(共33张PPT)
4.3 一元二次不等式的应用
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.能够从实际生产和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.
2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
3.体会化归与转化思想的应用,加强数学建模素养的培养.
自主预习·新知导学
一、与一元二次不等式有关的恒成立问题
【问题思考】
1.x-1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么?区间[2,3]与不等式x-1>0的解集有什么关系?
提示:x-1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y=x-1在区间[2,3]上的图象恒在x轴的上方.区间[2,3]内的元素一定是不等式x-1>0的解,反之不一定成立,故区间[2,3]是不等式x-1>0的解集的子集.
2.抽象概括
一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R的等价条件是a>0,且Δ<0;一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是R的等价条件是a<0,且Δ<0.
二、一元二次不等式在实际生活中的应用
【问题思考】
1.在一条限速为40
km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离刚好是12
m,乙车的刹车距离略超过10
m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位:m)与车速x(单位:km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有无超速现象?
提示:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2=12,
即x2+10x-1
200=0,解得x=30或x=-40(舍去).
这表明甲车的车速为30
km/h,
甲车车速没有超过限速40
km/h.
对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2
000>0,
解得x>40或x<-50(舍去).
这表明乙车车速超过40
km/h,超过规定限速.
2.利用不等式解决实际问题的一般步骤:
(1)选取合适的字母表示题中的未知数;
(2)由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组);
(3)求解所列出的不等式(组);
(4)结合题目的实际意义确定答案.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x
x2},则方程ax2+bx+c=0的两个实数根是x1和x2.(
√
)
(2)不等式ax2+bx+c<0在R上恒成立的条件是a<0,且Δ=b2-4ac<0.(
√
)
(3)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定是空集.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一与一元二次不等式有关的恒成立问题
【例1】
关于x的一元二次不等式2x2-8x+6-m>0的解集是R,求实数m的取值范围.
分析1:a=2>0,Δ<0→求m的取值范围
分析2:原不等式转化为m<2x2-8x+6→根据已知求2x2-8x+6的最小值→由m<(2x2-8x+6)min确定m的取值范围
解法1:要使2x2-8x+6-m>0的解集是R,即2x2-8x+6-m>0在R上恒成立,
又∵函数y=2x2-8x+6-m的图象开口向上,
∴只需Δ=64-8(6-m)<0,解得m<-2.
故m的取值范围是(-∞,-2).
解法2:要使2x2-8x+6-m>0的解集是R,即2x2-8x+6-m>0在R上恒成立,即m<2x2-8x+6在R上恒成立,只需m<(2x2-8x+6)min,设y=2x2-8x+6,则当x=2时,函数取得最小值-2,
∴m<-2,即所求m的取值范围为(-∞,-2).
1.若把本例的不等式改为:关于x的一元二次不等式mx2-8x+6>0,其他不变,如何求m的取值范围?
2.若把本例的不等式改为:关于x的一元二次不等式2x2-mx+6<0有解,其他不变,如何求m的取值范围?
与一元二次不等式有关的恒成立问题的解题方法
(1)判别式法;
(2)若不等式中的参数比较“孤单”,便可将参数分离出来,利用a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min求解.
【变式训练1】
若对于一切实数x,mx2-mx-1<0恒成立,求实数m的取值范围.
解:若m=0,显然-1<0,满足题意;
若m≠0,要使mx2-mx-1<0恒成立,
故实数m的取值范围为-4探究二
一元二次不等式的应用
【例2】
国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元,不加附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税k元(叫作税率k%),则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元,问k应怎样确定?
分析:若征收附加税,此时的产销量为(100-10k)万瓶,每一瓶的附加税应为70×k%,利用附加税金不少于112万建立关于k的不等式,解不等式即可.
解:设产销量为每年x万瓶,则销售收入为每年70x万元,从中征收的税金为(70x·k%)万元,其中x=100-10k.
由题意,得70(100-10k)k%≥112,
整理得k2-10k+16≤0,解得2≤k≤8.
因此,当2≤k≤8时,每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元.
解不等式应用题的四个步骤
(1)审:认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.
(2)设:引进数学符号,用不等式表示不等关系.
(3)求:解不等式.
(4)答:回答实际问题.
【变式训练2】
某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式;
(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.
解:(1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a·(1+2x%).
易
错
辨
析
忽视二次项系数为零致误
【典例】
已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是 .?
答案
(1,19)
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:忽视二次项系数为零的情况,导致漏解.
正解:①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1.
若m=-5,则函数化为y=24x+3.
对任意实数x不可能恒大于0.
若m=1,则y=3>0恒成立,满足题意.
②当m2+4m-5≠0时,同错解.
综上可知,1≤m<19.
答案:[1,19)
二次项系数含参数的不等式要注意讨论二次项系数是不是零,忽视讨论容易导致漏解.
【变式训练】
函数y=ax2+ax-1在R上恒有y<0成立,则实数a的取值范围是( )
A.a≤0
B.a<-4
C.-4D.-4解析:因为y=ax2+ax-1在R上y<0恒成立,
即ax2+ax-1<0在R上恒成立,当a=0时,-1<0恒成立;
故所求实数a的取值范围为-4答案:D
随
堂
练
习
答案:A
2.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则实数k的取值范围是( )
A.0≤k≤1
B.0C.k<0,或k>1
D.k≤0,或k≥1
解析:当k=0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0化为8≥0恒成立;
当k<0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0不能恒成立;
当k>0时,要使不等式kx2-6kx+k+8≥0恒成立,
需Δ=36k2-4(k2+8k)≤0,解得0≤k≤1.故选A.
答案:A
3.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则实数a的取值范围是( )
A.-4≤a≤4
B.-4C.a≤-4,或a≥4
D.a<-4,或a>4
解析:欲使不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则Δ=a2-16≤0,解得-4≤a≤4.
答案:A
4.某地每年销售木材约20万立方米,每立方米价格为2
400元,为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少
万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是( )
A.[1,3]
B.[3,5]
C.[2,4]
D.[4,6]
答案:B(共36张PPT)
4.2 一元二次不等式及其解法
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式.
3.掌握图象法解一元二次不等式.
4.体会数形结合思想、分类讨论思想的应用,加强运算能力素养的培养.
自主预习·新知导学
一、一元二次不等式的概念
【问题思考】
1.(1)方程x2-2x-3=0的实数根是什么?
提示:由x2-2x-3=0,得(x-3)(x+1)=0,解得x=3或x=-1.所以方程x2-2x-3=0的实数根为x1=3,x2=-1.
(2)画出函数y=x2-2x-3的图象,并指出函数的图象与x轴交点的坐标.
提示:函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4的图象如图所示.
?
由图可知,函数的图象与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0).
(3)观察图象,试写出不等式x2-2x-3>0和x2-2x-3<0的解集.
提示:通过图象可知,x2-2x-3>0的解集为{x|x>3或x<-1};x2-2x-3<0的解集为{x|-12.抽象概括
(1)定义:一般地,形如
ax2+bx+c>0
,或
ax2+bx+c<0
,或ax2+bx+c≥0
,或
ax2+bx+c≤0
(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且
a≠0
)的不等式叫作一元二次不等式.
(2)解集:使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
二、一元二次不等式的求解方法
【问题思考】
1.一元二次不等式的解集的端点值与一元二次方程的实数根之间存在怎样的关系?
提示:一元二次不等式解集的端点值即为相应一元二次方程的实数根.
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是全体实数的条件是什么?
提示:令y=ax2+bx+c,由题意知y>0恒成立,则一元二次函
数y=ax2+bx+c的图象应开口向上,与x轴无交点,即应满足
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)不等式ax2+x-1>0一定是一元二次不等式.(
×
)
(2)2x2+3y2+1≠0是一元二次不等式.(
×
)
(3)一元二次不等式的解集可能有无穷多个.(
×
)
(4)一元二次不等式的解集可能是空集.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
一元二次不等式的解法
【例1】
解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x>2.
分析:先求相应方程的实数根,然后根据相应函数的图象,观察得出不等式的解集.
(2)原不等式可化为3x2-6x+2<0,因为方程3x2-6x+2=0的Δ=
(-6)2-4×3×2>0,所以该方程有两个不相等的实数根,
解一元二次不等式时首先要把二次项系数化为正值.如果二次函数能直接进行因式分解,则分解因式得方程的根,再结合图象得出解集;若不能直接分解因式,则要结合判别式进行求解.最终结果必须是集合形式.
【变式训练1】
解下列不等式:
(1)x2-5x-6>0;
(2)-x2+7x>6.
解:(1)因为方程x2-5x-6=0的Δ=(-5)2-4×1×(-6)>0,
所以该方程有两个不相等的实数根,
解得x1=-1,x2=6.?
画出函数y=x2-5x-6的图象,
可知该函数的图象是开口向上的抛物线,
且与x轴有两个交点(-1,0)和(6,0).
观察图象可得原不等式的解集为
{x|x>6,或x<-1}.
(2)原不等式可化为x2-7x+6<0,
因为方程x2-7x+6=0的Δ=(-7)2-4×1×6>0,
所以该方程有两个不相等的实数根,
解得x1=1,x2=6.
画出函数y=x2-7x+6的图象,
可知该函数的图象是开口向上的抛物线,
且与x轴有两个交点(1,0)和(6,0).
观察图象可得原不等式的解集为{x|1探究二
含参一元二次不等式的解法
【例2】
解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0(a≥0).
分析:根据题意,分别求出a=0和a>0时,不等式的解集.
若将原不等式中“a≥0”改为“a<0”,其他不变,如何求解?
解含参数的一元二次不等式的方法:
(1)二次项的系数若含有参数,要分系数等于0、小于0、大于0讨论,然后将不等式的二次项系数化为正数.
(2)若判别式不确定,则需讨论判别式与0的关系.
(3)确定方程无实根时,可直接写出解集,确定方程有两个实数根时,要讨论两个实数根的大小关系,从而写出解集.
【变式训练2】
解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0.
解:当a<0,或a>1时,有a当0当a=0,或a=1时,原不等式无解.
综上,当a<0,或a>1时,原不等式的解集为{x|a当0当a=0,或a=1时,原不等式的解集为?.
探究三
“三个二次”间对应关系的应用
易
错
辨
析
忽视不等式成立的前提致误
【典例】
解不等式x2>x.
错解
由x2>x两边同时约去x,得x>1,
所以原不等式的解集为{x|x>1}.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:本题因不等式两边同时约去x时,未考虑x的取值(正负性),机械应用不等式性质而出现失解现象,因此导致求解错误.
正解:原不等式可化为x2-x>0,即x(x-1)>0.
∵方程x(x-1)=0有两个不相等的实数根x1=0,x2=1,
∴不等式x2-x>0的解集为{x|x<0,或x>1}.
应将一元二次不等式化成标准形式,再由方程的根得出解集.
【变式训练】
不等式x(9-x)>0的解集是 .?
解析:不等式x(9-x)>0变形为x(x-9)<0,解得0答案:(0,9)
随
堂
练
习
1.不等式-x2-5x+6≥0的解集为( )
A.{x|x≥6,或x≤-1}
B.{x|-1≤x≤6}
C.{x|-6≤x≤1}
D.{x|x≤-6,或x≥1}
解析:原不等式可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,结合二次函数的图象(图略),知不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.
答案:C
2.设集合M={x|x2-2x-3<0,x∈Z},则集合M的真子集个数为( )
A.8
B.7
C.4
D.3
解析:由x2-2x-3<0,得-1∴M={0,1,2}.
故集合M的真子集有23-1=7(个).
答案:B
3.不等式(x+5)(1-x)≥8的解集是( )
A.{x|x≤1,或x≥-5}
B.{x|x≤-3,或x≥-1}
C.{x|-5≤x<1}
D.{x|-3≤x≤-1}
解析:不等式(x+5)(1-x)≥8可化为(x+3)(x+1)≤0,
解得-3≤x≤-1,故原不等式的解集为{x|-3≤x≤-1}.
答案:D
4.不等式x2+x-2<0的解集为 .?
解析:x2+x-2<0可化为(x+2)(x-1)<0,解得-2故所求不等式的解集为(-2,1).
答案:(-2,1)
5.设不等式x2-4x+3<0的解集为A,不等式x2+x-6>0的解集为B.
(1)求A∩B;
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,求a,b的值.
解:(1)由题意A={x|12},
∴A∩B={x|12}={x|2(2)∵不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,
∴2和3为方程x2+ax+b=0的两个实数根,(共49张PPT)
4.1 一元二次函数
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.熟悉配方法,理解a,b,c(或a,h,k)对二次函数图象的作用.
2.理解由y=ax2到y=a(x+h)2+k的图象变换方法.
3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式.
4.掌握二次函数的性质.
5.体会抽象概括的过程,加强直观想象素养的培养.
自主预习·新知导学
一、二次函数的配方法
【问题思考】
1.y=4x2-4x-1如何配方?你能由此求出方程4x2-4x-1=0的根吗?
由此可得二次函数的值域、顶点等性质,y=ax2(a≠0)与y=ax2+bx+c(a≠0)图象间的关系以及二次方程求根公式等.所以配方法是非常重要的数学方法.
3.做一做:若抛物线y=x2-(m-2)x+m+3的顶点在y轴上,则m的值为( )
A.-3
B.3
C.-2
D.2
答案:D
二、一元二次函数图象的变换
【问题思考】
1.y=2x2和y=2(x+1)2+3的图象之间有什么关系?
提示:由y=2x2的图象经过向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度可以得到函数y=2(x+1)2+3的图象.
2.一元二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线,可以由y=ax2(a≠0)的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.
3.做一做:一元二次函数y=2x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,得到的新图象的二次函数是( )
A.y=x2
B.y=2x2+2
C.y=4x2
D.y=2x2-2
解析:将一元二次函数y=2x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,得到的新图象的解析式为y=4x2.
答案:C
三、一元二次函数解析式的三种形式
【问题思考】
1.我们知道y=x2-2x=(x-1)2-1=x(x-2),那么点(1,-1),数0,2与y=x2-2x有什么关系?
提示:点(1,-1)是函数y=x2-2x的图象的顶点,0和2是函数的图象与x轴的交点的横坐标.
2.抽象概括
(1)一元二次函数的一般式:y=
ax2+bx+c
(a≠0).
(2)如果已知一元二次函数的顶点坐标为(-h,k),则可将一元二次函数设为y=
a(x+h)2+k(a≠0)
.
(3)如果已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2(即抛物线与x轴交点的横坐标),可设一元二次函数为y=
a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
.
3.做一做:一元二次函数的顶点坐标是(2,3),且经过点(3,1),则这个一元二次函数的解析式为 .?
解析:设y=f(x)=a(x-2)2+3,
则f(3)=a(3-2)2+3=a+3=1,
得a=-2,
得y=-2(x-2)2+3.
答案:y=-2(x-2)2+3
四、一元二次函数的性质
【问题思考】
1.填表.
2.做一做:若函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间(-∞,7]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.{-3}
B.(-3,+∞)
C.(-∞,-3]
D.[-3,+∞)
解析:由函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间(-∞,7]上单调递减,结合图象(图略)知-(2a-1)≥7,所以a≤-3.
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)一元二次函数y=2x2与y=-2x2的图象开口大小相同,开口方向相反.(
√
)
(2)函数y=2(x-1)2+1的图象可由函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.0(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
求一元二次函数的解析式
【例1】
已知一元二次函数的图象过点(2,-1)和(-1,-1),且它的最大值为8,求一元二次函数的解析式.
解法2:利用一元二次函数的两根式.
由已知y+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设一元二次函数的解析式为y+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即y=ax2-ax-2a-1(a≠0).
解得a=-4或a=0(舍去).
故所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7.
求一元二次函数的解析式,应根据已知条件的特点,灵活运用解析式的形式,选取最佳形式,利用待定系数法求解.当已知抛物线上任意三点时,设一般式;已知抛物线的顶点坐标常设顶点式;已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时,常设两根式.
【变式训练1】
已知一元二次函数的图象的对称轴是直线x=-1,并且经过点(1,13)和(2,28),求一元二次函数的解析式.
探究二
一元二次函数的单调性
【例2】
函数y=x2+bx+c在区间(-∞,1)上随x的增大而减小,则实数b的取值范围是
.?
答案:(-∞,-2]
二次函数的单调性取决于两点:(1)图象的开口方向;(2)对称轴的位置.在解题时可借助图象进行分析.
【变式训练2】
已知函数y=x2+(a+1)x+1在区间[-1,1]上为单调函数,则实数a的取值范围是 .?
答案:(-∞,-3]∪[1,+∞)
探究三
一元二次函数的最值
【例3】
已知函数y=f(x)=x2-4x-4.若x∈[3,4],求函数f(x)的最值.
分析:先配方→结合一元二次函数的图象和已知求解
解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8的图象开口向上,对称轴为直线x=2,所以当x∈[3,4]时,函数y=x2-4x-4单调递增,所以当x=3时,f(x)取得最小值9-12-4=-7,当x=4时,f(x)取得最大值16-16-4=-4.
1.本例中将定义域“[3,4]”改为“[-3,4]”,其他条件不变,求函数y=f(x)的最值.
解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8在区间[-3,2]上单调递减,在区间[2,4]上单调递增,所以f(x)的最小值为-8.
又因为x=-3时,y=17,x=4时,y=-4,所以f(x)的最大值为17.
2.本例中函数不变,将问题变为:若函数y=f(x)=x2-4x-4在区间(-∞,1]上单调,求函数y=f(x)的最值.
解:因为函数y=f(x)的图象为开口向上的抛物线,对称轴为直线x=2,所以函数y=f(x)在区间(-∞,1]上单调递减.
所以ymin=12-4×1-4=-7,无最大值.
综上,y的最小值为-7,无最大值.
解法1:y>0对?x∈[1,+∞)恒成立,等价于x2+2x+a>0对?x∈[1,+∞)恒成立.
设g(x)=x2+2x+a,x∈[1,+∞),则问题转化为g(x)>0在x∈[1,+∞)上恒成立,又g(x)在区间[1,+∞)上单调递增,从而g(x)min=3+a.
于是当且仅当g(x)min=3+a>0,即a>-3时,g(x)>0对x∈[1,+∞)恒成立,故实数a的取值范围是(-3,+∞).
解法2:y>0对?x∈[1,+∞)恒成立,等价于x2+2x+a>0对?x∈[1,+∞)恒成立,即a>-x2-2x对x≥1恒成立.
令μ=-x2-2x=-(x+1)2+1,其在区间[1,+∞)上单调递减,
所以当x=1时,μ取得最大值,μmax=-3.
因此a>-3.
故实数a的取值范围是(-3,+∞).
求一元二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值的类型
易
错
辨
析
忽视对参数的讨论致误
【典例】
已知一元二次函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值3,求实数a的值.
错解
由题意,可知该函数的图象为开口向下的抛物线,对称轴为直线x=a,所以x=a时,y取最大值,ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1.
综上所述,a=2或a=-1.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:本题有两处错误:(1)忽视了函数在区间[0,1]上取最大值3;(2)没有讨论对称轴是不是在区间[0,1]上.
正解:由题意,可知该函数的图象的对称轴为直线x=a,当a≤0时,在区间[0,1]上函数值y随自变量x的增大而减小,则函数在x=0处取得最大值,即ymax=1-a=3,得a=-2,满足a≤0,所以a=-2符合条件;
当0则函数在x=a处取得最大值,即ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,又0当a≥1时,在区间[0,1]上函数值y随自变量x的增大而增大,
则函数在x=1处取得最大值,即ymax=-1+2a+1-a=3,解得a=3满足a≥1,所以a=3符合条件.
综上所述,a=-2或a=3.
这是定区间,动对称轴问题,需对它们的关系进行讨论,分对称轴在区间的左、中、右三种情形讨论,确定实数a的值.
【变式训练】
已知一元二次函数y=f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:其图象的对称轴为直线x=1,且方程y=2x有两个相等的实数根.求:
(1)函数y=f(x)的解析式;
(2)函数y=f(x)在区间[0,t]上的最大值.
解:(1)∵方程y=2x有两个相等的实数根,即ax2+(b-2)x=0(a≠0)有两个相等的实数根,
∴Δ=(b-2)2=0,解得b=2.
又已知直线x=1是函数图象的对称轴,
∴函数的解析式为y=-x2+2x.
(2)∵函数y=-x2+2x的图象的对称轴为直线x=1,又x∈[0,t],
∴当t≤1时,在区间[0,t]上函数值y随自变量x的增大而增大,
∴函数在x=t处取得最大值,即ymax=-t2+2t;
当t>1时,在区间[0,1]上函数值y随自变量x的增大而增大,在区间[1,t]上函数值y随自变量x的增大而减小,
∴函数在x=1处取得最大值,即ymax=-1+2=1.
随
堂
练
习
1.一元二次函数y=-x2+bx+3在区间(-∞,2]上单调递增,则实数b的取值范围是( )
A.{b|b≥4}
B.{4}
C.{b|b≤4}
D.{-4}
答案:A
2.已知一元二次函数y=-x2+2x+4,则函数( )
A.图象的对称轴为直线x=1,最大值为3
B.图象的对称轴为直线x=-1,最大值为5
C.图象的对称轴为直线x=1,最大值为5
D.图象的对称轴为直线x=-1,最小值为3
解析:由y=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,知其图象的对称轴为直线x=1,最大值为5.
答案:C
3.若函数y=(a-1)x2+2x+5的图象恒在x轴的上方,则实数a的取值范围是( )
解析:当a-1=0时,函数解析式为y=2x+5,此时函数图象为一条直线,不是恒在x轴的上方,故a≠1;
答案:A
4.函数y=-2x2+x随自变量x的增大而增大的区间是 .
5.求一元二次函数y=x2-2ax+2在区间[2,4]上的最小值.
解:由题意,函数解析式可化为y=(x-a)2+2-a2,可得该函数的图象的对称轴为直线x=a.
当a≥4时,函数在区间[2,4]上单调递减,所以函数在x=4处取得最小值,即ymin=18-8a;
当a≤2时,函数在区间[2,4]上单调递增,所以函数在x=2处取得最小值,即ymin=6-4a;
当2所以函数在x=a处取得最小值,即ymin=-a2+2.