(共50张PPT)
§3 指数函数
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.理解指数函数的概念和意义.
2.掌握指数函数的图象和性质.
3.会画指数函数的图象,并利用图象解题.
4.会利用指数函数的性质解决简单的问题.
5.体会数学抽象的过程,强化直观想象素养的培养.
自主预习·新知导学
一、指数函数的概念
【问题思考】
1.(1)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x满足什么关系式?
(2)有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……,剪去x次后剩余绳子的长度为y米,则y与x满足什么关系式?
(3)上面问题(1),(2)中满足的关系式是不是函数关系?它们与函数y=x2有什么区别?
提示:(1)y与x之间满足y=2x(x∈N+).
(3)因为对于每一个x都有唯一的y与之对应,因此按照函数的定义这两个关系式都可构成函数.它们与函数y=x2的区别在于前者的自变量都在指数的位置上,而y=x2的自变量在底数的位置上.
2.填空:
(1)指数函数的概念
当给定正数a,且a≠1时,对于任意的实数x,都有唯一确定的正数
y=ax与之对应.因此,y=ax是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数.
(2)指数函数的性质
①定义域是R,函数值大于0;②图象过定点(0,1).
3.想一想:指数函数解析式有什么特征?
提示:指数函数解析式的特征:(1)底数a为大于0,且不等于1的常数.
(2)自变量x的位置在指数上,且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
二、指数函数y=ax(a>1)的图象与性质
【问题思考】
1.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x及y=3x的图象,结合图象你发现两者之间有什么关系?
提示:在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x和y=3x的图象,如图.
通过图象,可以看出:
①两者都在x轴的上方,且都是单调递增的;
②在第一象限3x>2x>1,在第二象限0<3x<2x<1.
2.填空:
(1)一般地,当a>1时,指数函数y=ax的定义域是R,值域是(0,+∞),过定点(0,1),在R上是增函数.当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于
正无穷大;当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于0.
(2)对于函数y=ax和y=bx(a>b>1):
①当x<0时,0
②当x=0时,ax=bx=1;
③当x>0时,ax>bx>1.
三、指数函数y=ax(0【问题思考】
2.填空:
(1)一般地,当0(2)对于函数y=ax和y=bx(0①当x<0时,ax>bx>1;
②当x=0时,ax=bx=1;
③当x>0时,03.想一想:对于指数函数y=ax(a>0,且a≠1),当底数a的值越来越大时,图象在第一象限内的位置关系有什么特点?
提示:底数a的取值越大时,函数的图象在第一象限越靠近y轴;反之,底数a的取值越小,函数的图象在第一象限越靠近x轴.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)指数函数y=ax过定点(0,0).(
×
)
(2)y=2-x在R上是减函数.(
√
)
(3)函数y=5x-1是指数函数.(
×
)
(4)函数y=10-x的定义域为{x|x≠0}.(
×
)
(5)由a2x>ax+1得x>1.(
×
)
(6)函数y=10x与y=10-x关于x轴对称.(
×
)
(7)1.70.6>0.71.6(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究一
指数函数概念的理解
【例1】
指出下列函数哪些是指数函数:
解:(1)(5)(7)为指数函数.
(2)底数不是常数,指数不是变量,故不是指数函数;
(3)中3x的系数不为1,故不是指数函数;
(4)中底数-3<0,故不是指数函数;
(6)中底数x不是常数,故不是指数函数.
判断所给函数是不是指数函数,要严格按照指数函数的定义判断.
【变式训练1】
已知函数y=(2a2-3a+2)·ax是指数函数,求a的值.
探究二
指数函数的图象
【例2】
如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A.aB.bC.1D.a解析:方法1:在y轴的右侧,指数函数的图象由下到上,底数依次增大.
由指数函数图象的升降,知c>d>1,0∴b方法2:如图,作直线x=1,与四个函数的
图象分别交于A,B,C,D四点,将x=1代入
各个函数可得函数值等于底数,所以四
个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图
可知b答案:B
无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),由图象可知:在y轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大.
【变式训练2】
如图,若0解析:因为0答案:D
探究三
利用指数函数比较大小
【例3】
比较下列各组数的大小:
(1)1.70.3,1.50.3;(2)1.70.3,0.83.1.
解:(1)方法1:∵1.7>1.5,
∴在区间(0,+∞)上,函数y=1.7x的图象位于函数y=1.5x的图象的上方.
而0.3>0,∴1.70.3>1.50.3.
1.对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数型函数图象的变化规律来判断.
2.对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较,可以通过中间值来比较.
3.对于三个(或三个以上)数的大小比较,则可以先根据特殊值0,1进行分组,再比较各组数的大小.
(2)∵-11,
因此有3-x>1,又0<0.5<1,∴0<0.5-x<1,
∴3-x>0.5-x(-1探究四
解简单指数不等式
分析:先化为同底数的幂→根据指数函数的单调性建立不等式求解→结果要写成集合或区间的形式
(2)∵f(x)=ax(a>1)是R上的增函数,且a-3x>ax+4,
∴-3x>x+4,得x<-1,
故实数x的取值范围是{x|x<-1}.
1.若把本例(2)中的“a>1”换为“0解:因为0又a-3x>ax+4,所以-3x-1,
故实数x的取值范围是{x|x>-1}.
2.若把本例(2)中的“a>1”换为“a>0,且a≠1”,其他条件不变,求实数x的取值范围.
解:当a>1时,原不等式?-3x>x+4?x<-1,
当0-1,
故当a>1时,实数x的取值范围是{x|x<-1},
当0-1}.
3.已知a>0,比较aπ与a3的大小.
解:设f(x)=ax,易知π>3.
当a>1时,函数f(x)在R上是增函数,则aπ>a3;
当a=1时,函数f(x)=1是常数,则aπ=a3;
当01.利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
2.解不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即
答案:C
探究五
指数函数性质的综合应用
(2)已知函数f(x)=x2+2x-m·2-x是定义在R上的偶函数,则实数m的值等于 .?
(2)由已知f(-x)=f(x),
即x2+2-x-m·2x=x2+2x-m·2-x,
整理得(m+1)(2x-2-x)=0,
∵x∈R,∴m+1=0,即m=-1.
答案:(1)(-∞,1] (2)-1
1.指数型复合函数的单调性的求解步骤:
(1)求定义域:依据题意明确研究范围.
(2)拆分:把原函数拆分成几个基本函数.
(3)定性质:分层逐一求单调性.
(4)下结论:根据复合函数的单调性法则即“同增异减”,得出原函数的单调性.
2.指数函数本身不具有奇偶性,但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性,其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质.
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析
忽视对底数的分类讨论致误
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:本题有两处错误,一是a>0,不能保证f(x)=ax在R上是增函数;二是不等式的解集没有写成集合的形式.
当指数函数的底数a不确定时,一般要对底数a分“a>1和0【变式训练】
函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差为5,则a= .?
解析:当a>1时,有a1-a0=5,即a=6;
当0综上知,a=6.
答案:6
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1.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( )
A.aB.aC.bD.b解析:因为函数y=0.6x在R上为减函数,
所以b=0.61.51,
所以b答案:C
2.若2x+1<1,则实数x的取值范围是( )
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(0,1)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)
解析:因为不等式2x+1<1=20,y=2x是增函数,
所以x+1<0,得x<-1.
答案:D
答案:A
4.若0A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:f(x)=ax+b(0答案:A
5.已知函数f(x)=4+ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则定点P的坐标是 .?
解析:由x-1=0,得x=1,y=4+1=5,
即点P的坐标为(1,5).
答案:(1,5)(共28张PPT)
§2 指数幂的运算性质
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
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课标定位
素养阐释
1.理解分数指数幂的运算性质.
2.能够根据分数指数幂的运算法则进行计算.
3.感受数学抽象与逻辑推理的过程,体会数学运算的过程与法则,提高运算能力.
自主预习·新知导学
指数幂的运算性质
【问题思考】
2.填空:对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质:
(1)aα·aβ=
aα+β
;
(2)=
aαβ
;
(3)(ab)α=
aαbα
.
3.想一想:进行幂的运算时,当式子中既有分数指数幂又有根式时,一般应遵循怎样的原则化简?
提示:一般把根式统一化成分数指数幂的形式,再用有理数指数幂的运算性质化简.可总结为:先统一,再运算.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
指数幂的化简
探究二
指数幂的运算
指数幂运算的步骤
(1)有括号先算括号里的,无括号先做指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数,先化成假分数,然后尽可能用幂的形式表示,以便于使用指数运算性质.
探究三
条件求值问题
【例3】
已知10m=2,10n=3,求10m+n,100m-n的值.
分析:将待求式利用指数幂的性质转化为已知求解.
解:∵10m=2,10n=3,
∴10m+n=10m·10n=2×3=6;
【变式训练2】
设2m=8n+1,9n=3m-9,求m+n的值.
条件求值问题的两个步骤及一个注意点
(1)两个步骤
(2)一个注意点:若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式,注意应用平方差公式或立方差公式.
易
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析
忽视运算性质成立的条件
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
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答案:D
答案:C
答案:B
答案:A(共25张PPT)
§1 指数幂的拓展
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
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课标定位
素养阐释
1.理解分数指数幂的含义,学会根式与分数指数幂之间的相互转化.
2.了解无理数指数幂.
3.体会归纳推理的过程,加强运算能力素养的培养.
自主预习·新知导学
一、分数指数幂
【问题思考】
1.观察下列各式,你能得出什么结论?
提示:通过观察题中两式可以得出,当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
二、无理数指数幂
【问题思考】
1.无理数是无限不循环小数,课本中是如何用有理数指数幂来研究无理数指数幂的?
提示:随着无理数指数精确度越高,以无理数指数的不足近似值和过剩近似值为指数的幂会无限趋近于同一个数,这个数即为无理数指数幂.
2.填空:
(1)定义:一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,可用课本中类似的方法定义一个实数aα.这是一个确定的正实数.规定:
,这样指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数.
(2)①给定一个正数a,对任意实数α,指数幂aα都大于0;
②0的任意正实数指数幂都等于0;
③0的零指数幂和任意负实数指数幂都没有意义.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)只要根式有意义,都能写成分数指数幂的形式.(
×
)
(3)0的任何指数幂都等于0.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
用分数指数幂表示正数
【例1】
把下列各式中的b(b>0)写成分数指数幂的形式:
(1)b3=4;
(2)b-2=5;
(3)bm=32n(m,n∈N+).
将bn=d中正实数b写成分数指数幂的形式时,主要依据分数指数幂的定义.
【变式训练1】
用分数指数幂表示下列各式中的a(a>0).
(1)a-8=28;
(2)a-8=57;
(3)a-8n=33m(m,n∈N+).
探究二
求分数指数幂的值
计算分数指数幂,一定要把握好指数幂的概念.在计算中,一定要注意b>0,所以b<0的情况,要舍去.
探究三
根式与分数指数幂的互化
【例3】
将下列分数指数幂与根式进行互化:(式中字母均为正实数)
随
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答案:A
答案:A