速度很大时,是为了增加圆木的什么能?
提示:增加圆木的动能。
【典例示范】
【典例】如图所示,AB为
圆弧轨道,BC为水平直轨道,圆弧的半径为R,BC的长度也是R。一质量为m的物体,与两个轨道的动摩擦因数都为μ,当它从轨道顶端A由静止下滑时,恰好运动到C处停止,那么物体在AB段克服摩擦力做功为
(　　)
【解析】选D。设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB,物体从A到C的全过程,根据动能定理有mgR-WAB-μmgR=0,所以有WAB=mgR-μmgR=(1-μ)mgR。选项D正确。
【素养训练】
1.(母题追问)在【典例】情境中,物体到达B点对轨道的压力大小是多少?
【解析】由【典例】得,AB段克服摩擦力所做的功
WAB=(1-μ)mgR,
物体从A到B的全过程,根据动能定理有
mgR-WAB=
mv2-0,
在B点由牛顿第二定律得
FN-mg=m
,
联立得FN=(2μ+1)mg,
由牛顿第三定律得:物体对轨道的压力为
F'N=FN=(2μ+1)mg。
答案:(2μ+1)mg
2.右端连有光滑弧形槽的水平面AB长为L=1.5
m,如图所示。一个质量为m=0.5
kg的木块在F=1.5
N的水平拉力作用下,从水平面上A端由静止开始向右运动,木块到达B端时撤去拉力F。木块与水平面间的动摩擦因数μ=0.2,取g=10
m/s2。求:
(1)木块沿弧形槽上升的最大高度;
(2)木块沿弧形槽滑回B端后,在水平面上滑动的距离。
【解析】(1)设木块沿弧形槽上升的最大高度为h,对木块由A端运动到最大高度
的过程,由动能定理得
FL-μmgL-mgh=0
解得
(2)设木块沿弧形槽滑回B端后在水平面上滑行的距离为s,由动能定理得
mgh-μmgs=0
解得s=
=0.75
m。
答案:(1)0.15
m　(2)0.75
m
【加固训练】
1.(2020·吕梁高一检测)如图所示,光滑水平面AB与一半圆形轨道在B点相连,半圆形轨道位于竖直面内,其半径为R,一个质量为m的物块静止在水平面上,现向左推物块使其压紧弹簧,然后放手,物块在弹力作用下由静止获得一速度,当它经B点进入半圆形轨道瞬间,对轨道的压力为其重力的7倍,之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点,重力加速度为g。求:
(1)弹簧弹力对物块做的功。
(2)物块从B到C克服阻力所做的功。
(3)物块离开C点后,再落回到水平面上时的动能。
【解析】(1)由动能定理得
在B点由牛顿第二定律得
7mg-mg=
解得W=3mgR
(2)物块从B到C由动能定理得
-2mgR+W'=
物块在C点时mg=m
解得W'=-
mgR,
即物块从B到C克服阻力做功为
mgR。
(3)物块从C点平抛到水平面的过程中,由动能定理得
2mgR=
解得Ek=
mgR。
答案:(1)3mgR　(2)
mgR　(3)
mgR
2.(多选)在平直公路上,汽车由静止开始做匀加速运动,当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止,v-t图像如图所示。设汽车的牵引力为F,摩擦力为f,全过程中牵引力做功W1,克服摩擦力做功W2,则
(　　)
A.F∶f=1∶3　　　　　B.F∶f=4∶1
C.W1∶W2=1∶1
D.W1∶W2=1∶3
【解析】选B、C。全过程初、末状态的动能都为零,
对全过程应用动能定理得W1-W2=0
①
即W1=W2,选项C正确;
设汽车在0～1
s内和1～4
s内运动的位移大小分别为x1、x2,则W1=Fx1
②
W2=f(x1+x2)
③
在v-t图像中,图像与时间轴包围的面积表示位移,由图像可知,x2=3x1
④
由②③④式解得:F∶f=4∶1,选项B正确。
知识点二　动能定理与机械能守恒定律的比较
1.动能定理与机械能守恒定律的比较:
2.规律的适用范围:
(1)动能定理:恒力做功、变力做功、分段做功、全程做功等均可适用。
(2)机械能守恒定律:只有系统内的弹力或重力做功。
动能定理
机械能守恒定律
研究对象
单个物体
单个物体或系统
条件
无
只有重力或弹力做功
常用公式
W合=Ek2-Ek1
ΔEp=-ΔEk
提醒:(1)若涉及单个物体,优先考虑动能定理;若涉及系统物体,考虑应用机械能守恒定律。
(2)利用机械能守恒定律解题时,不要忘记判断物体或者系统是否机械能守恒。
【问题探究】
毛泽东的诗词中曾写道“一代天骄成吉思汗,只识弯弓射大雕”。试分析成吉思汗在弯弓射雕过程中,涉及机械能中哪些能量之间的转化?
提示:用机械能守恒定律去分析,箭被射出过程中,弹性势能转化为箭的动能;箭上升过程中,动能向重力势能转化;下落过程中,重力势能又向动能转化。
【典例示范】
【典例】北京获得2022年冬季奥林匹克运动会举办权,滑雪
也渐渐成为人们喜爱的时尚运动。如图所示为某室内滑雪
场的滑道,AB为倾角θ1=37°
的斜坡滑道,BC为L=4
m的水
平滑道,CD为半径R=10
m、圆心角α=37°的圆弧滑道,DE为倾角θ2=45°的斜坡滑道,滑道在B点和C点平滑连接。质量m=60
kg
的滑雪者从h=9
m处的P点由静止出发,到达圆弧滑道最高点D时恰好对滑道没有压力而腾空,在空中飞行一段时间后落在DE滑道上的Q点。已知滑雪者与滑道间的动摩擦因数μ=0.1,不计空气阻力,滑雪者可视作质点,sin37°=0.6,cos37°=0.8。求:
(1)滑雪者落点Q与最高点D之间的距离。
(2)滑雪者运动到C点的速度大小。
(3)滑雪者在圆弧滑道CD上损失的机械能。
【解题探究】(1)如何求落点Q与最高点D之间的距离?
提示:利用平抛运动的知识求解。
(2)如何求滑雪者在圆弧滑道CD上损失的机械能?
提示:利用动能定理求解。
【解析】(1)滑雪者在最高点D时恰好对滑道没有压力,设此时的速度为v,则由
圆周运动可知,
mg=m
,
代入数据得v=10
m/s。
设滑雪者落点Q与最高点D之间的距离为x,空中运动时间t,则由平抛运动有
xcosθ2=vt,
xsinθ2=
gt2,
代入数据得x=20
m。
(2)设滑雪者在AB滑道克服摩擦阻力做功为W1,在BC滑道克服摩擦阻力做功为W2,
则W1=μmgcosθ1
=720
J
W2=μmgL=240
J
从P到C过程,由动能定理得:
mgh-W1-W2=
代入数据得vC=2
m/s
(3)设滑雪者在圆弧滑道CD上损失的机械能为W3,则P到D过程,由动能定理有
mg[h-R(1-cosα)]-W1-W2-W3=
mv2-0
代入数据得W3=240
J
答案:(1)20
m　
(2)2
m/s　
(3)240
J
【素养训练】
1.(母题追问)在【典例】情境中,若滑雪者从更高处出发,则在圆弧滑道CD上损失的机械能是增大还是减小?说明理由?
【解析】若滑雪者从更高处出发,则在圆弧滑道CD上损失的机械能是减小。
理由:①滑雪者在到达D前已经脱离滑道腾空飞起。
②滑雪者在圆弧滑道上对滑道的压力更小。
答案:见解析
2.如图所示,一滑块从半圆形光滑轨道上端由静止开始滑下,当滑到最低点时,关于滑块的动能大小和对轨道的压力,下列说法正确的是
(　　)
A.轨道半径越大,滑块动能越大,对轨道的压力越大
B.轨道半径越大,滑块动能越大,对轨道的压力与半径无关
C.轨道半径越大,滑块动能越大,对轨道的压力越小
D.轨道半径变化时,滑块的动能和对轨道的压力都不变
【解析】选B。设滑块滑到最低点时的速度为v,由机械能守恒定律得mgR=
mv2,
故轨道半径越大,滑块在最低点时的动能越大;滑块对轨道的压力FN=mg+
=3mg,
与半径的大小无关。故选项B正确。
【加固训练】
1.如图所示,运动员将质量为m的篮球从h高处出手,进入离地面H高处的篮筐时
速度为v,若以出手时高度为零势能面,将篮球看成质点,忽略空气阻力对篮球的
影响,下列说法正确的是
(　　)
A.进入篮筐时势能为mgH
B.在刚出手时动能为
mgH-mgh
C.进入篮筐时机械能为mgH+
mv2
D.经过途中P点时的机械能为mgH-mgh+
mv2
【解析】选D。由题意可知篮球进入篮筐时,离零势能面的高度为H-h,则此时的
势能为mg(H-h),故A错误;设篮球刚出手时的动能为Ek0,由于不计空气阻力,所以
篮球上升过程中只有重力做功,机械能守恒,所增加的重力势能等于减小的动能,
则有:Ek0-
mv2=mg(H-h),得刚出手时篮球的动能为:Ek0=
mv2+mg(H-h),故B错
误;由于机械能守恒,又因为以出手时的高度为零势能面,则篮球的机械能等于
篮球刚出手时的动能,故篮球进入篮筐时的机械能与在P点时的机械能均为
mgH-mgh+
mv2,故D正确,C错误。
2.(多选)如图所示,竖直弹簧下端与地面固定,上端拴接一小球,小球在竖直力F作用下,将弹簧压缩。若将力F撤去,小球将向上弹起,直到速度变为零为止。在小球上升过程中
(　　)
A.小球动能先增大后减小
B.小球动能与弹簧弹性势能之和先减小后增大
C.小球动能与弹簧弹性势能之和不断减小
D.小球动能减小为零时,重力势能最大
【解析】选A、C、D。撤去力F时,弹力大于重力,小球所受合外力向上,加速度向上,小球向上做加速运动,当弹力减小到与重力平衡时,加速度为零,速度最大,之后,弹力小于重力,合外力向下,加速度向下,小球向上做减速运动,直至速度减为零,故整个过程中小球动能先增大后减小,选项A正确;因上升过程中,重力始终对小球做负功,因此,小球的动能与弹簧弹性势能之和不断减小,选项B错误,C正确;由以上分析可知,小球速度减为零时,上升至最大高度,即重力势能最大,故选项D正确。
1.(多选)(2020·天津等级考)复兴号动车在世界上首次实现速度350
km/h自动驾驶功能,成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车,初速度为v0,以恒定功率P在平直轨道上运动,经时间t达到该功率下的最大速度vm,设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。动车在时间t内
(　　)
A.做匀加速直线运动
B.加速度逐渐减小
C.牵引力的功率P=Fvm
D.牵引力做功
课堂检测·素养达标
【解析】选B、C。由题可知,动车的启动方式为恒定功率启动,由公式P=F牵v,
F牵-F=ma可知启动过程中v增大,F牵减小,所以动车的运动为加速度减小的加速
运动,故A错误,B正确;因为当F牵=F时匀速,动车速度最大为vm=
,故P=Fvm,故C
正确;由动能定理可知:W牵-W阻=
故D错误。
【加固训练】
如图所示,木板长为l,木板的A端放一质量为m的小物体,物体与板间的动摩擦因数为μ。开始时木板水平,在绕O点缓慢转过一个小角度θ的过程中,若物体始终保持与板相对静止。对于这个过程中各力做功的情况,下列说法中正确的是
(　　)
A.摩擦力对物体所做的功为mglsinθ(1-cosθ)
B.支持力对物体所做的功为mglsinθcosθ
C.木板对物体所做的功为mglsinθ
D.合力对物体所做的功为mglcosθ
【解析】选C。重力是恒力,可直接用功的计算公式,则WG=-mgh=-mglsinθ;摩擦力虽是变力,但因摩擦力方向上物体没有发生位移,所以Wf=0;因木板缓慢运动,所以合力F合=0,则W合=0;因支持力N为变力,不能直接用公式求它做的功,由动能定理W合=ΔEk知,WG+WN=0,所以WN=-WG=mgh=mglsinθ,即木板对物体做功为mglsinθ,选项C正确。
2.静止在粗糙水平面上的物块在水平向右的拉力作用下做直线运动,t=4
s时停下,其v-t图像如图所示,已知物块与水平面间的动摩擦因数处处相同,则下列判断正确的是
(　　)
A.整个过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功
B.整个过程中拉力做的功等于零
C.t=2
s时刻拉力的瞬时功率在整个过程中最大
D.t=1
s到t=3
s这段时间内拉力不做功
【解析】选A。全过程由动能定理得WF+Wf=0,所以选项A正确;因物块从静止开始运动,整个过程WF≠0,B错误;拉力的瞬时功率在1～3
s内相等,1
s末时刻拉力的瞬时功率最大,C错误;t=1
s到t=3
s这段时间内,物块做匀速运动,F=f≠0,拉力做功W=Fx13≠0,D错误。
3.(多选)(2020·福州高一检测)滑块以速率v1靠惯性沿固定斜面由底端向上运动,当它回到出发点时速率变为v2,且v2(　　)
A.上升时机械能减小,下降时机械能增大
B.上升时机械能减小,下降时机械能也减小
C.上升过程中动能和势能相等的位置在A点上方
D.上升过程中动能和势能相等的位置在A点下方
【解析】选B、C。由v24.如图所示,AB段为粗糙水平面轨道,BC段是固定于竖直平面内的光滑半圆形导轨,半径为R。一质量为m的滑块静止在A点,在水平恒力F作用下从A点向右运动,当运动至B点时,撤去恒力F,滑块沿半圆形轨道向上运动恰能通过最高点C。已知滑块与水平轨道间的滑动摩擦力f=
,水平恒力F=
。求:
(1)滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ。
(2)滑块运动至C点的速度大小vC。
(3)水平轨道AB的长度L。
【解析】(1)滑块在水平轨道上运动时,
由f=μN=μmg
得μ=
=0.25
(2)滑块在C点时仅受重力,据牛顿第二定律,有
可得vC=
(3)滑块从A到C的过程,运用动能定理得:
(F-f)L-2mgR=
又f=
,F=
解得L=10R。
答案:(1)0.25　(2)
　(3)10R
5.杂技演员甲的质量为M=80
kg,乙的质量为m=60
kg。跳板轴间光滑,质量不计。甲、乙一起表演节目,如图所示。开始时,乙站在B端,A端离地面1
m,且OA=OB。甲先从离地面H=6
m的高处自由跳下落在A端。当A端落地时,乙在B端恰好被弹起。假设甲碰到A端时,由于甲的技艺高超,没有能量损失。分析过程甲、乙可看作质点。(取g=10
m/s2)问:
(1)当A端落地时,甲、乙两人速度大小各为多少?
(2)若乙在B端的上升可以看成是竖直方向,则乙离开B端还能被弹起多高?
【解析】(1)甲跳下直到B端弹起到最高点的过程中,甲、乙机械能守恒,
有
而v甲=v乙,h=1
m
联立可解得v甲=v乙=2
m/s。
(2)乙上升到最高点的过程中,机械能守恒,有:
解得h1=3
m。
答案:(1)2
m/s　
2
m/s　
(2)3
m