1.2任意角的三角函数 练习
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1.2任意角的三角函数 练习
一、填空题
1．若是第四象限的角，则－是第_______象限角．
2．集合，，则与关系____．
3．已知角终边上一点P(x，y)关于y轴上的对称点的坐标是点(6，－8)，则与角终边相同的角的正弦值为____________．
4．已知则=__________．
5．终边落在直线上的角的集合为______________．
6．若是第三象限的角，则sin(cos)·cos(sin)的符号为___________．
二、解答题
7．已知两角的和为1弧度，且两角的差为，求这两个角各是多少弧度．
8．已知角的终边在x轴的上方(不与x轴重合)，求的终边所在的象限．
9．扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求它的中心角和弦AB的长．
10．若角的终边与角的终边关于x轴对称，求在[，内终边与角的终边重合的角．
11．已知，且，试确定角所在的象限．
12．(1)角α的终边上有一点P(15，y)，且，求y的值及α的其它三角函数值．
(2)已知角α的终边落在直线上，求sinα，cosα，tanα的值．
13．求证：=．
14．角终边上有一点P(x，5)，且cos= (x≠0)，求sin＋cot的值．
参考答案：
一、填空题
1．三．提示：∵角与角－的终边关于x轴对称，又∵角的终边在第四象限，∴角－ 的终边在第一象限，又角－与－的终边关于原点对称，所以角－是第三象限角．
2． ．提示：集合中代表元素，是的奇数倍；集合中代表元素，是的整数倍．
3．－．提示：∵P(x，y)与(6，－8)关于y轴对称，∴x =－6，y =－8，即P(－6，－8)，
故r = | OP | == 10，又与终边相同的角为k·＋(kZ)
且在第三象限，∴sin(k·＋) =－．
4．0．提示：=，=－，∴= 0．
5．．提示：～间满足条件的角为和，故终边落在上的角的集合为：
6．负．提示：∵是第三象限的角，∴－1＜sin＜0，－1＜cos＜0，
∴sin(cos)＜0，cos(sin)＞0，∴sin(cos)·cos(sin)＜0．
二、解答题
7．分析：设两角的弧度数分别是通过列方程组，就可以求出，但要注意单位的统一．
解：设两角的弧度数分别是，因为，
则依题意，得，解之得
即所求两角的弧度数分别为．
8．解：根据题意k·＜＜k·＋，(kZ)，
∴k·＜＜k·＋，(kZ)，
当k = 2n时，n·＜＜n·＋，(nZ)，∴在第一象限．
当k = 2n＋1时，n·＋＜＜n·＋，(nZ)，∴在第三象限．
综上，在第一、第三象限．
9．解：令的长度为，OA = r，则= 4－2r．
∵=，∴(4－2r)r = 1，
解地r = 1，= 2．
令∠AOB的弧度数为，则=== 2 (弧度)．
如图，过O作OH⊥AB于H，
则AB = 2AH = 2rsin1 = 2sin1．
所以扇形OAB的中心角为2弧度，弦AB的长为2sin1厘米．
10．解：∵－角的终边与角终边关于x轴对称，
∴= k·－，kZ，= k·－，kZ，
令 ≤k·－＜，解得≤k＜，∵kZ，∴k = 1、2、3．
∴在[，内终边与角的终边重合的角为，，．
11解：设是角终边上异于原点的任意一点，且，且，否则无意义．由已知，得，∴①
又由已知，得②，由①②知，，，所以是第一象限的角．
12．解：(1)角α的终边上有一点P(15，y)，且，由
所以，．
(2)角α的终边落在直线上，分一、三象限讨论．
当角α的终边在第一象限时，sinα=，cosα=，tanα=；
当角α的终边在第三象限时，sinα= －，cosα= ，tanα=．
13．证明：设P(x，y)为角终边上一点，，则由三角函数定义：
=，=，，．
==== ====．
14．解：∵r =，∴cos==，依题意，=，
∵x≠0，∴= 13，解得x =±12．
若x = 12，则sin=，cot=，∴sin＋cot=；
若x =－12，则sin=，cot=－，∴sin＋cot=－．
备用题：
1．已知角是第二象限的角，则角的终边落在第_______象限．
1．一或三．提示：∵是第二象限的角，∴k·＋＜＜k·＋ (kZ)，
∴ k·＋＜＜k·＋(kZ)，当k是偶数时，是第一象限的角，当k是奇数时，是第三象限的角．
2．集合A ={|= k·＋，kZ，B = {|= k·＋，kZ，C = {|= k·＋，kZ，那么集合A、B、C的关系是______________．
2．BAC．提示：∵A ={|= 2k·＋，kZ，B = {|= 4k·＋，kZ，∴BAC．
3．已知tanx·cosx＞0且cotx·sinx＜0，那么x在第_______象限．
3．二．提示：由tanx·cosx＞0得sinx＞0，cotx·sinx＜0则cosx＜0，即x在第二象限．
4．若三角形的二个内角、满足sin·cos＜0，则此三角形的形状是_______．
4．钝角三角形．提示：因为、是三角形的内角，所以＜＜，＜＜，而当(，)时，sin＞0，所以cos＜0，即＜＜，因此三角形为钝角三角形．
5．设角的终边过点，则的值是_______．
5．或．提示：由角的终边过点可得：
(1)当时，；
(2)当时，．
6．已知·＜0，那么角是第______象限角．
6．三或四．提示：由·＜0，得或，所以是第三或第四象限角．
7．在－到之间与－角终边相同的角是_____________．
7．－，－，，．提示：与－角终边相同的角可表示为k·＋(－)，kZ，依题意，得－＜k·－＜，解得＜k＜4，所以k = 1，2，3，4．所求角为－，－，，．
8．设A = {|=k，kZ，| k |≤10}，B = {|=k，kZ }，则AB =________．
8．{－，0，}．提示：设AB，则A，且B，∴=k，且=n，∴有k=n，即k =n，由于| k |≤10且kZ，∴n = 0或n =±10，∴AB = {－，0，}．
9．2弧度的圆心角所对应的弦长为2，这个圆心角所加的扇形面积的数值是_______．
9．．提示：由已知得r =，则=r·=··2 =．
10．若角的终边与的终边相同，则在内终边与角的终边相同的角为
10．提示：由已知，得，，由，得 所以依次为
11． sin(－1320o)=______．
11．．提示：原式=－sin(240o+3×360o) =－sin240o = － sin(180o+60o)= sin60o = ．
12．有下列命题：
⑴终边相同的角的同名三角函数的值相等
⑵终边不相同的角的同名三角函数的值不等
⑶若sin＞0，则是第一、二象限的角
⑷若是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos=－
其中正确的命题的个数是______个．
12．1．提示：根据任意角三角函数定义知⑴显然正确；由于sin= sin，因此⑵是错误的；因为sin=1＞0，但不是第一、二象限的角，所以⑶也是错误的；在⑷中x＜0，应有cos=．综上，正确的命题的个数是1个．
13．在内，使成立的的取值范围是_______．
13．．提示：在单位圆中，作出正弦线及余弦线，观察图象，
得．
14．在[0，]上满足sinx≥的x的取值范围是_______．．
14．[，]．提示：作出单位圆，如图，过(0，)点作
x轴的平行线，分别交单位圆于两点，连接圆心O和这两点，
得到两条射线与x轴的非负半轴所成的角分别为和．
可得sinx≥的x的取值范围是[，]．
15．＋＋－=__________．
15．5．提示：＋＋－
=＋＋－
=＋＋－=＋＋3＋1 = 5．
16．已知是第二象限的角，且=－，则是第_____象限的角．
16．二．提示：∵是第二象限的角，∴＜＜ ()，
∴＜＜ ()，∴是第一、二、四象限的角，
当在第一、四象限时，不满足=－，所以是第二象限的角．
17．设点P(x，2)是角终边上一点，且满足sin=，则实数x= ．
17．．解：，由得，则实数x=．
18．求证：－≤＋≤．
18．证明：设P(x，y)为角终边上一点，，则由三角函数定义：
＋=＋．
又===2－≤2，
∴|＋|≤，即－≤＋≤，∴－≤＋≤．
19．一个扇形的周长为C，问当它的圆心角取何值时，此扇形的面积最大，最大值是多少？
19．解：设此扇形的弧长为，半径为R，圆心角为，则有2R＋= C，=．
∴S ==(C－2R) =－R＋
=－(R－2×＋C)＋C=C－(R－)．
当且仅当R =时，S有最大值，其最大值为C，
此时C = 2R＋=＋，解得=，∴=== 2(弧度)．
即当=2弧度时，面积最大，其最大值为C．
20．已知是第三象限的角，问是哪个象限的角？
20．解：∵是第三象限的角，∴k·＋＜＜k·＋，(k)
即k·＋＜＜k·＋，(k)
⑴当k是3的倍数，即k = 3n (n)时，上式可化为n·＋＜＜n·＋，(n)所以是第一象限的角．
⑵当k = 3n + 1 (n)时，上式可化为n·＋＜＜n·＋，(n)
所以是第三象限的角．
⑶当k = 3n + 2 (n)时，上式可化为n·＋＜＜n·＋，(n)
所以是第四象限的角．
综上所述，是第一、第三或第四象限的角．
21．已知n个扇形的半径分别为r、r、……、r与所含圆心角、、……、均构成等差数列，公差d= 2，d=，又已知a=，r = 1cm，求这n个扇形的面积S、S、……、S的和．
(其中1＋2＋…＋n=，1＋2＋…＋n=)
21．解：由已知得=＋(n－1)=(n＋9)，r= 1＋(n－1)×2 = 2n－1，
S===(2n－1)·(n＋9) =(4n＋32n－35n＋9)．
所以S＋S＋……＋S
=[4×＋32×－35×＋9n]
=(6 n＋76n－3n－19)．
22．已知＜0，求所在的象限．
22．解：在角终边上取一点P，其坐标为(x，y)，| PO | = r，
则有sin=，csc=，tan=，cot=，
由已知，得=＜0，由于r＞0，所以不管y是正、是负，都有x＜0．
所以cos＜0且y≠0，因此是第二或第三象限角．
22．已知角终边上一点P(－，y) (y≠0)，且sin=y，求cos＋cot的值．
22．解：∵sin=，sin=y，∴=y，由已知y≠0可解得y =±．
当y =时，cos=－，cot=－，cos＋cot=．
当y =－时，cos=－，cot=，cos＋cot=．
23．设0≤≤，试比较sin与cos的大小关系．
23．解：如图所示，在单位圆中，MP = sin，| MP | = cos，
∵0≤≤，∴MP≥0，OM≥0，∴sin= | MP |，cos= | OM |．
当0＜＜时，＜∠OPM＜，∴cos＞sin．
当＜＜时，0＜∠OPM＜，∴＞∠OPM，即sin＞cos，
当=时， MP = | MP | = y =1，| MP | = | OM | = x = 0，
此时，sin= 1，cos= 0，∴ sin＞cos．
当= 0时， MP = | MP | = y =0，OM = | OM | = x = 1，
此时，sin= 0，cos= 1，∴cos＞sin．
当=时，=∠OPM，即| MP | = | OM |，∴ sin= cos．
综上所述，有
O
A
B
H
x
y
O
1
1
x
┌
Y
1
－1
－1
M
O
P
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一、填空题
1．若是第四象限的角，则－是第_______象限角．
2．集合，，则与关系____．
3．已知角终边上一点P(x，y)关于y轴上的对称点的坐标是点(6，－8)，则与角终边相同的角的正弦值为____________．
4．已知则=__________．
5．终边落在直线上的角的集合为______________．
6．若是第三象限的角，则sin(cos)·cos(sin)的符号为___________．
二、解答题
7．已知两角的和为1弧度，且两角的差为，求这两个角各是多少弧度．
8．已知角的终边在x轴的上方(不与x轴重合)，求的终边所在的象限．
9．扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求它的中心角和弦AB的长．
10．若角的终边与角的终边关于x轴对称，求在[，内终边与角的终边重合的角．
11．已知，且，试确定角所在的象限．
12．(1)角α的终边上有一点P(15，y)，且，求y的值及α的其它三角函数值．
(2)已知角α的终边落在直线上，求sinα，cosα，tanα的值．
13．求证：=．
14．角终边上有一点P(x，5)，且cos= (x≠0)，求sin＋cot的值．
参考答案：
一、填空题
1．三．提示：∵角与角－的终边关于x轴对称，又∵角的终边在第四象限，∴角－ 的终边在第一象限，又角－与－的终边关于原点对称，所以角－是第三象限角．
2． ．提示：集合中代表元素，是的奇数倍；集合中代表元素，是的整数倍．
3．－．提示：∵P(x，y)与(6，－8)关于y轴对称，∴x =－6，y =－8，即P(－6，－8)，
故r = | OP | == 10，又与终边相同的角为k·＋(kZ)
且在第三象限，∴sin(k·＋) =－．
4．0．提示：=，=－，∴= 0．
5．．提示：～间满足条件的角为和，故终边落在上的角的集合为：
6．负．提示：∵是第三象限的角，∴－1＜sin＜0，－1＜cos＜0，
∴sin(cos)＜0，cos(sin)＞0，∴sin(cos)·cos(sin)＜0．
二、解答题
7．分析：设两角的弧度数分别是通过列方程组，就可以求出，但要注意单位的统一．
解：设两角的弧度数分别是，因为，
则依题意，得，解之得
即所求两角的弧度数分别为．
8．解：根据题意k·＜＜k·＋，(kZ)，
∴k·＜＜k·＋，(kZ)，
当k = 2n时，n·＜＜n·＋，(nZ)，∴在第一象限．
当k = 2n＋1时，n·＋＜＜n·＋，(nZ)，∴在第三象限．
综上，在第一、第三象限．
9．解：令的长度为，OA = r，则= 4－2r．
∵=，∴(4－2r)r = 1，
解地r = 1，= 2．
令∠AOB的弧度数为，则=== 2 (弧度)．
如图，过O作OH⊥AB于H，
则AB = 2AH = 2rsin1 = 2sin1．
所以扇形OAB的中心角为2弧度，弦AB的长为2sin1厘米．
10．解：∵－角的终边与角终边关于x轴对称，
∴= k·－，kZ，= k·－，kZ，
令 ≤k·－＜，解得≤k＜，∵kZ，∴k = 1、2、3．
∴在[，内终边与角的终边重合的角为，，．
11解：设是角终边上异于原点的任意一点，且，且，否则无意义．由已知，得，∴①
又由已知，得②，由①②知，，，所以是第一象限的角．
12．解：(1)角α的终边上有一点P(15，y)，且，由
所以，．
(2)角α的终边落在直线上，分一、三象限讨论．
当角α的终边在第一象限时，sinα=，cosα=，tanα=；
当角α的终边在第三象限时，sinα= －，cosα= ，tanα=．
13．证明：设P(x，y)为角终边上一点，，则由三角函数定义：
=，=，，．
==== ====．
14．解：∵r =，∴cos==，依题意，=，
∵x≠0，∴= 13，解得x =±12．
若x = 12，则sin=，cot=，∴sin＋cot=；
若x =－12，则sin=，cot=－，∴sin＋cot=－．
备用题：
1．已知角是第二象限的角，则角的终边落在第_______象限．
1．一或三．提示：∵是第二象限的角，∴k·＋＜＜k·＋ (kZ)，
∴ k·＋＜＜k·＋(kZ)，当k是偶数时，是第一象限的角，当k是奇数时，是第三象限的角．
2．集合A ={|= k·＋，kZ，B = {|= k·＋，kZ，C = {|= k·＋，kZ，那么集合A、B、C的关系是______________．
2．BAC．提示：∵A ={|= 2k·＋，kZ，B = {|= 4k·＋，kZ，∴BAC．
3．已知tanx·cosx＞0且cotx·sinx＜0，那么x在第_______象限．
3．二．提示：由tanx·cosx＞0得sinx＞0，cotx·sinx＜0则cosx＜0，即x在第二象限．
4．若三角形的二个内角、满足sin·cos＜0，则此三角形的形状是_______．
4．钝角三角形．提示：因为、是三角形的内角，所以＜＜，＜＜，而当(，)时，sin＞0，所以cos＜0，即＜＜，因此三角形为钝角三角形．
5．设角的终边过点，则的值是_______．
5．或．提示：由角的终边过点可得：
(1)当时，；
(2)当时，．
6．已知·＜0，那么角是第______象限角．
6．三或四．提示：由·＜0，得或，所以是第三或第四象限角．
7．在－到之间与－角终边相同的角是_____________．
7．－，－，，．提示：与－角终边相同的角可表示为k·＋(－)，kZ，依题意，得－＜k·－＜，解得＜k＜4，所以k = 1，2，3，4．所求角为－，－，，．
8．设A = {|=k，kZ，| k |≤10}，B = {|=k，kZ }，则AB =________．
8．{－，0，}．提示：设AB，则A，且B，∴=k，且=n，∴有k=n，即k =n，由于| k |≤10且kZ，∴n = 0或n =±10，∴AB = {－，0，}．
9．2弧度的圆心角所对应的弦长为2，这个圆心角所加的扇形面积的数值是_______．
9．．提示：由已知得r =，则=r·=··2 =．
10．若角的终边与的终边相同，则在内终边与角的终边相同的角为
10．提示：由已知，得，，由，得 所以依次为
11． sin(－1320o)=______．
11．．提示：原式=－sin(240o+3×360o) =－sin240o = － sin(180o+60o)= sin60o = ．
12．有下列命题：
⑴终边相同的角的同名三角函数的值相等
⑵终边不相同的角的同名三角函数的值不等
⑶若sin＞0，则是第一、二象限的角
⑷若是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos=－
其中正确的命题的个数是______个．
12．1．提示：根据任意角三角函数定义知⑴显然正确；由于sin= sin，因此⑵是错误的；因为sin=1＞0，但不是第一、二象限的角，所以⑶也是错误的；在⑷中x＜0，应有cos=．综上，正确的命题的个数是1个．
13．在内，使成立的的取值范围是_______．
13．．提示：在单位圆中，作出正弦线及余弦线，观察图象，
得．
14．在[0，]上满足sinx≥的x的取值范围是_______．．
14．[，]．提示：作出单位圆，如图，过(0，)点作
x轴的平行线，分别交单位圆于两点，连接圆心O和这两点，
得到两条射线与x轴的非负半轴所成的角分别为和．
可得sinx≥的x的取值范围是[，]．
15．＋＋－=__________．
15．5．提示：＋＋－
=＋＋－
=＋＋－=＋＋3＋1 = 5．
16．已知是第二象限的角，且=－，则是第_____象限的角．
16．二．提示：∵是第二象限的角，∴＜＜ ()，
∴＜＜ ()，∴是第一、二、四象限的角，
当在第一、四象限时，不满足=－，所以是第二象限的角．
17．设点P(x，2)是角终边上一点，且满足sin=，则实数x= ．
17．．解：，由得，则实数x=．
18．求证：－≤＋≤．
18．证明：设P(x，y)为角终边上一点，，则由三角函数定义：
＋=＋．
又===2－≤2，
∴|＋|≤，即－≤＋≤，∴－≤＋≤．
19．一个扇形的周长为C，问当它的圆心角取何值时，此扇形的面积最大，最大值是多少？
19．解：设此扇形的弧长为，半径为R，圆心角为，则有2R＋= C，=．
∴S ==(C－2R) =－R＋
=－(R－2×＋C)＋C=C－(R－)．
当且仅当R =时，S有最大值，其最大值为C，
此时C = 2R＋=＋，解得=，∴=== 2(弧度)．
即当=2弧度时，面积最大，其最大值为C．
20．已知是第三象限的角，问是哪个象限的角？
20．解：∵是第三象限的角，∴k·＋＜＜k·＋，(k)
即k·＋＜＜k·＋，(k)
⑴当k是3的倍数，即k = 3n (n)时，上式可化为n·＋＜＜n·＋，(n)所以是第一象限的角．
⑵当k = 3n + 1 (n)时，上式可化为n·＋＜＜n·＋，(n)
所以是第三象限的角．
⑶当k = 3n + 2 (n)时，上式可化为n·＋＜＜n·＋，(n)
所以是第四象限的角．
综上所述，是第一、第三或第四象限的角．
21．已知n个扇形的半径分别为r、r、……、r与所含圆心角、、……、均构成等差数列，公差d= 2，d=，又已知a=，r = 1cm，求这n个扇形的面积S、S、……、S的和．
(其中1＋2＋…＋n=，1＋2＋…＋n=)
21．解：由已知得=＋(n－1)=(n＋9)，r= 1＋(n－1)×2 = 2n－1，
S===(2n－1)·(n＋9) =(4n＋32n－35n＋9)．
所以S＋S＋……＋S
=[4×＋32×－35×＋9n]
=(6 n＋76n－3n－19)．
22．已知＜0，求所在的象限．
22．解：在角终边上取一点P，其坐标为(x，y)，| PO | = r，
则有sin=，csc=，tan=，cot=，
由已知，得=＜0，由于r＞0，所以不管y是正、是负，都有x＜0．
所以cos＜0且y≠0，因此是第二或第三象限角．
22．已知角终边上一点P(－，y) (y≠0)，且sin=y，求cos＋cot的值．
22．解：∵sin=，sin=y，∴=y，由已知y≠0可解得y =±．
当y =时，cos=－，cot=－，cos＋cot=．
当y =－时，cos=－，cot=，cos＋cot=．
23．设0≤≤，试比较sin与cos的大小关系．
23．解：如图所示，在单位圆中，MP = sin，| MP | = cos，
∵0≤≤，∴MP≥0，OM≥0，∴sin= | MP |，cos= | OM |．
当0＜＜时，＜∠OPM＜，∴cos＞sin．
当＜＜时，0＜∠OPM＜，∴＞∠OPM，即sin＞cos，
当=时， MP = | MP | = y =1，| MP | = | OM | = x = 0，
此时，sin= 1，cos= 0，∴ sin＞cos．
当= 0时， MP = | MP | = y =0，OM = | OM | = x = 1，
此时，sin= 0，cos= 1，∴cos＞sin．
当=时，=∠OPM，即| MP | = | OM |，∴ sin= cos．
综上所述，有
O
A
B
H
x
y
O
1
1
x
┌
Y
1
－1
－1
M
O
P
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