2012年中考数学总复习教案（1）——数与式

1.1 有理数
【教学目标】
1.理解有理数的有关概念，能用数轴上的点表示有理数，会求倒数、相反数、绝对值.
2.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，会比较两个有理数的大小.
3.理解近似数和有效数字的概念，会将一个数表示成科学记数法的形式.
4.能运用有理数的运算解决简单的实际问题，会探索有规律性的计算问题.
【重点难点】
重点：有理数的加、减、乘、除、乘方运算及简单的混合运算.
难点：对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.
【考点例解】
◆考点1：有理数的有关概念
例1 （1）的相反数是 .
（2）-5的绝对值是（ ） A. -5 B. 5 C. D.
（3）据国家统计局公布的经济数据显示，我国2011年国内生产总值达471564亿元. 以亿元为单位用科学记数法表示这个数的结果为（结果保留两个有效数字）（ ）
A. B. C. D.
（4）2012年1月，我国部分城市的平均气温情况如下表（记温度零上为正，单位：℃），则其中当天平均气温最低的城市是（ ）
城市 杭州 福州 北京 哈尔滨 广州
平均气温 -1.2 2 -6.5 -17.5 8
A. 广州 B. 福州 C. 北京 D. 哈尔滨
分析：本题主要是考查学生对有理数相关概念的理解. 第（1）题考查相反数的意义；第（2）题考查绝对值的意义；第（3）小题考查科学记数法；第（4）小题考查有理数的大小比较.
解答：（1）； （2）B； （3）B； （4）D.
变式：
1.（2010·菏泽）2010年元月19日，山东省气象局预报我市元月20日的最高气温是4℃，最低气温是－6℃，那么我市元月20日的最大温差是（ ）
A．10℃ B．6℃ C．4℃ D．2℃
2.（2010·广州）“激情盛会，和谐亚洲”第16届亚运会将于2010年11月在广州举行，广州亚运城的建筑面积约是358000平方米，将358000用科学记数法表示为____________．
3. 若a,b 互为相反数，c,d互为倒数，则5（a+b）－6cd=__________.
4．（2009·滨州）对于式子，下列理解：①可表示的相反数；②可表示与的乘积；③可表示的绝对值；④运算结果等于8．其中理解错误的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
◆考点2：有理数运算
例2 计算：.
分析：本题主要是考查有理数的乘方运算及有理数混合运算的顺序.
解答：原式.
变式：
1．（2009·襄樊）为数轴上表示的点，将点沿数轴向左移动个单位长度到点，则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．或
2.（2010·湖州）计算：．
3．（2009·潍坊）某班50名同学分别站在公路的A、B两点处，A、B两点相距1000米，A处有30人，B处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（ ）
A．A点处 B．线段的中点处
C．线段上，距A点米处 D．线段上，距A点400米处
◆考点3：探索有规律
例3 观察表①，寻找规律，表②、表③、表④分别是从表①中截取的一部分，其中、、的值分别是（ ）
A. 20，29，30 B. 18，30，26 C. 18，20，26 D. 18，30，28
分析：本题主要考查有理数运算的简单应用. 表①中第一行中的数均为连续的自然数，而下面各行依次是第一行的2倍、3倍、4倍、…；表①中第一列中的数均为连续的自然数，依次从左往右各列的最大公约数分别是2、3、4、….
解答：D.
变式：
1.（2010·贵阳）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，…按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数是________粒.
2．（2009·江苏）下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：；
第2个数：；
第3个数：；
……
第个数：．
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）
A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数
【考题选粹】
1.（2007·怀化）2008年8月第29届奥运会将在北京开幕，5个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如图1-1所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（　　）
A、伦敦时间2008年8月8日11时
B、巴黎时间2008年8月8日13时
C、纽约时间2008年8月8日5时
D、汉城时间2008年8月8日19时
2．（2008·乐山）阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即；也就是说，表示在数轴上数与数对应点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数、对应点之间的距离.在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：
例1 解方程．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即该方程的；
例2 解不等式．如图1-2．在数轴上找出
的解，即到1的距离为2的点对应的数为、，则
的解为或；
例3 解方程．由绝对值的几何意义知，
该方程表示求在数轴上与1和 的距离之和为5
的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应点在1的右边或的左边．若对应点在1的右边，由图1-3可以看出；同理，若对应点在的左边，可得．故原方程的解是或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为 ； （2）解不等式；
（3）若对任意的都成立，求的取值范围．
3.（2008·衢州），和分别
可以按如图1-4所示方式“分裂”
成2个、3个和4个连续奇数的和，
也能按此规律进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中最大的是( )
A、41 B、39 C、31 D、29
4.（2010·广东）阅读下列材料：
由以上三个等式相加，可得．
读完以上材料，请你计算下各题：
（1）（写出过程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…n×(n+1)=_________
（3）直接写出下列式子的运算结果：
【课外作业】
见《中考状元（数学）》P.7～8.
1.2 实数
【教学目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会求非负数的算术平方根和实数的立方根.
2.了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，能用有理数估计一个无理数的大致范围.
3.会用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算，会用计算器进行近似计算.
【重点难点】
重点：用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算.
难点：实数的分类及无理数的值的近似估计.
【考点例解】
◆考点1：无理数的概念
例1 （1）下列实数：，，，，3.14159，，，中，无理数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（2）下列语句：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数. 其中正确的是（ ）
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.②④
分析：本题主要考查实数的分类和无理数的概念.
解答：（1）C； （2）C； （3）A.
变式：
1.（2009·义乌）在实数0，1，，0.1235中，无理数的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2．（2010·河池）下列各数中，最小的实数是（ ）
A． B．3 　 C．0 D．
3.（2010·贵阳）下列式子中，正确的是（ ）
A．10＜＜11 B. 11＜＜12
C．12＜＜13 D. 13＜＜14
4．（2010·河南）若将三个数表示在数轴上，其中能被如图1-5所示的墨迹覆盖的数是____________．
◆考点2：实数的运算
例2 计算：.
分析：本题主要是考查零指数幂、负指数幂及算术平方根的化简与运算，应注意特殊角的三角函数值，实数的运算法则及顺序.
解答：原式.
变式：
1．（2008·乌鲁木齐）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2009·常德）设，，，，则，，，按由小到大的顺序排列正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.（2010·河池）计算：.
4.（2011·襄阳）若，为实数，且，则的值是（ ）
A.0 B.-1 C.1 D.-2011
例3 我国《劳动法》对劳动者的加班工资作出了明确规定：春节长假期间，前3天是法定休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的300%支付加班工资;后4天是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排补休的，按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的200%支付加班工资. 小王由于工作需要，今年春节的初一、初二、初三共加班三天（春节长假从十二月廿九开始）. 如果小王的月平均工资为2800元，那么小王加班三天的加班工资应不低于 元.
分析：本题主要考查学生灵活应用实数运算的相关知识解决实际问题的能力.要注意的是今年的法定假期共有11天，因此日工资标准的计算方法是：.
解答：（元）.
变式：
1．（2011·荆门）在一次主题为“学会生存”的中学生社会实践活动中，春华同学为了锻炼自己，他通过了解市场行情，以每件6元的价格从批发市场购进若干件印有2008北京奥运标志的文化衫到自由市场去推销，当销售完30件之后，销售金额达到300元，余下的每件降价2元，很快推销完毕，此时销售金额达到380元，求春华同学在这次活动中获得纯收入是 元？
【考题选粹】
1.（2007·内江）若，均为整数，且当时，代数式的值为0，则的算术平方根为 .
2.（2008·益阳）一个正方体的水晶砖，体积为100cm3，它的棱长大约在（ ）
A. 4cm~5cm之间 B. 5cm~6cm之间 C. 6cm~7cm之间 D. 7cm~8cm之间
3.（2007·嘉兴）计算：.
4.（2005·连云港）如图1-6，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画出图形．
（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点
落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为；
（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点
C在格点上，且另两边的长都是无理数；
（3）以（1）中的AB为边的两个凸多边形，使它们都是
中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长
都是无理数．
5.（2005·湛江）如图1-7，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位到达点，点表示，设点所表示的数为
（1）求的值；
（2）求的值．
【课外作业】
见《中考状元（数学）》P.7～8.
1.3 整式
【教学目标】
1.了解整式的有关概念，理解去括号法则，能熟练进行整式的加减运算.
2.掌握正整数指数幂的运算性质，能在运算中灵活运用各种性质.
3.会进行简单的整式乘法运算和简单的多项式除法运算，了解两个乘法公式及其几何背景，能运用乘法公式进行简便.
4.会通过对问题的分析列出代数式，能熟练进行整式的化简与求值.
【重点难点】
重点：列代数式表示数量关系，整式的化简与求值.
难点：乘法公式的灵活运用.
【考点例解】
◆考点1：列代数式
例1 （1）王老板以每枝元的单价买进玫瑰花100枝. 现以每枝比进价多两成的价格卖出70枝后，再以每枝比进价低元的价格将余下的30枝玫瑰花全部卖出，则王老板的全部玫瑰花共卖了 元（用含，的代数式表示）.
（2）如图1-8，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为_____；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为______（用含自然数n的式子表示）．
（3）如图1-9所示，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案.①第4个图案中有白色纸片 张；②第个图案中有白色纸片 张.
分析：本题主要考查列代数式表示数量关系，第（1）题的关键是弄清前70枝玫瑰花的单价和后30枝的单价分别是多少；第（2）题要发现点P的运动路程被4除后的余数与正方形四个顶点间的关系；第（3）题的关键是要发现图案中的规律：第一个图形有4张白色纸片，以后每个图形都比前一个图形多3张白色纸片.
解答：（1）. （2）点B，.
（3）①13； ②.
变式：
1.（2008·镇江）用代数式表示“的3倍与的差的平方”，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2008·青海）对单项式“”，我们可以这样解释：香蕉每千克5元，某人买了千克，共付款元．请你对“”再给出另一个实际生活方面的合理解释： ．
3.（2009·山西）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为 ．
◆考点2：整式的运算
例2 （1）已知整式与是同类项，那么，的值分别是（ ）
A. 2，-1 B. 2，1 C. -2，-1 D. -2，1
（2）下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
（3）如果，，那么代数式的值是 .
分析：本题主要是考查同类项的概念和整式的加法、乘法及正整数指数幂的运算.
解答：（1）A； （2）C； （3）5.
变式：
1.（2008·乐山）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2010·衡阳）若与的和是单项式，则 ．
3.（2008·茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）．
A． B． C．+1 D．-1
4.（2009·嘉兴）化简：．
◆考点3：化简求值
例3 先化简，再求值：，其中.
分析：本题主要考查乘法公式的灵活应用及整式的化简求值.解答这一类题目时，一般应先将整式化简，然后再将字母的值代入计算.
解答：原式.
当时，原式.
变式：
1.（2008·枣庄）已知代数式的值为9，则的值为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．7
2.（2009·北京）已知，求的值.
3.（2010·梧州）先化简，再求值：，其中．
【考题选粹】
1.（2006·济宁）能被下列数整除的是( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
2.（2010·丽水）如图1-10，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无
缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另
一边长是（ ）
A．2m+3　　　　 B．2m+6
C．m+3 D．m+6
3.（2007·淄博）根据以下10个乘积，回答问题：；；；；；；；；；.
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论（不要求证明）.
4.（2010·佛山）新知识一般有两类：第一类是一般不依赖其他知识的新知识，如“数”，“字母表示数”这样的初始性知识；第二类是在某些旧知识的基础上联系，拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样一类.
（1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？
（2）在多项式乘以多项式之前，我们学习了哪些有关知识？（写出三条即可）
（3）请用你已有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式法则如何获得的？（用（a+b）(c+d)来说明）
【课外作业】见《中考状元（数学）》P.10～11.
1.4 因式分解
【教学目标】
1.理解因式分解的概念，了解因式分解与整式乘法之间的关系.
2.掌握因式分解的一般思考顺序，会运用提公因式法和公式法进行因式分解，会利用因式分解解决一些简单的实际问题.
【重点难点】
重点：运用提公因式法和公式法进行因式分解.
难点：利用因式分解解决一些简单的实际问题.
【考点例解】
◆考点1：因式分解的意义
例1 （1）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ）
A. B.
C. D.
（2）在一次数学课堂练习中，小聪做了以下4道因式分解题，你认为小聪做得不够完整的一道题是（ ）
A. B.
C. D..
（3）把分解因式得：，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
分析：本题主要是考查因式分解的概念，强调因式分解是一种恒等变形，一定要分解到结果中的每个因式都不能再分解为止.
解答：（1）D； （2）A； （3）A.
◆考点2：因式分解
例2 分解因式 m3 – 4m = .
分析：本题主要考查因式分解的方法和一般步骤.初中阶段因式分解的主要方法是提取公因式法和运用公式法，因此对公因式的组成和乘法公式必须熟悉.
解答：.
变式：
1.（2007·河池）分解因式： ．
2.（2009·嘉兴）因式分解：_____________________．
3.（2010·贵阳）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A．　　　 B． C． 　 D．
◆考点3：因式分解的应用
例3 利用因式分解说明：能被120整除.
分析：要说明能被120整除，关键是通过因式分解得到含有因数120，可将化为同底数形式，然后利用提公因式法分解因数.
解答：∵ ，
∴ 能被120整除.
例4 在日常生活中经常需要密码，如到银行取款、上网等. 有种用“因式分解”法产生的密码方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各因式的值分别是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 同理，对于多项式，若取，，则产生的密码是： （写出一个即可）.
分析：本题是因式分解的知识在实际生活中的简单应用. 解答时只需要先对多项式进行因式分解，再求各因式的值就可以了.
解答：，当，时，各因式的值分别是：，，，所以密码可以为101030（也可以为103010或301010）.
变式：
1.（2007·烟台）请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果 ．
2.（2009·温州)在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n2—6n的值都是负数．于是小朋猜想：当n为任意正整数时，n2-6n的值都是负数．小明的猜想正确吗 请简要说明你的理由．
【考题选粹】
1.（2009·吉林）在三个整式中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．
2.（2006·南通）已知，，，其中.
（1）求证：，并指出与的大小关系；
（2）指出与的大小关系，并说明理由.
3. （2007·临安）已知、、是的三边，且满足，判断的形状. 阅读下面的解题过程：
解：由 得 ， ①
即 ， ②
∴ ， ③
∴ 是直角三角形. ④
试问：以上解题过程是否正确？ . 若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ；错误原因是 ；本题的正确结论应该是 .
4.（2007·衢州)图1-11是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形.把图1-11剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式.
(1)请你通过对图1-11的剪拼，画出三种不同拼法的示意图.要求：
①拼成的图形是四边形；
②在图（1）上画剪切线（用虚线表示）；
③在拼出的图形上标出已知的边长.
(2)选择其中一种拼法写出验证上述公式的过程.
【课外作业】
见《中考状元（数学）》P.12～13.
1.5 分式
【教学目标】
1.了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件.
2.掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行分式的通分和约分.
3.掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的化简和求值.
【重点难点】
重点：分式的基本性质和分式的化简.
难点：分式的化简和通过分式的运算解决简单的实际问题.
【考点例解】
◆考点1：分式的有关概念
例1 （1）在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D.且.
（2）若分式的值为零，则的值为 .
分析：本题主要考查分式的概念与分式的基本性质. 在分式中，要使分式有意义，分式的分母要不为零；要使分式值为0，则要求分子的值为0且分式有意义.
解答：（1）B； （2）； （3）C.
变式：
1.（ 2011·江津）下列式子是分式的是( )
A. B. C. D.
2.（2008·巴中）当 时，分式 HYPERLINK "http://www." 无意义．
3.（2009·肇庆）若分式的值为零，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．0
4．（2010·柳州）若分式有意义，则的取值范围是（ ）．
A．　　　 Ｂ．　　　Ｃ．　　　 Ｄ．
5.（2011·杭州，）已知分式，当x＝2时，分式无意义，则a＝ ，当a<6时，使分式无意义的x的值共有 个．
◆考点2：分式的基本性质
例2 （1）下列分式的变形中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
（2）写出未知的分子分母：．
分析：本题主要考查分式的基本性质.（1）根据分式的基本性质，在分式、分子和分母三处，改变其中两处的符号，分式的值不变；（2）利用分式的基本性质进行通分、约分.
解答：（1）C； （2），，.
变式：
1.（2007·威海）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2009·荆门）计算的结果是( )
A．a B．b C．1 D．－b
3.（2011·南通）设m＞n＞0，m2＋n2＝4mn，则的值等于（ ）
B. C. D. 3
◆考点3：分式的化简求值
例3 先化简：，再选择一个恰当的的值代入求值.
分析：本题主要考查分式的化简和分式有意义的条件. 在分式化简中，经常可以把分式的除法改为乘法，再利用“分解约分”法进行化简. 在本题中的不能取0和±1.
解答：原式，当时，原式＝3.
变式：
1.（2009·吉林）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2.（2010·毕节）已知，求的值．
3.（2011·重庆）先化简，再求值：
，其中x满足x2－x－1＝0．
4.（2010·深圳）先化简分式÷－，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．
◆考点4：分式的大小比较
例4 （1）已知一个正分数，如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大减小？请证明你的结论；（2）若正分数中分子和分母同时增加2，3，…，（整数＞0），情况如何？（3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定，民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好. 问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由.
分析：本题考查了分式的大小比较，并要求利用有关知识解决实际问题. 解题的关键是理解题意，得到正确的结论.
解答：（1）正分数中，若分子、分母同时增加1，分数的值增大，证明如下：
∵ ， ∴ ，
∴ ， 即 .
（2）正分数中分子和分母同时增加2，3，…，（整数＞0）时，分式的值也增大. （3）住宅的采光条件变好，理由略.
变式：
1. 甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购粮用去100元.
（1）假设x、y分别表示两次购粮的单价（单位：元/千克）.试用含x、y的代数式表示：甲两次购买共需付款 元；乙两次共购买 千克的粮食；若甲两次购粮的平均单价为每千克Q1元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元，则Q1= ,Q2= .
（2）规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲乙两人的购粮方式哪一个更合算些？并说明理由.
【考题选粹】
1．（2009·烟台）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”
小明的做法是：原式；
小亮的做法是：原式；
小芳的做法是：原式．
其中正确的是（ ）
A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的
2.（2007·东营）小明在考试时看到一道题目：“先化简，再求值.”小明代入某个数后求得值为3. 你能确定小明代入的是哪一个数吗 你认为他代入的这个数合适吗 为什么
3．(2010·娄底) 已知：y＝÷－x＋3．试说明不论x为任何有意义的值，y的值均不变．
4.（2011·贵阳）在三个整式x2-1，x2+2x+1，x2+x中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x=2时分式的值．
5.（2007·嘉兴）解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题. 例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”等等.
（1）设，，求与的值；
（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题.
【课外作业】
见《中考状元（数学）》P.14～15.
1.6 二次根式
【教学目标】
1.了解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件.
2.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会对简单的二次根式进行化简，会用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算.
【重点难点】
重点：二次根式的化简和用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算.
难点：二次根式的化简.
【考点例解】
◆考点1：二次根式的有关概念
例1 （1）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D..
（2）若为实数，则下列各式中一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
（3）下列根式中，最简二次根式是（ ）
A．　 B．　 C．　 D．
分析：本题主要考查二次根式和最简二次根式的概念.在二次根式中，被开方数必须是非负数；最简二次根式的被开方式中相同因式次数均为1次.
解答：（1）B； （2）B； （3）D.
变式：
1．（2010·无锡）使有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（2011·宜宾）根式中x的取值范围是（ ）
A．x≥ B．x≤ C．x＜ D．x＞
3.（2011·上海）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A.； B.； C.； D.
◆考点2：二次根式的性质
例2 （1）下面计算正确的是（ ）
A. B. C. D. （2）若，则与3的大小关系是（ ）
A．＜3 B．≤3 C．＞3 D．≥3
分析：本题主要考查二次根式的性质及化简.在利用性质化简二次根式时一定要注意的取值范围.
解答：（1）B； （2）B.
例3 已知的三边，，满足，则为（ ）.
A. 等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
分析：本题考查了二次根式的非负性，即：在二次根式中，且.
解答：将原式变形，得 .
即 .
∴ ，，.
∴ . ∴ 为等边三角形，故选B.
变式：
1.（2007·临安）化简的结果是（ ） A．－2 B．±2 C．2 D．4
2.（2008·鄂州）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2009·崇左）当时，化简的结果是 ．
4.（2009·荆门）若，则x－y的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
5.（2009·芜湖］已知，则 ．
◆考点3：二次根式的运算
例3 （1）计算等于（　　）
A． 　　 B． C． 　 D．
（2）计算：.
（3）比较大小： .
分析：本题主要考查二次根式性质的灵活应用和二次根式的混合运算. 二次根式的运算顺序与有理数的运算顺序相同.第（3）题要先逆用性质：，再进行两个数的大小比较.
解答：（1）A.
（2）原式.
（3）∵ ，，且，∴ .
变式：
1.（2011·台湾）计算之值为何？
A. B. C. D.
2.（2008·长春）计算：.
【考题选粹】
1.（2006·南充）已知，那么化简的正确结果是（ ）
A. B. C. D.
2.（2007·烟台）观察下列各式：
，，，…，请将你发现的规律用含自然数的等式表示出来： .
3.（2009·邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝ （一）
＝　　　　　（二）　
＝＝　　　（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以为样化简：＝　（四）
（1）请用不同的方法化简．
①参照（三）式得＝_____； ②参照（四）式得＝_____．
（2）化简：
4.（2008·凉山）阅读材料，解答下列问题．
例：当时，如则，故此时的绝对值是它本身
当时，，故此时的绝对值是零
当时，如则，故此时的绝对值是它的相反数
综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即
这种分析方法涌透了数学的分类讨论思想．
问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况．
（2）猜想与的大小关系．
【课外作业】
见《中考状元（数学）》P.17～18.
第一章综合测试（数与式）
班级 学号 姓名 得分 .
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 如果水库的水位高于标准水位时，记作，那么低于标准水位时，应记作（ ）
A. B. C. D.
2. 在实数，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 2010年5月27日，上海世博会参观人数达到37．7万人，37．7万用科学记数法表示的结果为( )
A. B. C. D.
5. 如图1-12，点，在数轴上对应的实数分别是，，那么这两点间的距离是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列运算中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
7. 某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（ ）
A. 31个 B. 33个 C.35个 D.37个
8. 如果代数式的值为9，则代数式的值为（ ）
A. 7 B. 9 C. 12 D. 18
9. 如图1-13，图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10.已知，是两个连续自然数（＜），且，设
，那么的值是（ ）
A.奇数 B.偶数 C.奇数或偶数 D.有理数或无理数
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11.写出一个小于的正整数： .
12.如果分式的值为0，则的值为 .
13.已知，，则代数式的值为 .
14.下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…则第2012个数是 .
15.数学家发现一个魔术盒，当任意实数对进入时，会得到一个新的实数：.例如把（3，-2）放入其中后，就会得到32+（-2）+1=8. 现将实数对（-2，3）放入其中得到实数，再将实数对放入其中后，得到的实数是 .
16.若、、分别是中、、的对边，且满足，则是 三角形.
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17.（6分）计算：.
18.（6分）先化简代数式：，然后选择一个使原式有意义的，值代入求值.
19.（6分）观察下面一列数，探求其中的规律：
，，，，，， ， ， ，…
（1）请在上面的横线上填出第7，8，9个数；
（2）第2012个数是什么？第个数是什么？如果这一列数无限地排列下去，那么与哪个数越来越接近？
20.（8分）分解因式：
（1） （2）
21.（8分）2007年4月18日是全国铁路第六次大提速的第一天. 这一天，小明爸爸因要出差，于是他到火车站查询列车的开行时间，下表是他从火车站带回家的最新时刻表：
2007年4月18日起××次列车时刻表
始发站 发车时间 终点站 到站时间
A站 上午8:20 B站 次日12:20
小明爸爸找出了以前同一车次的时刻表如下：
2006年3月20日××次列车时刻表
始发站 发车时间 终点站 到站时间
A站 下午14:30 B站 第三日8:30
比较了两张时刻表后，小明爸爸提出了下面两个问题，请你帮小明解答：
（1）现在该次列车的运行时间比以前缩短了多少小时？
（2）如果该次列车提速后的平均时速为200千米/小时，那么该次列车原来的平均时速为多少？（结果精确到个位）
22.（10分）如图1-14是由边长为的正方形剪去一个边长为的小正方形后余下的图形.把图1-14剪开后,再拼成一个四边形，可以用来验证公式：.
（1）请你通过对图1-14的剪拼，画出三种不同拼法的示意图.
要求：①拼成的图形是四边形；
②在图(1)上画出剪裁线(用虚线表示)；
③在拼出的图形上标出已知的边长.
（2）选择其中的一种拼法写出验证上述公式的过程.
23.（10分）如图1-15，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…．
（1）记正方形ABCD的边，按上述方法所作的正方形的边长依次为，，，．．．，，求，，的值；
（2）根据以上规律写出的表达式．
24.（12分）设，,…,（≥ 0的自然数）.
（1）探究：是8的倍数吗？请说明理由，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出，，…，，…，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并求：当满足什么条件时，为完全平方数？
A
B
20 24
25
12
15
18
32
1 2 3 4 …
2 4 6 8 …
3 6 9 12 …
4 8 12 16 …
… … … … …
表①
表②
表③
表④
北京
汉城
巴黎
伦敦
纽约
图1-1
1
0
3
-1
图1-2
2
2
4
1
1
2
-2
0
图1-3
7
3
5
9
11
13
15
17
19
图1-4
图1-5
图1-6
1
2
0
-1
-2
A
B
图1-7
图1-9
图1-8
（1）
（2）
（3）
……
……
图1-9
m
平方
-m
÷m
+2
结果
图1-10
m+3
m
3
b
a
图1-11
B
A
图1-12
图1-13
图1-14
图1-15