数学1-2练习题（含答案）
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数学练习题1-2
1、1．反证法是( )
A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法
B．对其否命题的证明
C．对其逆命题的证明
D．分析法的证明方法
解析：选A.反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．
2．某个命题与正整数n有关，若n＝λ(λ∈N*)时该命题成立，那么可推得当n＝λ＋1时该命题也成立．现已知n＝5时该命题不成立，那么可推得( )
A．n＝6时该命题不成立
B．n＝6时该命题成立
C．n＝4时该命题成立
D．n＝4时该命题不成立
解析：选D.利用逆否命题求解，若n＝λ＋1时，该命题不成立，则n＝λ时该命题也不成立，所以当5＝λ＋1时，n＝λ＝4.
3．在“由于任何数的平方都是非负数，所以(2i)2≥0”这一推理中，产生错误的原因是( )
A．推理的形式不符合三段论要求
B．大前提错误
C．小前提错误
D．推理的结果错误
解析：选B.大前提“由于任何数的平方都是非负数”是错误的，如i2＝－1＜0.
4．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析：选A.各等式可化为：＋＝2，
＋＝2，＋＝2，
＋＝2，
可归纳得一般等式：
＋＝2.故选A.
5．如果f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝1，则＋＋…＋等于( )
A．1005
B．1006
C．2008
D．2010
解析：选B.∵f(a＋b)＝f(a)·f(b)，
∴f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)
……
f(2012)＝f(2011＋1)＝f(2011)·f(1)
∴＋＋…＋
＝f(1)＋f(1)＋…＋f(1)
＝1006f(1)＝1006，故选B.
6．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b∈R)”时，其假设正确的是( )
A．a，b中至少有一个不为0
B．a，b中至少有一个为0
C．a，b全不为0
D．a，b中只有一个为0
解析：选A.a，b全为0的否定是不全为0，也就是a，b中至少有一个不为0.
7．复数z1＝1＋i和z2＝1－i对应的点在复平面内关于________对称( )
A．实轴
B．虚轴
C．第一、三象限的角平分线
D．第二、四象限的角平分线
解析：选A.z1，z2对应的点分别为(1，)，(1，－)，关于实轴对称．
8．若(x2－1)＋(x＋1)i是纯虚数，则实数x的值是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．以上都不对
解析：选A.由题意得，解得x＝1.
9．设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数＋的虚部等于( )
A．1
B．－1
C.
D．－
解析：选A.原式＝＋＝＋＋i＝i.
10．已知△ABC三个顶点所表示的复数分别是1＋3i,3＋2i,5＋4i，则△ABC的面积是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选B.将三个顶点坐标在直角坐标系中表示出来，最好用梯形面积计算省去求夹角与两点距离的繁杂计算，如图所示，过点A，B，C分别作x轴的垂线，分别交x轴于点A′，B′，C′，所以S△ABC＝S梯形AA′C′C－S梯形AA′B′B－S梯形CC′B′B＝－－＝14－5－6＝3.
11．已知数列{an}满足递推式(n＋1)a＝na，而a＝1，通过计算a，a，a，猜想a＝( )
A．n B.
C. D.
【解析】A 由(n＋1)an＝nan＋1知＝，
∴＝，＝，＝，…，＝，将这n－1个式子相乘，得到an＝n，故选
12．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}；第二组含有两个数{3,5}；第三组含有三个数{7,9,11}；…，则第n组内各数之和为( )
A．n B．n
C．n D．n(n＋1)
【解析】选B 第1组中含有1个数1＝13，第2组中和为3＋5＝8＝23，第3组中和为7＋9＋11＝27＝33，…，由此归纳第n组内各数之和为n3，选B.
13．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P、Q、R同时大于零”的________．
解析：必要性显然成立；“PQR＞0”包括P、Q、R同时大于零或其中有两个为负两种情况．假设P，Q分别小于零，则2b＜0，这与b为正实数矛盾，同理，P，R同时小于零或Q，R小于零的情况亦得到矛盾，故P，Q，R同时大于零．
答案：充分必要条件
14．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________．
解析：至少有两个的否定是至多有一个．
答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
15．已知数列{an}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，其中λ为实数，n为正整数，求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列．
证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，
则有a＝a1a3，即(λ－3)2＝λ(λ－4)，
即λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，
整理得9＝0，产生矛盾，所以假设不成立，故{an}不是等比数列．
16．有下列叙述：
①“a＞b”的反面是“a＜b”；
②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；
③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；
④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．
其中正确的叙述有________个．
解析：对于①“a＞b”的反面为“a≤b”，故①不正确；对于②“x＝y”的反面是“x≠y”即“x＞y或x＜y”，故②正确；对于③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”即“三角形外心在三角形内或在三边上”，故③不正确；对于④“三角形最多有一个钝角”的反面为“三角形最少有两个钝角”，故④不正确．
17．已知：非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，
求证：、、不可能构成等差数列．
证明：假设，，成等差数列．则
＝＋.
∴2ac＝bc＋ab.①
又a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c.②
∴把②代入2ac＝b(a＋c)＝b·2b.
∴b2＝ac.③
由②平方4b2＝(a＋c)2.
把③代入4ac＝(a＋c)2，
∴(a－c)2＝0.
∴a＝c.
代入②b＝a.故a＝b＝c.
∴公差为0，
这与已知矛盾．
所以，，不可能成等差数列．
18. 调查某桑场采桑员和辅助工桑毛虫皮炎发病情况结果如下表：
采桑 不采桑 合计
患者人数 18 12
健康人数 5 78
合计
利用2×2列联表的独立性检验估计，“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？
解：n11＝18，n12＝12，n21＝5，n22＝78，
所以n1＋＝30，n2＋＝83，n＋1＝23，n＋2＝90，n＝113.
所以χ2＝
＝≈39.6＞6.635.
所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是1%.
19.(2011年高考上海卷)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解：(z1－2)(1＋i)＝1－i z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4.
∴z2＝4＋2i.
20.若a>0，证明 －≥a＋－2.
证明：要证 －≥a＋－2，
只需证 ＋2≥a＋＋.
只需证2≥2，
即证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，
只需证 ≥，
只需证a2＋≥，
即证a2＋≥2，
即2≥0，显然成立，
所以原不等式成立．
21. .在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝4∶2∶1，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，求证：＋＝.
【证明】 设∠C＝α，则∠B＝2α，∠A＝4α，
且α＋2α＋4α＝7α＝π.欲证＋＝，
可证bc＋ac＝ab，即ab－bc＝ac.因而只需证a－c＝.
在BC上取一点D，使AD＝AB，如图．由角的关系并注意到7α＝π，可有DC＝AD＝AB＝c.
故BD＝a－c.因而只需证BD＝即可．
在△ABD中，由正弦定理＝，
从而BD＝.又7α＝π，故sin3α＝sin4α.
故BD＝＝2ccos2α(因sin4α＝2sin2αcos2α)．
只需证cos2α＝即可．
由于a、b的出现，需考虑△ABC，由正弦定理有
＝，由于sin4α＝2sin2αcos2α.
即有cos2α＝，即原等式成立．
22. 已知函数f(x)＝lg(－1)，x∈(0，)，若x1，x2∈(0，)且x1≠x2.
求证：[f(x1)＋f(x2)]＞f()．
证明：要证[f(x1)＋f(x2)]＞f()，
只需证：lg(－1)＋lg(－1)＞2lg(－1)，
只需证：(－1)(－1)＞(－1)2.
∵(－1)(－1)－(－1)2
＝.
由于x1，x2∈(0，)且x1≠x2，
∴＞0，
即(－1)(－1)＞(－1)2，
∴[f(x1)＋f(x2)]＞f()．
1、1．反证法是( )
A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法
B．对其否命题的证明
C．对其逆命题的证明
D．分析法的证明方法
解析：选A.反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．
2．某个命题与正整数n有关，若n＝λ(λ∈N*)时该命题成立，那么可推得当n＝λ＋1时该命题也成立．现已知n＝5时该命题不成立，那么可推得( )
A．n＝6时该命题不成立
B．n＝6时该命题成立
C．n＝4时该命题成立
D．n＝4时该命题不成立
解析：选D.利用逆否命题求解，若n＝λ＋1时，该命题不成立，则n＝λ时该命题也不成立，所以当5＝λ＋1时，n＝λ＝4.
3．在“由于任何数的平方都是非负数，所以(2i)2≥0”这一推理中，产生错误的原因是( )
A．推理的形式不符合三段论要求
B．大前提错误
C．小前提错误
D．推理的结果错误
解析：选B.大前提“由于任何数的平方都是非负数”是错误的，如i2＝－1＜0.
4．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析：选A.各等式可化为：＋＝2，
＋＝2，＋＝2，
＋＝2，
可归纳得一般等式：
＋＝2.故选A.
5．如果f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝1，则＋＋…＋等于( )
A．1005
B．1006
C．2008
D．2010
解析：选B.∵f(a＋b)＝f(a)·f(b)，
∴f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)
……
f(2012)＝f(2011＋1)＝f(2011)·f(1)
∴＋＋…＋
＝f(1)＋f(1)＋…＋f(1)
＝1006f(1)＝1006，故选B.
6．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b∈R)”时，其假设正确的是( )
A．a，b中至少有一个不为0
B．a，b中至少有一个为0
C．a，b全不为0
D．a，b中只有一个为0
解析：选A.a，b全为0的否定是不全为0，也就是a，b中至少有一个不为0.
7．复数z1＝1＋i和z2＝1－i对应的点在复平面内关于________对称( )
A．实轴
B．虚轴
C．第一、三象限的角平分线
D．第二、四象限的角平分线
解析：选A.z1，z2对应的点分别为(1，)，(1，－)，关于实轴对称．
8．若(x2－1)＋(x＋1)i是纯虚数，则实数x的值是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．以上都不对
解析：选A.由题意得，解得x＝1.
9．设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数＋的虚部等于( )
A．1
B．－1
C.
D．－
解析：选A.原式＝＋＝＋＋i＝i.
10．已知△ABC三个顶点所表示的复数分别是1＋3i,3＋2i,5＋4i，则△ABC的面积是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选B.将三个顶点坐标在直角坐标系中表示出来，最好用梯形面积计算省去求夹角与两点距离的繁杂计算，如图所示，过点A，B，C分别作x轴的垂线，分别交x轴于点A′，B′，C′，所以S△ABC＝S梯形AA′C′C－S梯形AA′B′B－S梯形CC′B′B＝－－＝14－5－6＝3.
11．已知数列{an}满足递推式(n＋1)a＝na，而a＝1，通过计算a，a，a，猜想a＝( )
A．n B.
C. D.
【解析】A 由(n＋1)an＝nan＋1知＝，
∴＝，＝，＝，…，＝，将这n－1个式子相乘，得到an＝n，故选
12．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}；第二组含有两个数{3,5}；第三组含有三个数{7,9,11}；…，则第n组内各数之和为( )
A．n B．n
C．n D．n(n＋1)
【解析】选B 第1组中含有1个数1＝13，第2组中和为3＋5＝8＝23，第3组中和为7＋9＋11＝27＝33，…，由此归纳第n组内各数之和为n3，选B.
13．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P、Q、R同时大于零”的________．
解析：必要性显然成立；“PQR＞0”包括P、Q、R同时大于零或其中有两个为负两种情况．假设P，Q分别小于零，则2b＜0，这与b为正实数矛盾，同理，P，R同时小于零或Q，R小于零的情况亦得到矛盾，故P，Q，R同时大于零．
答案：充分必要条件
14．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________．
解析：至少有两个的否定是至多有一个．
答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
15．已知数列{an}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，其中λ为实数，n为正整数，求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列．
证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，
则有a＝a1a3，即(λ－3)2＝λ(λ－4)，
即λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，
整理得9＝0，产生矛盾，所以假设不成立，故{an}不是等比数列．
16．有下列叙述：
①“a＞b”的反面是“a＜b”；
②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；
③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；
④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．
其中正确的叙述有________个．
解析：对于①“a＞b”的反面为“a≤b”，故①不正确；对于②“x＝y”的反面是“x≠y”即“x＞y或x＜y”，故②正确；对于③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”即“三角形外心在三角形内或在三边上”，故③不正确；对于④“三角形最多有一个钝角”的反面为“三角形最少有两个钝角”，故④不正确．
17．已知：非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，
求证：、、不可能构成等差数列．
证明：假设，，成等差数列．则
＝＋.
∴2ac＝bc＋ab.①
又a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c.②
∴把②代入2ac＝b(a＋c)＝b·2b.
∴b2＝ac.③
由②平方4b2＝(a＋c)2.
把③代入4ac＝(a＋c)2，
∴(a－c)2＝0.
∴a＝c.
代入②b＝a.故a＝b＝c.
∴公差为0，
这与已知矛盾．
所以，，不可能成等差数列．
18. 调查某桑场采桑员和辅助工桑毛虫皮炎发病情况结果如下表：
采桑 不采桑 合计
患者人数 18 12
健康人数 5 78
合计
利用2×2列联表的独立性检验估计，“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？
解：n11＝18，n12＝12，n21＝5，n22＝78，
所以n1＋＝30，n2＋＝83，n＋1＝23，n＋2＝90，n＝113.
所以χ2＝
＝≈39.6＞6.635.
所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是1%.
19.(2011年高考上海卷)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解：(z1－2)(1＋i)＝1－i z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4.
∴z2＝4＋2i.
20.若a>0，证明 －≥a＋－2.
证明：要证 －≥a＋－2，
只需证 ＋2≥a＋＋.
只需证2≥2，
即证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，
只需证 ≥，
只需证a2＋≥，
即证a2＋≥2，
即2≥0，显然成立，
所以原不等式成立．
21. .在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝4∶2∶1，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，求证：＋＝.
【证明】 设∠C＝α，则∠B＝2α，∠A＝4α，
且α＋2α＋4α＝7α＝π.欲证＋＝，
可证bc＋ac＝ab，即ab－bc＝ac.因而只需证a－c＝.
在BC上取一点D，使AD＝AB，如图．由角的关系并注意到7α＝π，可有DC＝AD＝AB＝c.
故BD＝a－c.因而只需证BD＝即可．
在△ABD中，由正弦定理＝，
从而BD＝.又7α＝π，故sin3α＝sin4α.
故BD＝＝2ccos2α(因sin4α＝2sin2αcos2α)．
只需证cos2α＝即可．
由于a、b的出现，需考虑△ABC，由正弦定理有
＝，由于sin4α＝2sin2αcos2α.
即有cos2α＝，即原等式成立．
22. 已知函数f(x)＝lg(－1)，x∈(0，)，若x1，x2∈(0，)且x1≠x2.
求证：[f(x1)＋f(x2)]＞f()．
证明：要证[f(x1)＋f(x2)]＞f()，
只需证：lg(－1)＋lg(－1)＞2lg(－1)，
只需证：(－1)(－1)＞(－1)2.
∵(－1)(－1)－(－1)2
＝.
由于x1，x2∈(0，)且x1≠x2，
∴＞0，
即(－1)(－1)＞(－1)2，
∴[f(x1)＋f(x2)]＞f()．