(共35张PPT)
§3 数学建模活动的主要过程
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
课标定位
素养阐释
1.掌握数学建模活动实行的主要过程.
2.了解数学建模的社会需要.
3.体会数学中建模的思想,提升数学建模的能力.
自主预习·新知导学
一、数学建模活动
【问题思考】
1.中学的数学建模活动是什么?
提示:中学的“数学建模活动”是运用模型思想解决实际问题的综合实践活动,以课题研究的形式开展,可以小组合作,也可以独立完成.
2.课题研究的过程包括什么?
提示:课题研究的过程包括“选题、开题、做题、结题”四个环节.
二、建模选题
【问题思考】
1.“建模选题”是什么?
提示:“选题”就是选定研究的问题.
2.现实世界的问题很多,有意义的问题也很多,在你发现的诸多问题中,怎样选题?
提示:有研究价值的和那些我们有能力研究并解决的.
3.现实世界的问题分为哪几大类?
提示:现实世界的问题大致有三类:自然方面的问题(如大海的潮汐现象、放射物的衰变、蜂巢的结构),社会方面的问题(如养老院的合理布局、传染病的传播机理),生活方面的问题(如乘车路线的规划,营养餐的配置).
4.建模选题的来源有哪些?
提示:来源之一:阅读已有的研究论文,用同样的方法研究类似的问题.
来源之二:研究已有的论文,换个视角,增加问题的复杂性,进一步研究相关的问题.
来源之三:用数学的眼光观察世界,发现研究新的问题.
三、建模的开题
【问题思考】
1.建模的开题做的工作是什么?
提示:(1)明确研究的问题,说明问题研究的价值,估计可能的结果;
(2)选择研究方法,确定人员分工,形成研究的实施方案;
(3)完成开题报告.
2.在开题讨论会上,重点做哪两件事?
提示:第一,提交开题报告并在会上介绍,重点讲述:研究的问题,选择此问题的原因及意义,预期研究成果,研究的方法与步骤,可能遇到的困难和对策.
第二,参会人员对开题报告进行讨论,中肯地提出意见和建议,共同完善研究设计.
四、建模做题
【问题思考】
1.建模做题是什么?
提示:“做题”是研究者(研究小组),建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动.
2.建模做题应注意哪些问题?
提示:建模做题是一项小课题研究,往往是团队式的研究,要发挥团队成员的各自特长,互相支持、互相配合.由于这项实践活动是学习性的研究,每一个成员有必要参与所有任务的研究,除了熟知并完成自己承担的任务之外,还要清楚完成其他任务的思路、方法及解决过程.做完题,每一个人都能完整复述和理解研究报告的主要内容.
3.在“做题”的实践活动中,特别需要关注什么问题?
提示:(1)建立恰当的数学模型.
(2)获取客观真实的数据.
五、建模结题
【问题思考】
1.建模结题是什么?
提示:“结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程.一般来讲,结题会是结题的基本形式.
2.参加结题会要注意哪些事项?
提示:(1)报告人(或报告团队)要预先整理好显示成果的数据、软件、模型,文字报告,照片、视频或实物等,准备好报告提纲、幻灯片(PPT).报告都是限时的,要突出重点、特点、亮点和创新点.
(2)报告人(或报告团体)以积极、认真的态度投入答辩,以平和的心情接受大家的质询和评价.
(3)参加结题会的每一个人都要仔细聆听报告人的演讲,欣赏他人的建模成果,审视研究过程,评判研究结论,捕捉要点,理出质疑点,深入参与讨论.
结题会上的各方发言,要紧紧围绕数学建模的四个环节展开.
合作探究·释疑解惑
探究
建模解题的基本思想
数学建模作为一种解题方法,有其特有的解题思想.
1.关系分析法:即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系来建立问题的数学模型的方法.
【例1】
(消防损失最小问题)森林失火了,火势正以每分100
m2的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消防队员前去,在失火后5
min到达现场救火,已知消防队员在现场每人每分可灭火50
m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分125元,另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而每烧毁1
m2森林的损失费为60元,问应该派多少名消防队员前去救火,才能使得总损失最小.
分析:建立数学模型:
总损失费=森林损失费+灭火材料费+车辆器械费,
森林损失费=每平方米损失费×面积
=每平方米损失费×每分平方米×时间
=60×100×(5+t),
灭火材料费=每单位时间人均费用×人数×时间
=125×x×t,
车辆器械费=人均车辆器械费×人数=100×x,
灭火面积=新增过火面积+原有过火面积
即50×x×t=100t+500.
解:设需要x名消防员,t
min救火时间,
由题意可知50×x×t=100t+500,
由条件列出森林损失费与救火费用的总损失费用的目标函数为y=60×100×(5+t)+125xt+100x.
由不等式的性质,得y≥36
450,
当x=27时,总损失最小.
答:应该派27名消防员前去救火,才能使总损失最少,最少损失为36
450元.
2.列表分析法:即通过列表的方式探索问题的数学模型方法.
【例2】
(服装的降价幅度问题)某种服装原来以高于成本价的40%出售,根据市场调查,原价每降低1个百分点,月销售件数将增加10个百分点,为使月毛利润(月毛利润=月销售总额-月成本总额)比原来增加幅度不小于30%,问降价至多多少个百分点?
分析:从整体上看,这是一个服装销售过程中计算毛利润问题,涉及服装的成本价、原价、月销售件数、月销售总额、月成本总额、降价等概念,从局部来看,关键是处理好上述各量之间的关系,在选准基准量后,应分析降价前后的服装销售毛利润.
解:设原价为a,销售件数为b,价格降低的百分点为t,
,列表分析如下:
3.图象分析法:即通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法.
【例3】
(养鸡业规模最大问题)甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如下:
甲
乙
甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡;乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.
请您根据提供的信息说明:
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;
(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年扩大了还是缩小了?(说明理由)
(3)哪一年的规模最大?(说明理由)
分析:①总只数=平均只数×养鸡场个数.
②观察图象得出平均只数成等差数列上升,养鸡场个数成等差数列下降.
解:(1)由题图可知第2年养鸡场的个数是26,那么全县出产鸡的总只数S=26×1.2=31.2(万只).
(2)第1年总共出产鸡的只数S1=30×1=30(万只),第6年总共出产鸡的只数S6=2×10=20(万只),
得S1-S6=30-20=10(万只),
这个县第6年出产鸡的总只数比第1年少了10万只,说明养鸡业规模缩小了.
(3)每个养鸡场出产鸡的只数满足数列:
an=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8(1≤n≤6,n∈N+);
养鸡场个数满足数列:bn=30-4(n-1)=-4n+34(1≤n≤6,n∈N+),
全县每年出产鸡的总只数满足
Sn=an·bn=-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6,n∈N+),
当n=2时,S2最大,即第2年养鸡业规模最大,且S2=31.2(万只).
4.基于对中学数学应用问题的分析,通常建立如下一些数学模型来解应用问题:
建立方程(函数)或不等式模型,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用数学知识和方法去解决问题.
【例4】
(水费问题)我国是人均水资源比较贫乏的国家之一,各地采取价格调控手段来达到节约用水的目的.某市用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限量a
m3时,则只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元;若每月用水量超过最低限量a
m3时,则除了付同上的基本费和损耗费外,超过部分每立方米付b元的超额费,已知每户每月定额损耗费不超过5元.
该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表:
根据上面表格中的数据,求a,b,c.
解:设每月用水量为x
m3,支付费用为y元,则
y=8+c(0≤c≤5),
①
y=(x-a)·b+8+c(x≥a).
②
由题意知0≤c≤5,所以8+c≤13,由表知2月、3月的费用均大于13元,故用水量15
m3,22
m3均大于最低限量a
m3,
将x2=15,x3=22,y2=19,y3=33分别代入②式,得b=2,
所以2a=c+19.
③
再分析1月的用水量是否超过最低限量,不妨设a<9,将x1=9,y1=9代入②式得9=2(9-a)+8+c,2a=c+17,
与③式矛盾,所以a≥9,
故1月的付款方式应选①式,则8+c=9,解得c=1.
因此a=10,b=2,c=1.(共25张PPT)
§2 数学建模的主要步骤
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
课标定位
素养阐释
1.了解如何提出数学建模问题.
2.掌握数学建模的一般步骤.
3.通过掌握建模步骤,体会数学建模的思想.
自主预习·新知导学
一、数学建模问题
【问题思考】
1.如何提出数学建模问题?
提示:在实际生活中,我们会遇到各种问题,当我们对这些问题进行思考时,我们可以提出数学建模所需要的问题.数学建模问题的提出来源于生活中存在的实际问题.
2.数学建模中提出的问题的依据有哪些?
提示:具有实用性,具有数据采集可操作性,问题本身的需求性.
二、建立数学模型
【问题思考】
1.建立数学模型应注意哪些问题?
提示:首先为了排除众多的不同和不确定性干扰因素,建模有一个重要环节——假设.其次,建模问题需要大量的数据,需要收集问题涉及的数据.最后考虑数学建模所涉及的数量有哪些.
2.为什么要检验结果?
提示:结合数学建模进行实地调查,对结论进行检验,若没有明显误差,就可以使用这个模型,否则再修改假设,重新建模.
3.数学建模核心素养是什么?
提示:数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,确立参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.
4.数学建模的一般步骤是什么?
提示:(1)提出问题
实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的,原始的问题往往是一个希望得到优化的期待,或是某个不良现象的消失.这就需要透过现象,明确地提出问题.
(2)建立模型
在一定的知识积累的基础上,预测建立的数学模型,抓住主要因素,摒弃次要因素,做出适当简化和假设.
(3)求解模型
这个过程是求解数学问题.值得注意的是,如果目标是求值,一般不容易求得精确值,这就要根据需要求近似解.
(4)检验结果
用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际.如果不符合实际情况,就要重新建模.
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
探究一
传送带效率问题的数学模型
问题情境:在机械化生产车间里,排列整齐的工作台旁工人们紧张地生产同一种产品,工作台上放一条传送带在运转,带上设置若干钩子,工人将产品挂在经过他上方的钩子上带走.当生产进入稳定状态后,每名工人生产一件产品所需时间是不变的,而他挂产品的时刻是随机的.衡量这种传送系统的效率可以看他能否及时把工人生产的产品带走.很明显,在工人人数不变的情况下传送带速度越快,带上钩子数越多,效率越高.
探究二
问题重述
构造衡量传送系统效率的指标,并在简化假设下建立模型描述这个指标与工人人数、钩子数量等参数的关系.
探究三
模型假设与符号说明
1.有n名工人,其生产是独立的,生产周期是常数,有n个工作台均匀排列.
2.生产已进入稳态,即每名工人生产出一件产品的时刻在一个周期内是等可能性的.
3.在一周期内有m个钩子通过每一工作台上方,钩子均匀排列,到达第一个工作台上方的钩子都是空的.
4.每名工人在任何时刻都能触到一只钩子,且只能触到一只,在他生产出一件产品的瞬间,如果他能触到的钩子是空的,则可将产品挂上带走;如果非空,则他只能将产品放下,放下的产品就永远退出这个传送系统.
4.每名工人在任何时刻都能触到一只钩子,且只能触到一只,在他生产出一件产品的瞬间,如果他能触到的钩子是空的,则可将产品挂上带走;如果非空,则他只能将产品放下,放下的产品就永远退出这个传送系统.
探究四
模型建立及求解
将传送系统效率定义为一周期内带走的产品数与生产的全部产品数之比,记作D,设带走的产品数为s,生产的全部产品数为n,则
,需求出s.
如果从工人的角度考虑,分析每名工人能将自己的产品挂上钩子的概率,这与工人所在的位置有关(如第1名工人一定可挂上),这样使问题复杂化.我们从钩子角度考虑,在稳定状态下钩子没有次序,处于同等地位.若能对一周期内的m只钩子求出每只钩子非空的概率p,则s=mp.
当n=10,m=40时,上式给出的结果为D=87.5%,而精确表达式①计算得D≈89.5%.
提高传送系统效率,即增大D减小E,在工人数n一定的情况下,
E与钩子数m成反比,即m增大一倍,E减少50%.
探究五
模型优化及改进
问题:如何改进模型使“效率E”(可理解为相反意义的效率)降低?
解决方案:通过增加钩子数来使效率降低的方法.
在原有的每一个钩子的位置,放置两个钩子构成双钩组,即有2m个钩子,那么传送系统的效率如何呢?与只是增加钩子数目至2m相比,哪个效率更高呢?
易知,在双钩组的情况下,每组钩组在传送系统结束后有三种情况:
1.空钩组
2.满钩组
3.不满钩组
而如果只是增加钩子数目至2m,那么D=93.75%,
所以这种双钩组改进方案更加优越.
探究六
模型评价及推广
这个模型是在理想情况下得到的,其中一些假设,如生产周期不变,挂不上钩子的产品退出系统等是不现实的,但模型的意义在于,一方面利用基本合理的假设将问题简化到能够建模的程度,并用简单的方法得到结果;另一方面所得到的简化结果具有非常简单的意义.(共17张PPT)
§1 走近数学建模
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
课标定位
素养阐释
1.了解“七桥问题”构建数学模型思想.
2.通过实例理解数学建模.
3.体会数学建模的核心素养,提升对数学学习的兴趣.
自主预习·新知导学
一、七桥问题
【问题思考】
1.什么是哥尼斯堡七桥问题?
提示:哥尼斯堡城有座小岛,岛区与其他城区有七座桥相连.如何才能走过这七座桥,而每座桥都只能经过一次,最后又回到原来的出发点?
2.欧拉如何将七桥问题进行数学表述?
提示:岛的形状、大小,以及桥的长短、宽窄并不影响结果,重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系.不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点,连接陆地的7座桥看作7条线,就得到一个图形,实际问题中陆地、河流和桥梁的景观就不见了,七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题.这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型.
二、一笔画定理
【问题思考】
1.什么是“经过点”?
提示:只要从一条线进入这个点,就要从另一条线离开这个点.有进无出,只能是终点;有出无进,只能是起点.
2.什么是偶点?什么是奇点?
提示:若以某一点为端点的线有偶数条,则称该点为偶点;否则称为奇点.显然“经过点”是偶点.如果起点和终点是同一个点,那么这个点也是偶点.
3.一笔画定理是什么?
提示:一个由点和线组成的图形能一笔画完,必须符合以下两个条件:
(1)图形是连在一起的,即是连通图形;
(2)图形中的奇点个数为0或2.
三、数学建模
【问题思考】
1.为什么要数学建模?
提示:实际问题一直是数学发展的重要源泉,解决实际问题也一直是数学价值的重要体现.我们必须把实际问题进行数学建模,才能用数学的方法来解决实际问题.
2.什么是数学建模?
提示:对实际问题进行抽象概括,用数学的语言(模型)把实际问题转化为数学问题,又用数学的思想方法分析、解决了这个数学问题,这个过程就是数学建模.
3.七桥问题的意义是什么?
提示:在七桥问题中,四个点全是奇点,不能一笔画,即不可能一次无重复地走完七座桥.1735年,欧拉把研究论文提交到圣彼得堡科学院,1741年发表在《圣彼得堡科学院通讯》上,开创了图论和拓扑学两门新的学科.
合作探究·释疑解惑
探究
数学建模案例分析
问题情境:某学校上午下第四节课后,参加数学建模的同学开始分组统计,得到以下数据:刚开始有s(s∈N+)名学生进入食堂打饭,食堂开始打饭后,仍有学生进来排队打饭.假设学生的数量按固定的速度增加,打饭人员的速度固定不变.若开放5个打饭窗口,则需120
min才能保证所有排好队的学生都打好饭;若开放10个打饭窗口,则需50
min便可保证所有排好队的学生都打好饭;如果要在30
min内让所有排好队的学生都打好饭,从而使少部分后来到食堂打饭的学生能随时到随时打饭,至少要同时开放几个打饭窗口?
分析问题:此情境是一个“排队论”中的问题,涉及的数学量有:刚开始有学生s名,学生数量增加的速度固定,打饭的速度固定,开5个打饭窗口打饭需要时间120
min,开10个窗口打饭需要时间50
min,开若干个打饭窗口用的时间在30
min以内.在这些量中,究竟该从哪个具体的量入手解决问题,如何正确地用这些已知量解决问题?我们可以进行如下分析:本题涉及的工作是打饭方式,有三种:一是开5个打饭窗口,二是开10个打饭窗口,三是开n∈N+个打饭窗口.而每种打饭方式涉及以下这些量:学生原有人数,学生增加速度,学生增加人数,一个打饭
窗口的打饭速度,需要打饭学生的人数,打饭的时间.这就是一个由来源于学生日常生活中的问题情境,得到的一个简单的数学模型.只要我们师生都保持一颗好奇心,在日常生活中还有很多素材可以用来开展数学建模活动.
建立模型:对上述问题我们可以提出如下解决方案:设开n个打饭窗口可达到目的,每分钟增加x名学生,一个打饭窗口在一分钟内可给y名学生打饭,我们可把整体分析的结果用表格直观地表示如下:
得出结论(并检验结果的正确性):
解得n≥,由于n取最小正整数,故n=16.
即至少需要开16个打饭窗口.
