(共37张PPT)
3.2 基本不等式
第2课时 基本不等式与最大(小)值
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
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辨
析
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课标定位
素养阐释
1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
2.会用基本不等式解决实际问题.
3.体会数学建模思想的应用,加强逻辑推理和数学建模素养的培养.
自主预习·新知导学
一、利用基本不等式求最大(小)值
【问题思考】
1.(1)已知x,y都是正数,若x+y=s(s为定值),那么xy有最大值还是最小值?如何求?
(2)已知x,y都是正数,若xy=p(p为定值),那么x+y有最大值还是最小值?如何求?
二、利用基本不等式求条件最值
【问题思考】
1.利用基本不等式求最值时应注意几个条件?
提示:注意三个条件:一正、二定、三相等.
2.常用的构造定值条件的变换方法有哪些?
提示:(1)加项变换;(2)拆项变换;(3)统一换元;(4)平方后利用基本不等式.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)两个数的积为定值,它们的和一定能在两个数相等时取得最小值.(
×
)
(2)若x+y=6,则xy的最大值为9.(
√
)
(3)若xy=1,则x+y≥2.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
利用基本不等式求代数式的最值
利用基本不等式求最值的方法:
(1)若“一正二定三相等”中的条件满足时,直接用公式求解.
(2)若条件不满足时,则需对条件作适当调整和转化,使其满足.
探究二
利用基本不等式求条件最值问题
【例2】
已知x>0,y>0,且满足
,则xy的最大值为
.?
分析:先确定x,y的符号→根据已知条件和基本不等式求最值→注意验证等号成立的条件
答案:3
1.若把例2满足的条件改为3x+4y=1,其他不变,如何求xy的最大值?
应用基本不等式求条件最值时
(1)通过对所给式子进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键;
(2)必须指出等号成立的条件.
探究三
利用基本不等式解决实际问题
【例3】
围建一个360
m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2
m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.
设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).
(1)用x表示y.
(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的
总费用最少,并求出最少总费用.
分析:(1)利用矩形的面积将矩形的另一边长也用x来表示,进而写出y与x的关系式.
(2)在(1)的基础上利用基本不等式求最值.
所以当x=24
m时,修建围墙的总费用最少,
最少总费用是10
440元.
在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点
(1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的量定为变量;
(2)建立相应的代数关系式,把实际问题抽象为代数式的最值问题;
(3)确定变量的范围,求出代数式的最值;
(4)写出正确答案.
【变式训练3】
要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18
000
cm2,四周空白的宽度为10
cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5
cm,请确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),使矩形广告面积最小,并求出最小值.
解:设矩形栏目的高为a
cm,宽为b
cm,则有ab=9
000.①
广告的高为(a+20)cm,宽为(2b+25)cm,其中a>0,b>0.
广告的面积S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500
从而b=75,即当a=120,b=75时,S取得最小值24
500,
故广告的高为140
cm,宽为175
cm时,可使广告的面积最小,最小值为24
500
cm2.
易
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析
忽视基本不等式等号成立的条件致误
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:①②两处等号成立的条件不同,一个是a=b,另一个是b=4a,这显然是不能同时成立的,故不正确.
1.使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.特别是多次使用基本不等式,要注意等号成立的条件要一致.
2.在运用基本不等式时,还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
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答案:C
答案:B
答案:B
答案:C(共28张PPT)
3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
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课标定位
素养阐释
1.了解基本不等式的证明过程及其几何解释.
2.了解算术平均值、几何平均值的定义.
3.会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式.
4.体会数形结合思想的应用,加强逻辑推理和运算推理素养的培养.
自主预习·新知导学
基本不等式的概念
【问题思考】
1.将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形,再用这两个等腰直角三角形拼接构造一个矩形(矩形的长和宽分别等于两个等腰直角三角形的直角边,多余部分折叠),如图.假设两个正方形的面积分别为a和b(a≥b),考察两个等腰直角三角形的面积与矩形的面积,你能发现一个不等式吗?
【拓展】a2+b2≥2ab(a,b∈R)等号成立的条件是a=b,通常称为重要不等式,在求最值、证明中经常运用.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)任意两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(
×
)
(2)不等式a2+b2≥2ab中等号成立的条件是a=b.(
√
)
(4)x2+1>2x对任意实数x都成立.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一
对基本不等式的理解
答案:③
【变式训练1】
当a,b∈R时,下列不等关系成立的是 .
(填序号)?
答案:③
探究二
利用基本不等式证明不等式
1.从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
2.注意事项:(1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
易
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析
忽视基本不等式成立的条件致误
∴函数值的取值范围为y≥2.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:上述解答中应用了基本不等式,却忽略了应用基本不等式的条件——两个数应都大于零,因而导致错误.
由于
中x的取值范围为x>0或x<0,故要对x的符号加以讨论,而不能直接用基本不等式.
答案:D
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1.已知a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是( )
A.a2+b2≥2|ab|
B.a2+b2=2|ab|
C.a2+b2≤2|ab|
D.a2+b2>2|ab|
解析:∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,
∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号成立).
答案:A
答案:A
答案:B(共33张PPT)
3.1 不等式的性质
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
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课标定位
素养阐释
1.初步学会作差法比较两实数的大小.
2.掌握不等式的性质.
3.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较及证明不等式.
4.体会数学抽象的过程,加强直观想象与数学运算能力素养的培养.
自主预习·新知导学
一、实数大小的比较
【问题思考】
1.(1)对于两个实数a,b,其大小关系有哪几种可能?
提示:两个实数a,b,其大小关系有三种可能,即a>b,a=b,a
(2)如果a-b是正数,那么这两个实数的大小关系如何?反之成立吗?
提示:如果a-b是正数,则a>b,反之也成立,用数学语言可描述为a-b>0?a>b.
(3)如果a-b是负数,那么这两个实数的大小关系如何?反之成立吗?
提示:如果a-b是负数,则a2.实数的运算与其大小关系:
a-b>0?
a>b
;a-b=0?
a=b
;a-b<0?
a.
3.做一做:某工厂8月的产量比9月的产量少;甲物体比乙物体重;A容器与B容器的容积相等.若前一个量用a表示,后一个量用b表示,则上述事实可表示为 ; ; .
答案:ab a=b
二、不等式的性质
【问题思考】
1.(1)在解不等式x-3>2时,通过移项得x>5,其理论依据是什么?
提示:不等式两边同时加上一个数不等号方向不变.
(2)已知3>2,若两边同时乘2,不等式成立吗?若两边同时乘c(c为常数),不等式成立吗?
提示:同时乘2,不等式成立.
两边同时乘c,不等式不一定成立,当c=0时,3c=2c;
当c>0时,3c>2c;
当c<0时,3c<2c.
(3)已知3>2,32>22,那么3n>2n(n∈N+)成立吗?
提示:成立.
提示:成立.
2.不等式的性质
性质1 如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质2 如果a>b,那么a+c>b+c.
性质3 (1)如果a>b,c>0,那么ac>bc;(2)如果a>b,c<0,那么ac性质4 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d
.
性质5 (1)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;(2)如果a>b>0,c特殊地,当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2.
3.想一想:若a>b,c>d,则下列不等关系不一定成立的是( )
A.a-b>d-c
B.a+d>b+c
C.a-c>b-c
D.a-c解析:由a>b,c>d,得a+c>b+d,移项得,a-b>d-c,A正确;由a>b得a-c>b-c,C正确;由c>d得-c<-d,所以a-c答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)当x=5时,x≥5一定成立.(
√
)
(2)当x≥5时,x=5一定成立.(
×
)
(3)若x≤2,或x≥2,则x一定等于2.(
×
)
(4)若a>b>c,a+2b+3c=0,则ac>bc.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
作差比较大小
【例1】
已知a,b均为正实数.试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小.
解:a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)
=a2(a-b)+b2(b-a)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).
当a=b时,a-b=0,所以a3+b3=a2b+ab2;
当a≠b时,(a-b)2>0,又a>0,b>0,所以a+b>0,所以a3+b3>a2b+ab2.
综上所述,a3+b3≥a2b+ab2.
比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.作差法比较实数大小的一般步骤是:作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步,变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.
【变式训练1】
已知x≤1,试比较3x3与3x2-x+1的大小.
解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).
由x≤1得x-1≤0,而3x2+1>0,
所以(3x2+1)(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1.
探究二
利用不等式的性质证明简单不等式
分析:证明不等式,要紧扣不等式的性质进行恒等变形,注意条件与结论之间的联系.
探究三
不等式性质的应用
【例3】
已知a<0,-1A.a>ab>ab2
B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2
D.ab>ab2>a
分析:根据已知条件两两作差比较→或根据a,b的范围取特值验证→注意要在给定范围
解析:(方法一)因为a<0,-1所以ab2-a=a(b2-1)>0,ab-ab2=ab(1-b)>0.
所以ab>ab2>a,故选D.
答案:D
1.本例中若把已知条件改为0答案:A
答案:C
利用不等式判断正误的两种方法
(1)直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质证明;对于说法错误的只需举出一个反例即可.
(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.
易
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因忽视不等式的性质的单向性致误
【典例】
已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.
错解
1≤a-b≤2,①
2≤a+b≤4,②
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
把条件中的a-b和a+b分别看作一个整体,采用整体代入法,并结合不等式的性质求解,可以得到正确的结论.
随
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习
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是( )
A.a>b>-b>-a
B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a
D.a>b>-a>-b
解析:由a+b>0知a>-b,-a又b<0,所以-b>0,
所以a>-b>b>-a.
答案:C
2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( )
A.M>N
B.M=N
C.MD.与x有关
答案:A
3.若0解析:由不等式的性质,当b>a>0时,b3>a3.
答案:b3>a3
4.若1≤x≤3,2≤y≤4,求x-y的取值范围.
解:因为2≤y≤4,所以-4≤-y≤-2,又1≤x≤3,所以-3≤x-y≤1.
故x-y的取值范围是[-3,1].