(共41张PPT)
2.1 古典概型的概率计算公式
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.通过实例理解古典概型的两个基本特征.
2.掌握古典概型的概率计算公式.
3.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及其发生的概率.
4.体会数学中解决实际问题思想,增加数学建模的素养养成.
自主预习·新知导学
一、事件的概率
【问题思考】
1.如何描述一个随机事件发生的可能性?
提示:概率.
2.抛掷一枚质地均匀的硬币,“出现正面向上”的可能性是多少?
3.填空:对于一个随机事件A,我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)
≤1)来表示该事件发生的可能性的大小,这个数就称为随机事件A的概率.
4.概率如何刻画随机事件?
提示:概率度量了随机事件发生的可能性的大小,是对随机事件统计规律性的数量刻画.
二、古典概型
【问题思考】
1.试验E1:抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数,试验E2:抛掷一枚质地均匀的硬币,观察正面、反面出现的情况.在试验E1,E2中,样本点有怎样的共性?
提示:有限性和等可能性.
2.填空:
(1)古典概型定义:
一般地,若试验具有如下特征:
①有限性:试验的样本空间Ω的样本点总数有限,即样本空间Ω为有限样本空间;
②等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等.
则称这样的试验模型为古典概率模型,简称古典概型.
(2)古典概型的概率公式:
对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为
3.向一个圆内随机地投射一个点,观察点落在圆内的不同位置,你认为这个情境适合用古典概型来描述吗?为什么?
提示:不适合,因为此试验样本空间的样本点总数是无限的.
4.有人认为,抛掷两枚均匀的骰子,掷出的点数之和可能为2,3,4,…,12,共有11种可能的情形,因此,“掷出的点数之和为2”的可能性与“掷出的点数之和为6”的可能性相等,都是,这种说法是否正确?为什么?
提示:不正确.因为点数之和为2只有(1,1),而点数之和为6有:
(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共5种.故不是等可能的,即样本空间的各个样本点出现的可能性不相等,故这种说法不正确.
5.做一做:根据古典概型的定义回答下列问题.
(1)袋中有大小、质地相同的7个白球、4个黑球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出1个球,有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个样本点,是否为古典概型?
(2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上,将豆子所落的位置看作一个样本点,是否为古典概型?
(3)一名射击运动员射击,把击中的环数看成样本点,是否为古典概型?
分析:判断一个概率模型是否为古典概型,关键是看它是否满足两个特征:(1)有限性;(2)等可能性.
解:(1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法,又因为所有球大小、质地相同,因此每个球被摸到的可能性相等,故以球的编号为样本点的概率模型是古典概型.
(2)因为豆子落在桌面上的位置有无数个,即有无数个样本点,所以以豆子所落的位置为样本点的概率模型不是古典概型.
(3)由于运动员击中每一环的可能性不相等,故以击中的环数为样本点的概率模型不是古典概型.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其样本空间的样本点是“发芽”与“不发芽”.(
×
)
(2)连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次,观察正面、反面出现的情况.事件“两个正面”,“一正一反”,“两个反面”的概率相等.
(
×
)
(3)从1,2,3,4,5中不放回地依次随机取出两个数,其和为5的概率是0.2.(
√
)
(4)抛掷一枚均匀的骰子,观察掷出的点数,掷出的点数是偶数的概率为
.(
√
)
(5)对于任意事件A,满足0≤P(A)<1.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
样本点个数的求法
【例1】
将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次,观察每次掷出的点数.计算:
(1)一共有多少种不同的结果;
(2)其中向上的点数之和是质数的结果有多少种.
分析:用列举法列出所有结果,然后按要求进行判断即可.
解:(1)用(i,j)表示抛掷的结果,其中i表示第一次掷出的点数,j表示第二次掷出的点数,则所有可能的结果如下:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),
共有36种不同的结果.
(2)点数之和是质数的结果有(1,1),(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),
(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(5,2),(5,6),(6,1),(6,5),共15种.
列举法是探求样本点的常用方法,列举时必须按照某一标准进行,要做到不重、不漏.
【变式训练1】
求下列各试验中样本点的个数,并指出包含哪些样本点.
(1)从字母a,b,c中任取两个字母;
(2)从装有大小、质地完全相同,且分别标有1,2,3,4,5的5个球的袋中任意取出2个球.
解:(1)从三个字母中任取两个字母有3种等可能的结果,即样本空间样本点的个数为3,分别是(a,b),(a,c),(b,c).
(2)从袋中任意取出2个球的等可能结果为球1和球2,球1和球3,球1和球4,球1和球5,球2和球3,球2和球4,球2和球5,球3和球4,球3和球5,球4和球5.
故共包含10个样本点,分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),
(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).
探究二
古典概型的概念
【例2】
(1)在坐标轴区间[0,3]上任取一点,求此点的坐标小于1的概率,问此试验的概率模型是否为古典概型?为什么?
(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数,求所取两数之一是2的概率,此试验的概率模型是古典概型吗?试说明理由.
解:(1)此试验的概率模型不属于古典概型.因为在坐标轴区间[0,3]上任取一点,此点可以在[0,3]上的任一位置,且在每个位置的可能性是相等的,具备等可能性.但试验结果有无限多个,不满足试验结果的有限性.
(2)此试验的概率模型是古典概型.因为此试验的样本点总数为6,分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),且每个样本点的出现是等可能的,因此属于古典概型,所取两数之一是2的概率为
判断一个试验的概率模型是否为古典概型,关键是看它是否具备古典概型的两个特征:(1)试验的样本空间的样本点总数有限,即有限性;(2)每次试验中,样本空间的各个样本点出现的可能性相等,即等可能性.
【变式训练2】
下列试验是古典概型的是( )
A.在公交车站候车不超过10
min的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球,观察颜色
C.向一个圆面内随机地投一个点,观察该点是否落入圆内接正方形内
D.向上抛掷一枚不均匀的硬币,观察正面、反面出现的情况
解析:用古典概型的两个特征去判断即可.
对于选项A,因为10
min是个时间段,样本点的总数有无限个,所以不是古典概型;
对于选项B,因为有摸到白球、摸到黑球两种可能的结果,且摸到白球与黑球的概率都是
,所以是古典概型;
对于选项C,因为样本空间的样本点总数有无限个,所以不是古典概型;
对于选项D,因为硬币质地不均匀,所以正面、反面出现的可能性不相等,所以不是古典概型.
答案:B
探究三
古典概型的概率计算
【例3】
某商场举行购物抽奖促销活动,规定每名顾客从装有四个编号为0,1,2,3,大小、质地完全相同的小球的抽奖箱中,每次随机取出一个球记下编号后放回,连续取两次.若取出的两个小球的编号相加之和等于6,则中一等奖;若等于5,则中二等奖;若等于4或3,则中三等奖.
(1)求中三等奖的概率;
(2)求中奖的概率.
分析:分别写出样本空间的所有样本点,利用古典概型的概率计算公式求出概率.
解:从四个小球中有放回地随机取球两次,则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),
(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)},共有16个样本点,且每个样本点出现的可能性相等.
(2)设“中奖”为事件B.由(1)知事件“中三等奖”包含7个样本点;
事件“中二等奖”,即两个小球的编号相加之和等于5,包含的样本点有:(2,3),(3,2),共2个;
事件“中一等奖”,即两个小球的编号相加之和等于6,包含的样本点有:(3,3),共1个.
解决古典概型问题时,要注意以下几个方面:
(1)明确样本点是什么;
(2)试验是不是等可能性的试验;
(3)样本点总数是多少;
(4)事件A包含多少个样本点.
【变式训练3】
某校举行运动会,高二(1)班有男乒乓球运动员4名,女乒乓球运动员3名,现要随机选一名男运动员和一名女运动员组成混合双打代表本班参赛,试列出全部可能结果,若某女乒乓球运动员为国家一级运动员,求她参赛的概率.
解:由题意知男生是从4人中随机选取,女生是从3人中随机选取,为了得到试验的全部结果,我们设男生为A,B,C,D,女生为1,2,3,我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果.如(A,1)表示从男生中选取的是男生A,从女生中选取的是女生1,可用列举法列出样本空间的所有样本点,如下表所示.
由上表可知,样本空间的样本点总数是12,且每个样本点出现的可能性相等.设“国家一级运动员参赛”为事件E.不妨令该国家一级运动员的编号为1,则事件E={(A,1),(B,1),(C,1),(D,1)}含有4个样本点,故她参赛的概率
易
错
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析
因找不全样本点致误
【典例】
已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,试写出所有样本点.
错解
样本点有(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6).
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,集合N中的元素既可以作为点的纵坐标,也可以作为点的横坐标,错解中少了以下样本点:(-4,-2),(-4,3),(5,-2),(5,3),(6,-2),(6,3).
正解:样本点共有12个,它们是(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),
(3,6),(-4,-2),(-4,3),(5,-2),(5,3),(6,-2),(6,3).
弄清题意,避免遗漏.
随
堂
练
习
1.下列随机试验的数学模型属于古典概型的是( )
A.在一定的条件下,移植一棵吊兰,它可能成活,也可能不成活
B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点
C.某射手射击一次,可能命中0环、1环、2环、…、10环
D.四名同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会
答案:D
2.先在5张卡片上分别写上数字1,2,3,4,5,将它们混合后,再任意排成一行组成一个五位数,则得到的五位数能被2或5整除的概率是( )
A.0.2
B.0.4
C.0.6
D.0.8
解析:一个五位数能否被2或5整除关键看其个位数字,而由1,2,3,4,5组成的五位数中,1,2,3,4,5出现在个位是等可能的,所以个位数字对应的样本点有1,2,3,4,5,共5个,“能被2或5整除”这一事件中含有个位数字对应的样本点有2,4,5,共3个,所以所求概率为
.故选C.
答案:C
3.已知在200瓶饮料中,有4瓶已过保质期,从中任取一瓶,则取到的是已过保质期的饮料的概率是( )
A.0.2
B.0.02
C.0.1
D.0.01
答案:B
4.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 .?
解析:从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法,其中可以构成三角形的有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),共3种,故所求概率为
5.依据闯关游戏规则,请你探究图中“闯关游戏”的奥秘:要求每次同时按下左边和右边各1个按钮(按钮分别记为左1、左2、右1、右2),其中按下某些按钮可以使灯泡点亮,点亮灯泡则闯关成功,否则闯关失败.
(1)用列表的方法表示所有可能的按钮方式;
(2)若只有两个1号按钮同时按下才能点亮灯泡,试求闯关成功的概率.
解:(1)所有可能的按钮方式列表如下:
(2)若只有两个1号按钮同时按下才能点亮灯泡,点亮灯泡则闯关成功,则事件“闯关成功”={(1,1)}含有1个样本点.故P(“闯关成功”)=(共31张PPT)
2.2 古典概型的应用
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
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课标定位
素养阐释
1.通过实例学会应用古典概型.
2.会从不同角度建立不同的概率模型.
3.通过建立概率模型来解决简单的实际问题,体会数学建模的学科素养.
自主预习·新知导学
一、古典概型的求解
【问题思考】
1.古典概型的基本特征是什么?
提示:一是有限性,即样本空间为有限样本空间;二是等可能性,样本空间的各个样本点出现的可能性相等.
3.求解古典概型中样本空间的样本点总数,常用的方法是什么?
提示:列举法.
4.做一做:从甲、乙、丙三人中任选两名代表参加某项活动,甲被选中的概率为( )
解析:从3人中任选2人,则所有的选法共有3种,即:甲乙、甲丙、乙丙,
其中甲被选中的选法有2种,故甲被选中的概率是
故选C.
答案:C
二、互斥事件的概率加法公式
【问题思考】
1.思考下列两个问题:
(1)什么是互斥事件?怎样用Venn图表示?
(2)请从Venn图上直观判断出P(A∪B)与P(A),P(B)的大小关系.
提示:(1)一般地,不能同时发生的两个事件A与B(A∩B=?)称为互斥事件.
?
A,B互斥
(2)P(A)≤P(A∪B),P(B)≤P(A∪B).
2.在试验E“抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数”中,设事件A表示“掷出的点数为奇数”,事件B表示“掷出的点数为4”,事件A与B是否为互斥事件?试探究P(A),P(B)与P(A+B)有怎样的关系.
提示:事件A和事件B是互斥事件.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)在古典概型中,概率加法公式为P(A∪B)=P(A)+P(B).(
×
)
(2)两个互斥事件的概率加法公式可以推广到n个两两互斥事件的概率加法公式.(
√
)
(3)当一个事件的情况比较复杂时,我们可以用求其对立事件的概率的方法间接地来求它的概率.(
√
)
(5)如果P(A)≤P(B),那么A?B.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一
构建不同的概率模型解决问题
【例1】
从1,2,3,4,5,6中任取两个数字组成一个两位数,求组成的两位数大于50的概率.
解法一:依题意知所有可能的结果为12,13,14,15,16,21,23,24,
25,26,31,32,34,35,36,41,42,43,45,46,51,52,53,54,56,61,62,63,
64,65,共有30种等可能结果.设“组成的两位数大于50”为事件A,则事件A包含的样本点有51,52,53,54,56,61,62,63,64,65,共有10种可能的结果.
由古典概型的概率计算公式,得
解法二:由于50的个位数字是0,因此大于50的两位数只要十位上的数字不小于5即可.十位上的数字的所有可能结果是1,2,3,4,5,6,共有6种等可能的结果.设十位上的数字不小于5为事件A,则事件A包含的样本点有5,6,共有2种可能的结果.
由古典概型的概率计算公式,得
可以用传统解法,但是样本点较多;还可以从另一角度巧妙建立古典概率模型,使样本点个数较少,理解、运算都较简便.
【变式训练1】
求连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,掷出的点数之和为奇数的概率.
解法一:设事件A表示“掷出的点数之和为奇数”,用(i,j)表示抛掷的结果,其中i表示第一次掷出的点数,j表示第二次掷出的点数,显然共有36种等可能结果.其中事件A包含的(i,j)只能为(奇,偶)或(偶,奇),所以事件A包含的样本点个数为3×3+3×3=18.故
解法二:设事件A表示“掷出的点数之和为奇数”,用(i,j)表示抛掷的结果,其中i表示第一次掷出的点数,j表示第二次掷出的点数.若把试验的所有可能结果取为(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),
(偶,偶),则它们也组成等可能样本点的样本空间,共有4个样本点.事件A包含的样本点个数为2.故
探究二
互斥事件的概率的求法
【例2】
黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血,小明是B型血,若他因病需要输血,问:
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?
分析:将比例化为概率,根据事件之间的关系,选择概率公式计算.
解:(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A',B',C',D',它们是互斥的.
由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.
因为B,O型血的人可以输血给B型血的人,所以“可以输血给B型血”为事件B'∪D',根据互斥事件的概率加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64.
(2)(方法一)由于A,AB型血的人不能输血给B型血的人,故“不能输血给B型血”为事件A'∪C',根据互斥事件的概率加法公式,得P(A'∪C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.
(方法二)事件“可以输血给B型血”的对立事件为“不能输血给B型血”,故“不能输血给B型血”的概率为1-0.64=0.36.
解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”,对于较难判断关系的,必要时可利用Venn图或列出试验的样本空间及随机事件进行分析.
【变式训练2】
由经验得知,在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表:
(1)至多有2人排队的概率是多少?
(2)至少有2人排队的概率是多少?
解:设商场付款处排队等候付款的人数为0,1,2,3,4及5人以上的事件依次为A0,A1,A2,A3,A4,A5,可知这六个事件两两互斥.
(1)设事件B表示“至多有2人排队”,则B=A0∪A1∪A2,P(B)=P(A0∪A1∪A2)
=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)设事件C表示“至少有2人排队”,则C=A2∪A3∪A4∪A5,P(C)=P(A2∪A3∪A4∪A5)
=P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.
易
错
辨
析
因建模错误而致误
【典例】
把一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次,求出现两次正面朝上的概率.
错解
把一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次,面朝上的可能结果有“2次正面”,“2次反面”,“1次正面,1次反面”,共3种,即有3个样本点.所以出现两次正面朝上的概率为
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:因为“1次正面,1次反面”包含“一正一反”和“一反一正”两种情况,所以出现“2次正面”“2次反面”“1次正面,1次反面”的可能性是不相同的,因此,把这3个事件看成样本点建立的模型不是古典概型.
正解:把一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次,朝上的面出现“2次正面”,“2次反面”,“一正一反”和“一反一正”4种可能的结果,即有4个样本点并且这4个样本点出现的可能性相等,这个模型是古典概型.所以出现两次正面朝上的概率为
分清事件是否为古典概型,找准样本空间的所有样本点.
随
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习
1.从1,2,3,4,5这五个数中,任取两个数,则这两个数之和为3或6的概率为( )
答案:A
2.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,
P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A.0.7
B.0.65
C.0.35
D.0.3
解析:抽到的不是一等品的概率为P=1-P(A)=1-0.65=0.35.
答案:C
3.口袋内装有一些大小、质地相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.52,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是( )
A.0.2
B.0.28
C.0.52
D.0.8
解析:设事件M表示“摸出红球”,事件N表示“摸出白球”,事件E表示“摸出黑球”,则P(M)+P(N)+P(E)=1,所以P(E)=1-P(M)-P(N)=1-0.52-0.28=0.2,故选A.
答案:A
5.100个人依次抓阄,决定1件奖品的归属,求最后一个人中奖的概率.
解:只考虑最后一个人抓阄的情况,他可能抓到100个阄中的任何一个,而他抓到有奖的阄的可能结果只有1种,故最后一个人中奖的概率为(共41张PPT)
4 事件的独立性
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
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素养阐释
1.通过实例了解相互独立事件的概念,明确相互独立事件与互斥事件之间的区别.
2.掌握相互独立事件概率的乘法公式.
3.学会用相互独立事件概率的乘法公式解决实际问题.
4.培养数学抽象素养,提升数学建模素养.
自主预习·新知导学
一、事件相互独立的含义
【问题思考】
1.思考下列两个问题:
(1)积事件AB的含义是什么?怎样用Venn图表示积事件AB?
(2)请从Venn图上直观判断出P(AB)与P(A),P(B)的大小关系.
提示:(1)事件A与事件B同时发生,即积事件AB的样本点既在事件A中,也在事件B中.用Venn图表示为
?
(2)P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B).
2.端午节学校放假三天,甲、乙两名同学都打算去敬老院,甲准备在三天内随机选一天去,记事件A:“甲选的是第一天”;乙准备在前两天中随机选一天去,记事件B:“乙选的是第一天”.
(1)直觉上,你觉得事件A是否发生会影响事件B发生吗?
(2)求出P(A),P(B),P(AB)并观察这三个值有什么关系.
提示:(1)甲选第一天,对乙选第一天是没有影响的,即事件A是否发生不影响事件B发生.
3.填空:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件.
两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积,即P(AB)=P(A)P(B).
二、相互独立事件的性质
【问题思考】
1.若事件A与事件B互相独立,则事件A与事件B的对立事件相互独立吗?为什么?
3.做一做:一个袋中有3个红球,2个白球,另一袋中有2个红球,1个白球,从每袋中任取一球,则至少取到1个白球的概率是 .
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)若A,B为相互独立事件,则事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响.(
√
)
(2)若事件A,B互斥,则A,B不可能同时发生.(
√
)
(3)若事件A,B相互独立,则A,B不可能同时发生.(
×
)
(4)应用公式P(AB)=P(A)P(B)的前提条件是事件A,B相互独立.
(
√
)
(5)当事件A,B相互独立时,P(A∪B)=P(A)+P(B).(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
互斥事件与相互独立事件
【例1】
下列每对事件中,哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件?
(1)1
000张有奖销售的奖券中某1张奖券中一等奖与该张奖券中二等奖;
(2)甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张,甲中奖与乙中奖;
(3)甲组有3名男生、2名女生,乙组有2名男生、3名女生,今从甲、乙两组中各抽选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(4)容器内装有大小相同的5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.
分析:根据互斥事件和相互独立事件的概念和性质来进行判断.互斥事件A和B不能同时发生,但可能同时不发生.相互独立事件A和B各自是否发生互不相关,其中一事件发生与否对另一事件的发生没有影响,两事件既可以同时发生,也可以同时不发生,或一个发生另一个不发生.
解:(1)一张奖券不可能既中一等奖又中二等奖,即这两个事件不可能同时发生,故它们是互斥事件.
(2)由双色球的中奖规则可知,甲是否中奖对乙是否中奖没有影响,反之亦然,故它们是相互独立事件.
(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,反之亦然,所以它们是相互独立事件.
弄清“互斥事件”与“相互独立事件”的区别是关键,“互斥事件”不能同时发生,“独立事件”互不影响.
【变式训练1】
判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件.
(1)运动员甲射击1次,“射中9环”与“射中8环”;
(2)甲、乙两运动员各射击1次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;
(3)甲、乙两运动员各射击1次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”;
(4)甲、乙两运动员各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标,但乙没有射中目标”.
解:(1)甲射击1次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件.
(2)甲、乙各射击1次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”发生的概率没有影响,二者是相互独立事件.
(3)甲、乙各射击1次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二者是互斥事件.
(4)甲、乙各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标,但乙没有射中目标”可能同时发生,二者构不成互斥事件,也不是相互独立事件.
探究二
相互独立事件的概率公式
求P(AB)时注意事件A,B是否相互独立,求P(A+B)时应注意事件A,B是否互斥.对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路:
(1)是分类讨论;(2)是求对立事件,利用
来计算.
(1)求甲获胜的概率;
(2)求甲投篮次数分别为1,2,3次的概率.
解:设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中,
(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率公式与相互独立事件同时发生的概率公式,知
探究三
独立事件概率应用
(1)该射手第一次命中,后二次都未命中的概率;
(2)该射手恰有一次命中的概率;
(3)该射手至少命中一次的概率.
分析:由于射手射击的结果相互独立,利用相互独立事件的概率公式求解.
解:设“该射手第一次射击命中”为事件A,“第二次射击命中”为事件B,“第三次射击命中”为事件C,
【变式训练3】
在一个选拔项目中,每名选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率;
(3)求该选手最终通过考核的概率.
随
堂
练
习
1.甲、乙两名射击运动员射击同一目标,命中的概率分别为0.8和0.7,若甲、乙各射击一次,目标被击中的概率是( )
A.0.56
B.0.92
C.0.94
D.0.96
答案:C
2.抛掷一枚质地均匀的骰子一次,设事件A为“出现偶数点”,事件B为“出现3点或6点”,则事件A,B的关系是( )
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥
解析:事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},
样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}.
因为P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立.
因为当“出现6点”时,事件A与事件B都发生,
所以A,B不是互斥事件.
答案:B
答案:C
4.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则这两个闹钟至少有一个准时响的概率是 .?
解析:至少有一个准时响的概率为
1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.
答案:0.98
5.甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知在前2局中,甲、乙各胜1局.
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.
解:设Ai表示事件:第i局甲获胜,i=3,4,5,
Bj表示事件:第j局乙获胜,j=3,4.
(1)设A表示事件:再赛2局结束比赛,
则A=A3A4∪B3B4.
由于各局比赛结果相互独立,
故P(A)=P(A3A4∪B3B4)
=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)
=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.
(2)设B表示事件:甲获得这次比赛的胜利.
因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B=A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5,
由于各局比赛结果相互独立,
故P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)
=P(A3)·P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.(共34张PPT)
§3 频率与概率
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.通过实例了解频率的概念.
2.通过试验寻求概率与频率的关系.
3.理解随机事件的概率.
4.体验试验中总结规律的数学思想,提升数学抽象的素养.
自主预习·新知导学
一、频率
【问题思考】
1.在日常生活中,我们怎样来衡量“很准”或“最有把握”?
提示:我们常用频率来量化“很准”或“最有把握”,例如在篮球比赛的统计中,有一项技术指标叫“投篮命中率”,是用来衡量运动员投篮准确性的.
2.什么是频率?
提示:在n次投篮过程中,有m次投中.在一般情况下,称m为投篮命中的频数,称
为投篮命中的频率,简称投篮命中率.
3.频率如何去求,它有怎样的取值范围?
二、概率
【问题思考】
1.当多次做抛掷一枚质地均匀的硬币,观察正面朝上的情况试验时,频率有什么特点?
提示:与篮球运动员的投篮命中率类似,在抛掷硬币试验中,当抛掷次数较小时,由于受用力不均匀,桌面细微的凹凸不平等偶然因素的影响,使得正面朝上的频率并不稳定.但当抛掷次数逐渐增大时,试验逐渐摆脱了许多微小偶然因素的影响,而使正面朝上的频率有一种较好的稳定性,即正面朝上的频率稳定在0.5左右.
2.填空:在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,把这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A).显然,0≤P(A)≤1.我们通常用频率来估计概率.
3.事件发生的概率和事件发生的频率有什么区别和联系?
提示:概率是频率的稳定值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.频率本身是随机的,在试验前不能确定,概率是一个确定的常数,是客观存在的,在试验前已经确定与试验次数无关.
4.做一做:从某自动包装机包装的白糖中,随机抽取20袋,测得各袋的质量(单位:g)分别为:
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据样本的频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5~501.5
g之间的概率约为 .
解析:样本中白糖质量在497.5~501.5
g之间的有5袋,所以该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5~501.5
g之间的频率为
,故所求概率约为0.25.
答案:0.25
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)概率是客观存在的一个确定的数.(
√
)
(2)频率是客观存在的一个确定的数.(
×
)
(3)十次试验中,事件A发生了六次,其概率为0.6.(
×
)
(4)十次试验中,事件A发生了六次,其频率为0.6.(
√
)
(5)随机事件A发生的频率可以用来估计随机事件A发生的概率.(
√
)
(6)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.(
√
)
(7)某次试验发生的频率越高,那么它的概率就越大.(
×
)
(8)概率随着频率的变化而变化.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一
频率与概率的关系
【例1】
下列说法:
①一个人打靶,打了10发子弹,有7发中靶.因此这个人中靶的概率为0.7;
②随机事件的频率与概率一定不相等;
③在条件不变的情况下,随机事件的概率不变;
④在一次试验结束后,随机事件的频率是变化的;
⑤任何事件都有概率.
其中正确的是 .(填序号)?
解析:因为试验次数较少,此事件中靶的频率为0.7,不能说是概率,所以①错误;②在大量重复试验的情况下,频率稳定在某一常数附近,所以②错误;③概率是一个稳定值,不随试验次数的变化而变化,因此,在条件不变的情况下,概率不变,所以③正确;④频率随着试验的次数发生变化,但在一次试验结束后,频率是不变的,所以④错误;⑤事件包括必然事件、不可能事件、随机事件,它们都有概率,所以⑤正确.
答案:③⑤
频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率.
【变式训练1】
给出下列四个说法:
①设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品;
其中正确的为 .(填序号)?
解析:①错误,次品率是大量产品的估计值,并不是针对200件产品来说的,所以任取200件,不一定有10件是次品;②③混淆了频率与概率的概念;④正确.
答案:④
探究二
用频率估计概率
【例2】
某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1
000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:h)进行了统计,统计结果如下表所示.
(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果,计算灯管使用寿命不足1
500
h的频率;
(3)估计灯管使用寿命不足1
500
h的概率.
(2)样本中寿命不足1
500
h的频数是48+121+208+223=600,
所以样本中寿命不足1
500
h的频率是
(3)估计灯管使用寿命不足1
500
h的概率是0.6.
在实际问题中,常用事件发生的频率作为概率的估计值.频率本身是随机的,而概率是一个确定的数,是客观存在的,因此概率与每次试验无关.
【变式训练2】
某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示.
(1)填写表中击中靶心的频率.
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少?
解:(1)表中从左到右依次填入的数据为:
0.80,0.95,0.90,0.875,0.88,0.85.
(2)因为频率稳定在常数0.88附近,所以这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.88.
易
错
辨
析
对概率的统计意义理解不当而致误
【典例】
某同学抛掷一枚质地均匀的硬币10次,共有8次反面朝上,于是他指出:“抛掷一枚硬币,出现反面朝上的概率应为0.8”.你认为他的结论正确吗?为什么?
错解
正确.因为概率就是频率.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:没有正确理解概率的定义,概率的定义中用频率的近似值刻画概率,要求试验次数足够多,即只有“在相同条件下,随着试验次数的增加,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定”时,才用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小,把这个常数叫作随机事件A的概率.
正解:错误.抛掷一枚硬币10次,有8次反面朝上,就此得出“反面朝上”的概率为0.8,显然是对概率的统计性定义的曲解.
加强对概率定义的理解.
随
堂
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习
答案:D
2.在抛掷一枚硬币的试验中,共抛掷了100次,若“正面朝上”的频率为0.49,则“正面朝下”的次数为( )
A.0.49
B.49
C.0.51
D.51
答案:D
3.已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%,则下列说法正确的是( )
A.如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物,那么有90人会被治愈
B.如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物,那么他一定会被治愈
C.使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D.以上说法都不正确
解析:治愈某种疾病的概率为90%,说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%,但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病,只能说治愈的可能性较大.
答案:C
4.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:
[11.5,15.5),2;[15.5,19.5),4;[19.5,23.5),9;[23.5,27.5),18;
[27.5,31.5),11;[31.5,35.5),12;[35.5,39.5),7;[39.5,43.5),3.
根据样本的频率分布估计数据落在区间[31.5,43.5)内的概率约是 .?
5.某篮球运动员在最近几场大赛中投篮的结果如下:
(1)计算进球的频率(精确到0.01);
(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?
解:(1)由频率的计算公式可以计算出每场比赛该运动员进球的频率依次为
(2)由(1)知每场比赛进球的频率虽然不同,但频率总是在常数0.75附近摆动,故该运动员投篮一次,进球的概率约为0.75.(共37张PPT)
1.4 随机事件的运算
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
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习
课标定位
素养阐释
1.通过实例理解交事件和并事件.
2.掌握事件的互斥和对立,并理解互斥与对立的区别与联系.
3.会进行简单的随机事件的运算.
4.通过相关概念的学习及对简单随机事件的运算,增强数学抽象与数学运算素养.
自主预习·新知导学
随机事件的运算
【问题思考】
1.某款学习用品有a,b,c,d,e
5种品牌在某文具店销售,同学甲随机选择这款学习用品的某种品牌购买.
(1)请写出这一试验的样本空间.
(2)试用样本点表示下列事件:
①事件C表示“选择a品牌”;
②事件D表示“选择a品牌或b品牌”;
③事件E表示“选择a品牌或c品牌”;
④事件F表示“选择a品牌或b品牌或c品牌”;
⑤事件G表示“选择d品牌或e品牌”.
(3)请用集合的关系和运算回答下列问题:
①C与D有什么关系?
②D∪E与哪个集合相等?
③D∩E与哪个集合相等?
④E与G有公共元素吗?F与G呢?
⑤用集合的形式怎样表示E∩G,F∩G,F∪G?
提示:(1)样本空间Ω={a,b,c,d,e}.
(2)①C={a};②D={a,b};③E={a,c};④F={a,b,c};⑤G={d,e}.
(3)①C包含于D;②D∪E=F;③D∩E=C;④没有;没有;
⑤E∩G=?,F∩G=?,F∪G=Ω.
2.填空:交事件(或积事件)
一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作
A∩B
(或
AB
).事件A∩B是由事件A和事件B所共有的样本点构成的集合.
3.如何用Venn图表示事件A与事件B的交事件?
提示:
4.填空:并事件(或和事件)
一般地,由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生,或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作A∪B(或
A+B
).事件A与事件B的并事件是由事件A或事件B所包含的样本点构成的集合.
5.如何用Venn图表示事件A与事件B的并事件?
提示:
6.填空:互斥事件和对立事件
一般地,不能同时发生的两个事件A与B(A∩B=?)称为互斥事件.它可以理解为A,B同时发生这一事件是不可能事件.
若A与B互斥(A∩B=?),且A∪B=Ω,则称事件A与事件B互为
对立事件,事件A的对立事件记作
7.如何用Venn图表示互斥事件与对立事件?
提示:
A,B互斥
8.对立事件与互斥事件的区别与联系是什么?
提示:互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不能同时发生外,还要求二者之间必有一个发生.因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.总之,互斥不一定对立,对立一定互斥.
9.做一做:(1)打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示( )
A.全部击中
B.至少击中1发
C.至少击中2发
D.以上均不正确
(2)试验E:抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,观察掷出的点数情况.设事件P表示“掷出的点数是1”,Q表示“掷出的点数是3或4”,M表示“掷出的点数是1或3”,用样本点表示事件P∪Q= ,M∩Q= .?
解析:(2)因为事件P={1},Q={3,4},M={1,3},
所以P∪Q={1,3,4},M∩Q={3}.
答案:(1)B (2){1,3,4} {3}
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)对于事件A与事件B,如果事件A发生,事件B一定发生,那么A∩B=A.(
√
)
(2)若事件A发生,事件B不发生,则事件A与事件B互为对立事件.(
×
)
(3)事件A与事件B在任何一次试验中不同时发生,则事件A与事件B互斥.(
√
)
(4)在试验“抛掷一枚骰子,观察骰子掷出的点数”中,“出现2点”和“出现5点”是互斥事件.(
√
)
(5)事件A+B发生包含两层意思:A发生B不发生,A不发生B发生.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一
互斥事件与对立事件的判断
【例1】
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1到10各10张)中,任抽一张.判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,若是互斥事件,是否为对立事件,并说明理由:
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”.
分析:互斥事件不能同时发生,对立事件既不能同时发生,又必有一个发生;定义是判断事件是否为互斥事件、对立事件的一种最有效、最简便的基本方法.
解:(1)是互斥事件,但不是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件,但是,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”.因此,两个事件不是对立事件.
(2)是互斥事件,也是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,也是对立事件.
(3)既不是互斥事件,也不是对立事件.
理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽出的牌的点数为10.因此,两事件既不是互斥事件,也不是对立事件.
1.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件.
2.要紧扣互斥事件的概念,判断两个事件是否能同时发生是关键.
【变式训练1】
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,设事件A表示“只订甲报”,事件B表示“至少订一种报”,事件C表示“至多订一种报”,事件D表示“不订甲报”,事件E表示“一种报也不订”.判断下列各对事件是不是互斥事件,如果是,判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.
【变式训练1】
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,设事件A表示“只订甲报”,事件B表示“至少订一种报”,事件C表示“至多订一种报”,事件D表示“不订甲报”,事件E表示“一种报也不订”.判断下列各对事件是不是互斥事件,如果是,判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.
解:(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故事件B与E是互斥事件.由于事件B和事件E必有一个发生,故B与E也是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,也就是说事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不是互斥事件.
(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能:“只订甲报”,“只订乙报”,“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有3种可能:
“一种报也不订”,“只订甲报”,“只订乙报”.即事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
(5)由(4)的分析可知,事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能,事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.
探究二
随机事件的运算
【例2】
试验E:甲、乙、丙三人各投篮一次,观察投中的情况.设事件A表示“甲投中”,B表示“乙投中”,C表示“丙投中”,试用A,B,C的运算表示下列随机事件:
(1)甲、乙投中但丙没投中;
(2)甲、乙、丙都投中;
(3)甲、乙、丙三人至少有一人投中;
(4)只有乙投中.
弄清事件之间的交并运算以及互斥与对立,用集合的思想来求解事件之间的运算.
【变式训练2】
设A,B,C表示三个随机事件,试用A,B,C的运算表示下列事件:
(1)仅B发生;
(2)A,B,C都不发生;
(3)A,B,C都发生;
(4)A,B,C不都发生;
(5)A,B,C至少有一个发生;
(6)A,B,C恰有一个发生;
(7)A,B,C至多有一个发生.
易
错
辨
析
混淆互斥与对立
【典例】
抛掷一个质地均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6),观察朝上一面的数字.事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数字为4”,判断A与B的关系.
错解
因为事件A与B不可能同时发生,所以事件A与B是对立事件.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:错误的原因在于忽视了互斥事件与对立事件的区别,把互斥事件误认为对立事件.
正解:事件A与B不可能同时发生,但事件A与B的并事件不是必然事件,故A与B是互斥事件,但不是对立事件.
注意互斥事件与对立事件的区别与联系.
随
堂
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习
1.从一批产品中取出三件,设事件A表示“三件产品全不是次品”,B表示“三件产品全是次品”,C表示“三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是( )
A.A与C互斥
B.B与C互斥
C.任两个均互斥
D.任两个均不互斥
解析:由题意知事件C包括三种情况:一是有两件次品,一件正品;二是有一件次品,两件正品;三是三件都是正品,没有次品.由此可知A与B是互斥事件,但不是对立事件;A与C是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件;B与C是互斥事件,也是对立事件.
答案:B
2.设A表示事件“甲产品畅销,乙产品滞销”,则其对立事件
为( )
A.“甲产品滞销,乙产品畅销”
B.“甲、乙两种产品均畅销”
C.“甲产品滞销”
D.“甲产品滞销或乙产品畅销”
答案:D
3.某人在打靶时,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有1次中靶
B.2次都中靶
C.2次都不中靶
D.只有1次中靶
解析:“至少有1次中靶”与“2次都不中靶”不能同时发生,因而是互斥事件.
答案:C
4.试验E:抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数,设事件A表示“向上的点数是1或2”,事件B表示“向上的点数是2或3”,则( )
A.A?B
B.A=B
C.A+B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3
解析:事件A={1,2},B={2,3},则A∩B={2},A∪B={1,2,3},故A+B,即A∪B表示向上的点数为1或2或3,AB,即A∩B表示向上的点数为2.
答案:C
5.在试验“抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,观察骰子掷出的点数”中,设事件A表示“掷出的点数是奇数”,B表示“掷出的点数是偶数”,C表示“掷出的点数是3的倍数”.其中的互斥事件是 ,对立事件是 .?
答案:A与B A与B(共30张PPT)
1.3 随机事件
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.通过实例理解随机事件、必然事件和不可能事件.
2.会用样本点表示随机事件.
3.了解随机事件的含义.
4.培养数学抽象学科素养.
自主预习·新知导学
一、随机事件
【问题思考】
1.在试验E“走到一个红绿灯路口时,观察出现的交通指挥灯”中,出现“红灯”是随机事件吗?如何表示这一事件?
提示:是.这一事件可用集合表示为{红灯}.
2.填空:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件,常用A,B,C等表示.
样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.
空集?也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称?为不可能事件.
二、用样本点表示事件与指出随机事件的含义
【问题思考】
1.用样本点表示事件如何描述比较简洁?
提示:在描述试验的所有可能结果的过程中,如果用文字语言描述,可能比较复杂,我们可以用一些字母或数字来表示某种可能结果.
2.用样本点表示事件的步骤是什么?
提示:(1)写出试验的所有可能结果;(2)用集合把样本空间表示出来;(3)根据事件,找出符合的样本点,组成集合.
3.如何根据给出事件的集合指出随机事件的含义?
提示:(1)写出所给试验的样本空间;(2)观察所给事件样本点的内在规律;(3)根据所给出试验的样本空间及事件的样本点的内在规律,指出随机事件的含义.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)“在常温下焊锡融化”是不可能事件.(
√
)
(2)“掷一枚硬币,出现正面朝上”是必然事件.(
×
)
(3)“一个三角形的三边长分别为1,2,3”是随机事件.(
×
)
(4)同时抛掷两枚硬币,观察正面、反面出现的情况,此试验的可能结果有3种.(
×
)
(5)“导体通电后发热”是必然事件.(
√
)
(6)在试验“抛掷一枚质地均匀的骰子,观察骰子掷出的点数”中,可以用样本空间的子集{2,4,6}表示事件“出现偶数点”.
(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
随机事件、必然事件、不可能事件
【例1】
下列事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?
(1)如果x,y均为实数,那么x·y=y·x;
(2)三张奖券只有一张中奖,任取一张奖券能中奖;
(3)掷一枚骰子出现7点;
(4)某高速公路收费站在3
min内至少经过8辆车;
(5)声音在真空中传播;
(6)地球绕太阳公转.
分析:紧扣必然事件、随机事件、不可能事件的概念进行判断.
解:由实数的运算性质知(1)中等式恒成立,是必然事件;(6)是自然常识,是必然事件,所以(1)(6)为必然事件.
掷一枚骰子不可能出现7点;声音不能在真空中传播,所以(3)(5)为不可能事件.
三张奖券只有一张中奖,任取一张可能中奖也可能不中奖;收费站3
min内经过的车辆可能多于8辆,也可能少于8辆,还可能等于
8辆,因此(2)(4)为随机事件.
1.正确理解并掌握必然事件、不可能事件和随机事件的概念是解答本题的关键.
2.要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的,然后再看它是一定发生,还是不一定发生,还是一定不发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
【变式训练1】
在下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?
(1)如果a,b都是实数,那么a-b>0?a>b;
(2)从分别标有1~6的6张号签中任取一张,得到4号签;
(3)没有水分,种子发芽;
(4)从含有8件正品、2件次品的10件产品中任意抽取3件,3件都是次品.
解:由实数的运算性质可知(1)恒成立,故(1)是必然事件.
从标有数字1~6的6张号签中任取一张,可能取到4号签,也可能取不到4号签,故(2)是随机事件.
没有水分,种子不会发芽;共有2件次品,取出3件都是次品是不可能发生的,故(3)(4)是不可能事件.
探究二
用样本点表示随机事件
【例2】
试验E:在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,观察球的标号.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用样本点表示下列事件:
①事件A表示“从甲盒子中取出3号球”;
②事件B表示“取出的两个球上的标号为相邻整数”;
③事件C表示“取出的两个球上的标号之和能被3整除”.
解:(1)分别用x1,x2表示从甲、乙两个盒子中取出的球的标号,则x1,x2=1,2,3,4,那么试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)①因为事件A表示的随机事件“从甲盒子中取出3号球”等价于x1=3,所以事件A={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}.
②事件B表示的随机事件“取出的两个球上的标号为相邻整数”等价于x1,x2为相邻整数,所以事件B={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}.
③因为2≤x1+x2≤8,所以事件C表示的随机事件“取出的两个球上的标号之和能被3整除”等价于x1+x2=3,6,所以事件C={(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)}.
【变式训练2】
试验E:袋中有红色、白色球各一个,每次任取一个,有放回地摸三次,观察球的颜色.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用样本点表示下列事件:
①事件A表示“三次颜色恰有两次同色”;
②事件B表示“三次颜色全相同”;
③事件C表示“三次摸到的红球多于白球”.
解:(1)每个样本点表示为(x,y,z),其中x,y,z分别为红、白,
则样本空间Ω={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),
(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)}.
(2)①事件A={(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),
(白,红,白),(白,白,红)}.
②事件B={(红,红,红),(白,白,白)}.
③事件C={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红)}.
探究三
随机事件的含义
【例3】
试验E:从1,2,3,4这4个数字中,不放回地取两次,每次取一个,观察取出的数字.
(1)写出试验的样本空间.
(2)指出下列随机事件的含义:
①事件A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)};
②事件B={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}.
解:(1)用(x,y)表示取出的两个数,x,y=1,2,3,4,且x≠y,所以样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3)}.
(2)(含义不唯一)①观察事件A中所含的样本点可知,1和2,2和4,两个数成2倍关系,即取出的两个数,其中一个数是另一个数的2倍,因此事件A的含义为:取出的两个数,其中一个数是另一个数的2倍.
②观察事件B中所含的样本点可知,两个数的差是1或-1,因此事件B的含义为:取出的两个数差的绝对值为1.
【变式训练3】
试验E:甲、乙、丙三人坐在一排三个位置上,观察甲、乙两人的位置情况.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)指出下列随机事件的含义:
①事件A={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)};
②事件B={(1,2),(1,3),(2,3)}.
解:(1)从左到右记这三个位置为1,2,3,i表示“坐的座号是i”,则这个试验的样本空间是Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},其中第1个数表示甲坐的位置号,第2个数表示乙坐的位置号.
(2)①观察事件A中所含的样本点可知,每个样本点中两个数是连续的,即座位是相邻的.因此事件A的含义为:甲、乙相邻.
②观察事件B中所含的样本点可知,每个样本点中第2个数字比第1个大,即乙的座位在甲的右边,但不一定相邻.因此事件B的含义为:甲在乙的左边,但不一定相邻.
随
堂
练
习
1.抛掷一枚质地均匀的骰子,观察掷出的点数,下列不是样本点的是( )
A.向上的点数是奇数
B.向上的点数是3
C.向上的点数是4
D.向上的点数是6
答案:A
2.从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任意抽取3件,则必然事件是( )
A.3件都是正品
B.3件都是次品
C.至少有1件次品
D.至少有1件正品
答案:D
3.在实验E“甲、乙、丙3人各投篮一次,观察投篮结果”中,用1表示投篮命中,0表示投篮未命中,则事件A表示随机事件“恰有两人命中”,用样本点表示是( )
A.{(1,1)}
B.{(1,1,0)}
C.{(1,1,0),(1,0,1)}
D.{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}
解析:事件A表示“恰有两人命中”,所以满足要求的样本点共有3个:甲、乙命中,丙未命中;甲、丙命中,乙未命中;乙、丙命中,甲未命中.
因此,事件A={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.
答案:D
4.在试验E“抛掷两枚均匀的骰子各一次,观察骰子掷出的点数”中,第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差记为X,则事件A={X|X≥5}的含义是( )
A.第一枚6点,第二枚2点
B.第一枚5点,第二枚1点
C.第一枚1点,第二枚6点
D.第一枚6点,第二枚1点
解析:抛掷两枚均匀的骰子各一次,分别用x1,x2表示第一枚骰子和第二枚骰子出现的点数,则x1,x2=1,2,3,4,5,6.由题意知X≥5等价于x1-x2=5,所以x1=6,x2=1,即事件A的含义是第一枚6点,第二枚1点.
答案:D
5.在试验E“从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字组成一个两位数”中,设事件A表示随机事件“这个两位数大于40”,试用样本点表示事件A.
解:因为这个两位数大于40,所以十位数字为4或5,所以事件A={41,42,43,45,51,52,53,54}.(共24张PPT)
1.1 随机现象
1.2 样本空间
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
随
堂
练
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课标定位
素养阐释
1.通过实例了解确定性现象和随机现象.
2.理解样本空间.
3.会用样本空间来描述实验结果.
4.体会数学建模思想,提升数学抽象能力.
自主预习·新知导学
一、随机现象
【问题思考】
1.新生儿的性别,有几种可能结果?哪几种?能否预知呢?
提示:2种.男孩,女孩.不能.
2.填空:在自然界和人类社会中,普遍存在着两种现象.一类是在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.
另一类则是在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.
3.随机现象有哪两个特点?
提示:(1)结果至少有2种;(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
4.做一做:下列现象属于随机现象的是( )
A.太阳从西方落下
B.在标准大气压下,水在100
℃时会沸腾
C.抛掷一枚质地均匀的骰子出现的点数是6
D.任意一个凸多边形的外角和是360°
答案:C
二、样本空间
【问题思考】
1.甲、乙两人参加一个抽奖活动,请写出所有可能的结果.
提示:所有可能结果共有4种:(甲中,乙中),(甲中,乙不中),(甲不中,乙中),(甲不中,乙不中).
2.填空:(1)在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,一般用E来表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.
(2)把一个试验所有可能的结果一一列举出来的方法叫作
列举法.
(3)一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
3.(1)对于随机现象,当在相同的条件下重复进行试验时,试验的结果有什么特点?
(2)样本空间和样本点有什么区别?
提示:(1)尽管不能预知每次试验的具体结果,但这个试验的所有可能结果往往是明确可知的.
(2)样本空间是指试验的所有可能结果组成的集合;样本点是样本空间的元素,试验的每种可能结果.
4.做一做:
观察下列实验,请说出可能出现的试验结果:
(1)连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次,观察正面、反面出现的情况;
(2)抛掷一枚质地均匀的骰子,正面向上出现的点数.
解:(1)试验的所有可能结果共有4种:(正面,正面),(正面,反面),
(反面,正面),(反面,反面).
(2)试验的所有可能结果共有6种:1,2,3,4,5,6.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)在标准大气压下,水在50
℃时不会沸腾,是确定性现象.(
√
)
(2)向上抛一块石头,石头最终会落到地上,是随机现象.(
×
)
(3)在相同条件下,抛掷同一枚硬币,其结果是确定性现象.
(
×
)
(4)在抛掷两枚质地均匀的骰子的试验中,观察骰子掷出的点数,该试验共有36种可能的结果.(
√
)
(5)在抛掷一枚硬币的试验中,虽然不能确定出现的结果是正面还是反面,但试验的所有可能结果只有2种:正面、反面.
(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一
随机现象的判断
【例1】
判断以下现象是否为随机现象:
(1)单位时间内通过某路口的“红旗”牌轿车有8辆;
(2)n边形的内角和为(n-2)·180°;
(3)某同学竞选学生会主席成功;
(4)一名篮球运动员每场比赛都得8分.
分析:判断一个现象是否为随机现象,关键是看这一现象的发生是否具有确定性.若一定发生或一定不发生,则它不是随机现象,反之,则为随机现象.
解:(1)(3)(4)为随机现象,(2)不是随机现象.
随机现象具有这样的特点:
(1)结果至少有2种;
(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
【变式训练1】
下列事件是确定性现象的是( )
A.明天不下雨
B.水从高处流向低处
C.对任意x∈R,有x+1>2x
D.抛掷一枚硬币,正面向上
答案:B
探究二
样本空间
【例2】
某人做试验:从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取小球两次,每次取一个,构成有序数对(x,y),x为第一次取到的小球上的数字,y为第二次取到的小球上的数字.
(1)这个试验所有可能结果共有多少种?
(2)写出这个试验的样本空间.
解:(1)当x=1时,有(1,2),(1,3),(1,4)3种可能结果;当x=2时,有(2,1),(2,3),(2,4)3种可能结果;当x=3时,有(3,1),(3,2),(3,4)3种可能结果;当x=4时,有(4,1),(4,2),(4,3)3种可能结果,所以这个试验所有的可能结果共有3×4=12(种).
(2)Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3)}.
把样本点看作元素,由样本点组成的集合就是样本空间.
【变式训练2】
写出下列试验的所有可能结果:
(1)从装有红、白、黑小球各1个的布袋中任取2个小球;
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数作差.
解:(1)所有可能结果有3种:(红球,白球),(红球,黑球),(白球,黑球).
(2)可能结果:1-3=-2,3-1=2,
1-6=-5,6-1=5,
1-10=-9,10-1=9,
3-6=-3,6-3=3,
3-10=-7,10-3=7,
6-10=-4,10-6=4.
即试验的所有可能结果共有12种:-2,2,-5,5,-9,9,-3,3,-7,7,-4,4.
随
堂
练
习
1.下列现象为随机现象的是 .(填序号)?
①某人买彩票中奖;
②某射手射击一次命中;
③从一副牌中抽到红桃A;
④走到一个红绿灯路口时,正好是红灯;
⑤电线通电时发热;
⑥从500件产品中抽出3件全是正品.
答案:①②③④⑥
2.写出下列试验的所有可能结果:
(1)甲、乙两队进行一场足球比赛,比赛结果(可以是平局);
(2)小明练习投篮10次,投篮命中的次数.
解:(1)比赛的所有可能结果有3种:甲赢、乙赢、平局.
(2)投篮命中次数的所有可能结果共有11种:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
3.写出下列试验的样本空间:
(1)从含有5件次品的100件产品中任取3件,记录其中的次品数;
(2)过马路交叉口时,观察遇上的交通指挥灯的颜色.
解:(1)因为任取3件,次品数可能有0,1,2,3件,
所以试验的样本空间Ω={0,1,2,3}.
(2)因为交通指挥灯的颜色只有红色、绿色和黄色,
所以试验的样本空间Ω={红色,绿色,黄色}.
