(共48张PPT)
§2 实际问题中的函数模型
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力,即根据实际问题进行信息综合,列出函数解析式.
2.会建立函数模型解决实际问题.
3.通过学习函数基本模型的应用,体会实践与理论的关系,初步渗透理论与实践的辩证关系.
4.体会函数思想在解决现实问题中的应用.
自主预习·新知导学
一、实际问题的函数刻画
【问题思考】
1.做一做:“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为乌龟和兔子行驶的时间,则与故事情节相吻合的是( )
解析:乌龟距离起点的距离始终在增加,符合一次函数的增长模型,兔子距离起点的距离先增加,再停止增加一段时间后又更快的增加,总之,乌龟与兔子行进的路程是一样的,乌龟用的时间少,兔子用的时间长,综合以上分析,选B.
答案:B
2.填空:在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,当面对的实际问题中存在几个变量,并且它们之间具有依赖关系时,我们往往用函数对其进行刻画.函数刻画的方法可以使用图象,但常见的还是使用解析式.
二、用函数模型解决实际问题
【问题思考】
1.填空:数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系,用形式化的数学语言,抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构.其中,函数模型是应用最广泛的数学模型之一.实际问题一旦被认定是函数关系,就可以通过研究这个函数的性质,使问题得到解决.
2.解决实际问题的基本过程是什么?
提示:(1)分析问题,(2)建立函数模型,(3)解决函数问题,(4)回到实际问题.
3.做一做:某物体一天内的温度T是时间t的函数,且满足T(t)=t3-3t+60,时间单位是h,温度单位为℃,t=0时表示中午12:00,则上午8:00时的温度为 ℃.?
解析:由于t=0时表示中午12:00,则上午8:00时t=-4,代入函数T(t)=t3-3t+60中,可得T(-4)=8.
答案:8
三、常见的函数模型
【问题思考】
1.常见的几种函数模型
2.做一做:某水果市场规定,批发苹果不少于100
kg时,批发价为每千克2.5元.小王携带现金3
000元到市场采购苹果,并以批发价买进,如果购买的苹果为x
kg,小王付款后剩余现金y元,那么y与x之间的函数关系为 .?
答案:y=3
000-2.5x(100≤x≤1
200)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)商场将某种商品按进货价提高40%,然后再按八折优惠销售,结果每件商品比进货价多赚了270元,那么这种商品的进货价是每件2
000元.(
×
)
(2)某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,那么每天可售出20件,如果售出件数是定价的一次函数,那么这个函数解析式为
.(
√
)
(3)某种放射性元素的原子数y随时间x的变化规律是
y=1
024e-5x,则该函数是增函数.(
×
)
(4)已测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个函数模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则选用甲作为函数模型较好.(
√
)
(5)有关平均增长率的实际问题一定是指数函数模型.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
利用已知函数模型解决实际问题
(1)求p%的值.
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(3)该森林今后最多还能砍伐多少年?
用函数模型解决实际问题的思想
【变式训练1】
我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与声音的强度有关系.声音的强度用I(W/m2)表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平LI表示,它们满足以下关系:
(单位为分贝,LI≥0,其中I0=1×10-12
W/m2).回答以下问题:
(1)树叶沙沙声的强度是1×10-12
W/m2,耳语的强度是1×10-10
W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8
W/m2,试分别求出它们的强度水平;
(2)某一新建的小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下,试求该小区内公共场所的声音强度I的范围.
探究二
分段函数模型
【例2】
如图所示,等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2,BC=1,∠BAD=45°,直线MN⊥AD交AD于点M,交折线ABCD于点N,记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数,并写出函数的定义域和值域.
解:如图,过点B,C分别作AD的垂线,垂足分别为点H和G,
分段函数模型是日常生活中常见的函数模型.对于分段函数,一要注意规范书写格式;二要注意各段的定义域的表示方法,对于中间的各个分点,一般是“一边闭,一边开”,以保证在各分点的“不重不漏”.
【变式训练2】
某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的解析式.
(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1
000个,利润又是多少元?
(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)
(3)设销售商一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,
当x=500时,L=6
000;
当x=1
000时,L=11
000.
因此,当销售商一次订购500个零件时,
该厂获得的利润是6
000元;如果订购1
000个,利润是11
000元.
探究三
函数模型的选择
【例3】
在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
分析:把各组数据代入,逐个检验即可选出最接近的一个.
解析:对于选项A,各组数据都很接近,
对于选项B,当x=5.15时,y=8.3,与实际数据相差较大,
当x=6.126时,y=10.252,与实际数据相差较大,故选项B不合适;
对于选项C,当x=4时,y=2,与实际数据相差较大,
故选项C不合适;
答案:A
【变式训练3】
通过市场调查,得到某商品的价格在近四个月的市场平均价f(x)(单位:元/kg)与时间x(单位:月)的数据如下:
现有三种函数模型:f(x)=bx+a,f(x)=ax2+bx+c,
,找出你认为最适合的函数模型,并估计12月此商品市场平均价为( )元/kg.
A.28
B.25
C.23
D.21
解析:因为f(x)的值随x值的增大先增后减,
所以选f(x)=ax2+bx+c最合适.
将(8,28),(10,36),(11,34)分别代入f(x)=ax2+bx+c,
可求得a=-2,b=40,c=-164,
则f(x)=-2x2+40x-164.
当x=12时,f(x)=28.
答案:A
易
错
辨
析
因题意理解不正确致误
【典例】
WAP手机上网每月使用量在500
min以下(包括500
min),按30元计费;超过500
min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过短,即在1
min以下,则不计费,在1
min以上(包括1
min)60
min以下按0.5元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.
(1)写出上网时间x
min与所付费用y元之间的函数关系式.
(2)12月小王WAP上网使用量为20
h,要付多少钱?
(3)小王10月付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多长?
(2)当x=20×60=1
200(min)时,x>500,应付y=0.15×1
200=180(元).
(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500
min,由0.15x=90可得x=600,即上网时间为600
min.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:以上错解中主要对“超过500
min的部分按0.15元/min计费”中的“超过部分”理解出错,产生了与事实相违的结论,如第(2)小题上了1
200
min的网,要180元,是30元包月用500
min的6倍,而时间上才2倍多,与事实不符;又如第(3)小题,用了90元,是30元的3倍,而上网时间才多了100
min,与事实不符.
正解:(1)设上网时间为x
min,由已知条件知所付费用y关于x的函数关系式为
(2)当x=20×60=1
200(min)时,x>500,
应付y=30+0.15×(1
200-500)=135(元).
(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500
min,
由30+0.15(x-500)=90可得x=900,即上网时间为900
min.
1.认真读题、审题,弄清题意,明确题目中的数量关系.
2.充分借助图象、表格信息确定解析式,对于分段函数图象要特别注意虚实点,写准定义域,同时要注意它是一个函数.
随
堂
练
习
1.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( )
A.减少7.84%
B.增加7.84%
C.减少9.5%
D.不增不减
解析:设某商品价格为a,依题意得a(1+0.2)2·(1-0.2)2=
a×1.22×0.82=0.921
6a,所以四年后的价格与原来的价格比较(0.921
6-1)a=-0.078
4a,即减少7.84%.
答案:A
2.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的( )
A.y=log2x
B.y=2x
C.y=x2
D.y=2x
解析:逐个检验可得答案为B.
答案:B
3.某化工厂在1月生产某种产品200
t,3月生产y
t,则y与月平均增长率x之间的关系是( )
A.y=200x
B.y=200x2
C.y=200(1+x)
D.y=200(1+x)2
解析:1月为200
t,2月为200x+200=[200(x+1)]t,
3月为200(x+1)x+200(x+1)=200(x+1)(x+1)=[200(x+1)2]t,
即y=200(x+1)2.
答案:D
答案:36.72
5.环境污染已经严重危害人们的健康,某工厂因排污比较严重,决定着手整治,一个月时污染度为60,整治后前四个月的污染度如下表:
污染度为0后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模型表示从整治后第一个月开始工厂的污染情况:
f(x)=20|x-4|(x≥1),
,h(x)=30|log2x-2|(x≥1),其中x表示月数,f(x),g(x),h(x)分别表示污染度.则选用哪个函数模型比较合理?
解:用函数h(x)比较合理.
理由:因为f(2)=40,g(2)≈26.7,h(2)=30,f(3)=20,
g(3)≈6.7,h(3)≈12.5,
所以用函数模型h(x),误差相对较小.
6.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是一组邻边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架的总面积为8
m2.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)写出用料l与x之间的函数关系式.(共35张PPT)
1.2 利用二分法求方程的近似解
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
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素养阐释
1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,了解二分法是求方程近似解的常用方法.
2.能借助计算器用二分法求方程的近似解,让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用.
3.从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用;体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一.
自主预习·新知导学
一、二分法的概念
【问题思考】
1.(1)我们已经知道函数f(x)=ln
x+2x-6的零点在区间(2,3)内,如何缩小零点所在区间(2,3)的范围?
(2)如何进一步地缩小零点所在的区间?
(3)若给定精确度0.3,如何选取近似值?
提示:(1)①取区间(2,3)的中点2.5.②计算f(2.5)的值,用计算器算得f(2.5)≈-0.084.因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.
(2)再取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算器算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以零点在区间(2.5,2.75)内.这样一来,零点所在的范围越来越小了.
(3)当精确度为0.3时,由于|2.75-2.5|=0.25<0.3,所以可以将x=2.5作为函数f(x)=ln
x+2x-6的零点近似值,当然区间[2.5,2.75]内的任意一个值都是满足精确度的近似值,常取区间的端点作为零点的近似值.
2.填空:对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,
f(a)·f(b)<0
,则每次取区间的中点,将区间
一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
二、利用二分法求方程的近似解的过程
【问题思考】
1.所有函数的零点都可以用二分法求出吗?
提示:不是,例如函数y=(x+1)2的零点就无法用二分法求出.
2.当|a-b|<ε时,为什么说区间[a,b]内的任意实数x都可以作为零点x0的近似值?
提示:因为|x-x0|≤|a-b|<ε,所以以x作为零点x0的近似值满足精确度的要求.
3.利用二分法求方程近似解的过程步骤
4.做一做:用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )
A.0.9
B.0.7
C.0.5
D.0.4
解析:由题意可知,函数的零点在区间(0.68,0.72)内,又|0.72-0.68|=0.04<0.1,故区间[0.68,0.72]内的任一个值都满足题意,结合选项知,只有选项B符合,故选B.
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)用二分法所求出的方程的解都是近似解.(
×
)
(2)函数f(x)=|x|可以用二分法求零点.(
×
)
(3)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一
二分法的概念
【例1】
(1)下列函数,不能用二分法求零点的是( )
?
(2)用二分法求方程2x+3x-7=0在区间(1,3)内的解,取区间的中点为x0=2,那么下一个有解的区间是 .?
解析:(1)观察题中图象与x轴的交点,若交点附近的函数图象连续,且在交点两侧的函数值符号相异,则可用二分法求零点,故B不能用二分法求零点.
(2)设f(x)=2x+3x-7,f(1)=2+3-7<0,f(3)=10>0,f(2)=3>0,
∴f(x)零点所在的区间为(1,2),
∴方程2x+3x-7=0有解的区间是(1,2).
答案:(1)B (2)(1,2)
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件,才可用二分法求函数零点.
【变式训练】
已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为( )
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
解析:图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左、右函数值异号的有3个零点,所以可以用二分法求解的零点个数为3.
答案:D
探究二
用二分法求方程的近似解或函数零点的近似值
取区间(6,7)的中点x1=6.5,
算得f(6.5)≈-0.200,
因为f(6.5)·f(7)<0,所以x0∈(6.5,7).
再取区间(6.5,7)的中点x2=6.75,
算得f(6.75)≈-0.005,
因为f(6.75)·f(7)<0,
所以x0∈(6.75,7).
再取区间(6.75,7)的中点x3=6.875,
算得f(6.875)≈0.094,
因为f(6.75)·f(6.875)<0,
所以x0∈(6.75,6.875).
再取区间(6.75,6.875)的中点x4=6.812
5,
算得f(6.812
5)≈0.044,
因为f(6.812
5)·f(6.75)<0,
所以x0∈(6.75,6.812
5).
因为|6.75-6.812
5|=0.062
5<0.1,
应用二分法需注意的问题
(1)精确度:要看清题目要求的精确度,它决定着二分法步骤的结束.
(2)初始区间:初始区间的选定一般在两个整数间,在精确度给定的情况下,不同的初始区间结果是相同的.
(3)方程解的选取:当区间长度符合“精确度ε”的要求后正确选取方程的解.
当区间[an,bn]的长度|an-bn|<ε时,这个近似值可以是区间[an,bn]内任意一个数.
易
错
辨
析
因对二分法的原理理解不到位致误
答案
B
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
答案:D
随
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练
习
1.观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是( )
解析:由题中图象可知A中零点左右两侧的函数值符号不同,故可用二分法求零点.
答案:A
2.用二分法求函数f(x)在区间(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是( )
A.|b-a|<0.1
B.|b-a|<0.001
C.|b-a|>0.001
D.|b-a|=0.001
解析:据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度ε时,便可结束计算.
答案:B
3.函数y=f(x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
那么方程f(x)=0的一个近似解(精确度为0.05)为( )
A.1.275
B.1.375
C.1.415
D.1.5
解析:f(1.438)=0.165>0,
f(1.406
5)=-0.052<0,
且|1.438-1.406
5|=0.031
5<0.05,
故方程f(x)=0满足精确度为0.05的一个近似解在区间
[1.406
5,1.438]内.
结合四个选项知,只有1.415符合条件,故选C.
答案:C
4.若函数f(x)在定义域{x|x∈R,且x≠0}上是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,f(2)=0,则函数f(x)的零点有 个.?
解析:因为f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,所以f(-2)=f(2)=0.
因为f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递增.
所以f(x)在区间(0,+∞)内仅有x=2一个零点,在区间(-∞,0)内仅有x=-2一个零点.
故函数f(x)有两个零点.
答案:2
5.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到下表:
由表中的数据,求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解.(精确度为0.1)
解:因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间[1.25,1.375]的长度为0.125>0.1,因此需要取区间(1.25,1.375)的中点1.312
5,而区间(1.25,1.312
5)和(1.312
5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又两个区间的长度都为0.062
5<0.1,因此1.312
5是一个近似解.(共38张PPT)
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
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思
想
方
法
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素养阐释
1.了解函数零点的概念,领会方程的根与函数零点之间的关系.
2.掌握函数零点存在定理.
3.能结合图象求解零点问题.
4.初步理解函数与方程思想.
5.感受数学抽象的不同层次,感受直观想象的作用,提高数形结合的意识.
自主预习·新知导学
一、函数的零点
【问题思考】
1.函数的零点是点吗?
提示:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点,因此函数的零点不是点,是方程f(x)=0的解,即函数的零点是一个实数.
2.结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数),思考是否所有的函数都有零点?并说明理由.
提示:不一定.因为函数的零点就是方程的根,并不是所有的方程都有根,所以说不是所有的函数都有零点.
如:指数函数,其图象都在x轴的上方,与x轴没有交点,故指数函数没有零点,对数函数有唯一一个零点.
3.填一填:使得
f(x0)=0
的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
4.做一做:若4是函数f(x)=ax2-2log2x的零点,则实数a的值等于( )
答案:D
二、零点存在定理
【问题思考】
1.若f(a)·f(b)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内一定没有零点吗?
提示:不一定.如y=x2-1在区间(-2,2)上有两个零点,但f(2)·f(-2)
>0.
2.结合教材,你认为求函数零点个数的常用方法有哪些?
提示:方法1:利用方程的根,转化为解方程,方程有几个根相对应的函数就有几个零点.
方法2:利用函数y=f(x)的图象与x轴交点的个数,从而判定零点的个数.
方法3:结合函数的单调性.若函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,利用f(a)·f(b)<0,结合单调性可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数.
方法4:转化成两个函数图象的交点问题,两个函数图象有几个交点,就说明有几个零点.
3.填一填:
零点存在定理:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条
连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即
f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在开区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
4.做一做:已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A.(-∞,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,+∞)
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)零点即函数y=f(x)的图象与x轴的交点.(
×
)
(2)若方程f(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,则函数y=f(x)有两个零点.(
√
)
(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)·f(b)<0.
(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
判断函数零点所在区间
【例1】
(1)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
(2)函数
的零点所在的大致区间是( )
A.(3,4)
B.(2,e)
C.(1,2)
D.(0,1)
解析:(1)因为f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,
所以f(0)·f(1)<0.
由零点存在定理,f(x)的零点所在的一个区间为(0,1).
(2)由题意可得f(x)的定义域为(0,+∞),可知f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.f(1)=ln(1+1)-2=ln
2-2<0,f(2)=ln(2+1)-1=ln
3-1>0,
可得f(1)·f(2)<0,由零点存在定理,可知f(x)的零点所在大致区间是(1,2).
答案:(1)C (2)C
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入:将区间端点值代入函数,求出函数的值.
(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.
(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数图象连续,则在该区间内至少有一个零点.
【变式训练1】
函数f(x)=x+lg
x-3的零点所在的大致区间是( )
答案:C
探究二
求函数的零点
【例2】
判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)f(x)=1-log2(x+3);
(3)f(x)=2x-1-3;
解:(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0,
得x=-1,或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.
(2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,
所以函数的零点是-1.
(3)解方程f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.
求函数零点的两种方法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根;
(2)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
【变式训练2】
若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3,求实数a的值,并求函数f(x)其余的零点.
解:由题意知f(-3)=0,
即(-3)2-3-a=0,得a=6.
所以f(x)=x2+x-6.
解方程x2+x-6=0,得x=-3,或x=2.
所以函数f(x)还有一个零点,是2.
探究三
判断函数零点的个数
【例3】
判断函数f(x)=ln
x+x2-3零点的个数.
解法1:函数对应的方程为ln
x+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln
x与y=3-x2的图象交点的个数.
在同一平面直角坐标系中,
画出函数y=ln
x和函数y=3-x2的图象(如图).?
由图象知,函数y=3-x2与y=ln
x的图象只有一个交点,从而方程ln
x+x2-3=0有一个根,
即函数f(x)=ln
x+x2-3有一个零点.
解法2:由于f(1)=ln
1+12-3=-2<0,f(2)=ln
2+22-3=ln
2+1>0,
所以f(1)·f(2)<0.
又f(x)=ln
x+x2-3的图象在区间(1,2)上是不间断的,
所以f(x)在区间(1,2)上必有零点.
又f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,所以f(x)只有一个零点.
判断函数零点个数的方法
(1)对于一般函数的零点个数的判断问题,可以先确定零点存在,然后借助于函数的单调性判断零点的个数;
(2)由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中画出函数y1=g(x)和y2=h(x)的图象,利用图象判定方程根的个数;
(3)解方程,解得方程根的个数即为函数零点的个数.
【变式训练3】
函数f(x)=ln
x-x+2的零点个数为( )
A.1
B.2
C.0
D.不能确定
解析:如图所示,
在同一平面直角坐标系中,
分别画出函数y=ln
x,y=x-2的图象,
可知两函数有两个交点,即f(x)有两个零点.?
答案:B
探究四
一元二次方程根的分布问题
【例4】
关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1有且仅有一个零点.
若本例条件不变,关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0的一根大于1,一根小于1,求实数a的取值范围.
解:因为方程有一根大于1,一根小于1,所以图象大致如图所示.令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1,
又f(1)=-3<0,所以a>0.
故当a>0时,方程ax2-2(a+1)x+a-1=0的一根大于1,一根小于1.
解决一元二次方程根的分布问题应注意以下几点
(1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.
(2)结合草图考虑三个方面:①开口方向;②Δ与0的大小;③对称轴与所给端点值的关系;④端点的函数值与零的关系.
思
想
方
法
用数形结合思想判断函数零点的个数
【典例】
试讨论函数f(x)=x2-2|x|-a-1(a∈R)的零点个数.
分析:函数f(x)的零点个数即为方程f(x)=0的解的个数.令f(x)=0,即x2-2|x|=a+1.令g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,则方程x2-2|x|
=a+1的解的个数即为函数g(x)与h(x)的图象交点的个数,故将问题转化为函数g(x)与h(x)的图象交点个数的问题.
解:令g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,
函数g(x),h(x)的大致图象如图所示.
又g(-2)=g(0)=g(2)=0,g(-1)=g(1)=-1,由图可得,
当a+1<-1,即a<-2时,函数g(x)与h(x)的图象无交点;
当a+1=-1,或a+1>0,即a=-2,或a>-1时,
函数g(x)与h(x)的图象有2个交点;
当-1
当a+1=0,即a=-1时,函数g(x)与h(x)的图象有3个交点.
综上,当a<-2时,函数f(x)无零点;
当a=-2,或a>-1时,函数f(x)有两个零点;
当-2当a=-1时,函数f(x)有3个零点.
在函数与方程问题中,可以把函数的零点、方程的根等问题转化为两个函数图象交点的问题,依据函数图象的特征,构造关于参数的不等式求解.
随
堂
练
习
答案:D
2.对于函数f(x),若f(-1)·f(3)<0,则( )
A.方程f(x)=0一定有实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两实数解
D.方程f(x)=0可能无实数解
解析:∵函数f(x)的图象在区间(-1,3)上未必连续,
故尽管f(-1)·f(3)<0,
但方程y=f(x)=0在区间(-1,3)上未必有实数解.
答案:D
3.方程2x-x2=0的解的个数是 .?
解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x及y=x2的图象(图略),可看出两图象有两个交点,故2x-x2=0的解的个数为2.
答案:2
4.已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比0大,一个零点比0小,则实数a的取值范围为 .?
解析:由题意可知f(0)=a-2<0,解得a<2.
答案:(-∞,2)
所以函数f(x)的零点是-3.
(2)令f(x)=0,即x2+2x+4=0,因为Δ=4-4×4=-12<0,
所以此方程无解,故原函数无零点.
(3)令y=0,即2x-3=0,2x=3,解得x=log23.故函数的零点为log23.
(4)令y=0,即1-log5x=0,log5x=1,解得x=5.故函数的零点为5.