(共39张PPT)
2.2 全称量词与存在量词
第2课时 全称量词命题
与存在量词命题的否定
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
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课标定位
素养阐释
1.掌握对含有一个量词的命题的否定方法.正确掌握量词的否定的各种形式.
2.明确全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.
3.通过对命题否定的学习,体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用,提升交流的严谨性与准确性.
自主预习·新知导学
一、全称量词命题的否定
【问题思考】
1.观察下列命题:
①所有矩形都是平行四边形;
②每一个数的平方都是正数;
③?x∈R,|x|≥0.
(1)上述命题是全称量词命题还是存在量词命题?你能写出它们的否定吗?
提示:它们都是全称量词命题.(1)的否定是“存在一个矩形不是平行四边形”;命题(2)的否定是“存在一个数的平方不是正数”;(3)的否定是“?x∈R,使|x|<0”.
(2)观察以上三个命题的否定在形式上有什么变化?这种变化是否对任意一个全称量词命题都有此规律?你能概括出来吗?
提示:从命题形式看,这三个命题的否定都变成了存在量词命题.这种变化对任意一个全称量词命题都有这种规律,即“?x∈M,p(x)成立”的否定为“?x∈M,使p(x)不成立”.
2.全称量词命题的否定
(1)语言描述
一般地,要否定一个全称量词命题,只需要在给定集合中找到一个元素,使命题的结论不正确,即全称量词命题不成立.
(2)全称量词命题的否定是存在量词命题.
对于全称量词命题p:?x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为?x∈M,x不具有性质p(x).
3.想一想:用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗?
提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
4.做一做:命题“?x2>4,有x>2”的否定是( )
A.?x2>4,有x≤2
B.?x2≤4,有x≤2
C.?x2>4,使x≤2
D.?x2≤4,使x≤2
解析:所给命题“?x2>4,有x>2”是全称量词命题,它的否定是存在量词命题,为“?x2>4,使x≤2”.
答案:C
二、存在量词命题的否定
【问题思考】
1.给出下列命题:
①有些实数的绝对值是正数;
②某些平行四边形是菱形;
③?x∈R,x2+1<0.
(1)上述命题是全称量词命题还是存在量词命题?你能写出它们的否定吗?
提示:它们是存在量词命题.其中①的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”,②的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”,③的否定是“?x∈R,x2+1≥0”.
(2)观察以上三个命题的否定在形式上有什么变化?这种变化是否对任意一个存在量词命题都有此规律?你能概括出来吗?
提示:这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题,这种变化对任意一个存在量词命题都有这种规律,即“?x∈M,使p(x)成立”的否定为“?x∈M,p(x)都不成立”.
2.存在量词命题的否定
(1)语言描述
一般地,要否定一个存在量词命题,需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立.
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题.
对于存在量词命题p:?x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为?x∈M,x不具有性质p(x).
(3)一些常见词语的否定
3.做一做:
命题:“有的四边形是平行四边形”的否定为?
.?
答案:“所有的四边形都不是平行四边形”
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)全称量词命题的否定就是把结论否定.(
×
)
(2)“?锐角A,使sin
A=cos
A”的否定是“?角A,使sin
A≠cos
A”.
(
×
)
(3)小于的否定是大于.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
全称量词命题的否定
【例1】
写出下列全称量词命题的否定:
(1)任何一个平行四边形的对边都平行;
(2)任意a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;
(3)可以被5整除的整数,末位是0.
解:(1)原命题的否定是“存在一个平行四边形,它的对边不都平行”.
(2)原命题的否定是“存在a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在”.
(3)原命题的否定是“存在被5整除的整数,末位不是0”.
全称量词命题的否定的两个关键
(1)看格式:写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)看含义:有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定写成“是”或“不是”.
【变式训练1】
写出下列全称量词命题的否定:
(1)p:所有自然数的平方都是正数;
(2)p:任何实数x都是方程5x-12=0的根.
解:(1)原命题的否定是“有些自然数的平方不是正数”.
(2)原命题的否定是“存在实数x不是方程5x-12=0的根”.
探究二
存在量词命题的否定
【例2】
写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)有些实数的相反数是正数;
(2)某些菱形是正方形;
分析:先把存在量词改为全称量词,然后把结论否定,推理或举特例判断命题的真假.
解:(1)命题的否定是“不存在一个实数,它的相反数是正数”,即“所有实数的相反数都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个菱形是正方形”,即“每一个菱形都不是正方形”.由于邻边互相垂直的菱形是正方形,因此命题的否定是假命题.
写存在量词命题的否定的方法:
(1)将存在量词改写为全称量词.
(2)将结论否定.
【变式训练2】
命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方都不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数
解析:根据存在量词命题的否定是全称量词命题,先将存在量词改为全称量词,然后否定结论,故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方都不是有理数”.
答案:B
探究三
全称(存在)量词命题的否定的应用
【例3】
已知命题“对于任意x∈R,x2+x+a≥0”是假命题,求实数a的取值范围.
分析:由其否定是真命题→先求其否定→转化为不等式恒成立求解
解:因为全称量词命题“对于任意x∈R,x2+x+a≥0”的否定形式为“存在x∈R,x2+x+a<0”.
由于原命题是假命题,所以其否定为真命题.
由于函数y=x2+x+a的图象是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象,易知Δ=1-4a>0,
1.本例中把条件“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.
2.本例中把条件“对于任意x∈R,x2+x+a≥0”改为“对任意x>0,x2+ax+1≥0”,则实数a的取值范围是 .
解析:由题意,命题的否定是“存在x>0,x2+ax+1<0”,为真命题.
因为函数f(x)=x2+ax+1的图象是开口向上的抛物线,且过点(0,1),借助二次函数的图象(图略),
故实数a的取值范围是(-∞,-2).
答案:(-∞,-2)
【变式训练3】
由命题“存在x∈R,使x2-2x+2-m≤0”是假命题,得m的取值范围是(-∞,a),则实数a的值是 .?
解析:命题“存在x∈R,使x2-2x+2-m≤0”的否定为“?x∈R,有x2-2x+2-m>0”,且为真命题,即对?x∈R,有m
只需m<(x2-2x+2)min,又x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,则m<1,故a=1.
答案:1
易
错
辨
析
对命题的否定理解不透彻致误
【典例】
写出下列命题的否定.
(1)?x∈R,都有x2=1.
(2)?x∈R,使x2=1.
错解
它们的否定分别是:
(1)?x∈R,都有x2≠1.
(2)?x∈R,使x2≠1.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:对命题进行否定时没有改变量词.
正解:它们的否定分别是:
(1)?x∈R,使x2≠1.
(2)?x∈R,都有x2≠1.
全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题,对全称量词命题和存在量词命题否定时,不仅要否定结论,还要将全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词.
【变式训练】
写出下列命题的否定.
(1)所有的负数都小于零;
(2)至少有一个实数x,使x3+1=0.
解:(1)命题的否定为“至少存在一个负数不小于零”.
(2)命题的否定为“?x∈R,x3+1≠0”.
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1.命题“?x∈R,?n∈N+,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.?x∈R,?n∈N+,使得nB.?x∈R,?n∈N+,有nC.?x∈R,?n∈N+,使得nD.?x∈R,?n∈N+,有n解析:?的否定是?,?的否定是?,n≥x2的否定是n答案:D
2.命题?x>0,使x2-3x+2>0的否定为( )
A.?x>0,x2-3x+2≤0
B.?x≤0,x2-3x+2≤0
C.?x>0,有x2-3x+2≤0
D.?x≤0,有x2-3x+2≤0
解析:该命题是一个存在量词命题,
它的否定为“?x>0,有x2-3x+2≤0”.
答案:C
3.下列命题的否定为假命题的是( )
A.?x∈R,使x2+2x+2≤0
B.任意一个四边形的四个顶点共圆
C.所有能被3整除的整数都是奇数
D.?x∈R,有x2≥0
解析:因为x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,原命题为假命题,则其否定为真命题;根据圆内接四边形的定义,可得任意一个四边形的四个顶点共圆为假命题,其否定为真命题;所有能被3整除的整数都是奇数为假命题,如整数6,它是偶数,故其否定为真命题;
?x∈R,有x2≥0为真命题,所以它的否定是假命题.
答案:D
4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出它们的否定.
(1)p:对任意的x∈R,都有≤1成立.
(2)q:?x∈R,使x2+1>3x.
(3)r:所有的正方形都是矩形.
(4)s:有些三角形是锐角三角形.
解:命题(1)(3)为全称量词命题,命题(2)(4)为存在量词命题.
(1)命题p的否定为“?x∈R,使>1成立”.
(2)命题q的否定为“?x∈R,有x2+1≤3x”.
(3)命题r的否定为“至少存在一个正方形不是矩形”.
(4)命题s的否定为“所有的三角形都不是锐角三角形”.
5.已知命题p:任意x∈R,有ax2-2x+3≥0,如果命题p的否定是真命题,求实数a的取值范围.(共38张PPT)
2.2 全称量词与存在量词
第1课时 全称量词命题
与存在量词命题
自主预习·新知导学
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1.理解全称量词与存在量词的含义.
2.理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的概念.
3.能判定全称量词命题和存在量词命题的真假并掌握其判断方法.
4.体会抽象概括的过程,加强逻辑推理能力素养的培养.
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一、全称量词命题
【问题思考】
1.某个城市有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡须长了,他本能地抓起了剃刀,你们说他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸.而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题.
(1)文中理发师说:“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸”.对“所有”这一词语,你还能用其他词语代替吗?
(2)上述词语都有什么含义?
提示:(1)任意一个,全部,每个.
(2)表示某个范围内的整体或全部.
2.全称量词命题
(1)在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.
(2)在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词.用符号“?”表示,读作“对任意的”.
3.想一想:在全称量词命题中,量词是否可以省略?一个全称量词命题的表述是否唯一?
提示:在有些全称量词命题中,全称量词是可以省略的,如“平行四边形的对角线互相平分”实际应解读为“所有平行四边形的对角线都互相平分”.一个全称量词命题的表述不唯一.对于一个全称量词命题,由于自然语言的不同,可以有不同的表述方法,只要形式正确即可.
二、存在量词命题
【问题思考】
1.观察下列语句:
①存在一个x∈R,使2x+1=3;
②至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
(1)语句①②是命题吗?若是命题,判断其真假.
(2)语句①②中的“存在一个”“至少有一个”有什么含义?
(3)你能写出一些与问题(2)中具有相同意义的词语吗?
提示:(1)是命题,都为真命题.
(2)表示总体中“个别”或“一部分”.
(3)某些,有的,有些.
2.存在量词命题
(1)在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.
(2)在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“?”表示,读作“存在”.
3.做一做:命题“有的质数是奇数”中的量词是 .?
答案:有的
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.(
×
)
(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.
(
√
)
(3)全称量词命题中一定含有全称量词,存在量词命题中一定含有存在量词.(
×
)
(4)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题.(
×
)
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探究一
探究二
探究三
探究一
全称量词命题的判断
【例1】
下列命题是不是全称量词命题,如果是,请指出全称量词,并判断真假.
(1)所有的质数都是偶数;
(2)任意x∈R,(x-1)2+1≥1;
(3)任何无理数的平方还是无理数.
解:(1)是全称量词命题,“所有”是全称量词,因为3是质数,但不是偶数,所以该命题是假命题;
(2)是全称量词命题,“任意”是全称量词,是真命题;
(3)是全称量词命题,“任何”是全称量词,因为
是有理数,所以该命题是假命题.
判定一个语句是全称量词命题的三个步骤
(1)判定语句是不是命题,如果不是命题,那么当然不是全称量词命题.
(2)量词判断:若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题.
(3)语意判断:当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.
【变式训练1】
下列命题是不是全称量词命题,如果是,请指出全称量词,并判断真假.
(1)对任意实数x,都有x2≥0;
(2)菱形的对角线相等.
解:(1)是全称量词命题,“任意”是全称量词,是真命题;
(2)是全称量词命题,省略全称量词“所有”,是假命题.
探究二
存在量词命题的判断
【例2】
指出下列命题中,哪些是存在量词命题,并判断真假.
(1)存在一个x∈R,使
(2)存在一个实数,它的相反数等于它本身;
(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示;
(4)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.
分析:先判断命题的类型,全称量词命题通过推理判断,存在量词命题通过举特例判断.
解:(1)(2)(4)是存在量词命题;(3)是全称量词命题.
(1)因为不存在x0∈R,使
成立,所以该命题是假命题.
(2)存在一个实数零,它的相反数等于它本身,所以该命题是真命题.
(3)如:边长为1的正方形的对角线长为
,它的长度就不是有理数,所以该命题是假命题.
(4)因为该方程的判别式Δ=-31<0,所以该方程无实数解,所以该命题是假命题.
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题时,需要注意以下两点
(1)若命题中含有量词,则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词;
(2)若命题中不含有量词,则要根据命题的实际意义进行判断.
【变式训练2】
下列命题为存在量词命题的是( )
A.自然数都是正整数
B.存在x=1,使方程x2+x-2=0
C.对任意x∈{x|x>-1},3x+4>0都成立
D.对顶角相等
解析:A,D中命题都省略了全称量词“所有”,所以A,D都是全称量词命题;C中含有全称量词“任意”,是全称量词命题,B中命题含有存在量词“存在”,所以B是存在量词命题,故选B.
答案:B
探究三
根据全称(存在)量词命题求参数范围
【例3】
若命题“?x∈R,使得x2+2x+a-1<0”是真命题,求实数a的取值范围.
分析:先把问题转化为二次函数的图象与x轴的交点问题→利用判别式构造不等式→解不等式得结论
解:因为?x∈R,使得x2+2x+a-1<0,所以二次函数y=x2+2x+a-1的图象与x轴有两个公共点,所以Δ=22-4(a-1)>0,解得a<2.
故实数a的取值范围是(-∞,2).
1.把本例中“真命题”改为“假命题”,其他条件不变,则结果是什么?
解:由题意,可知Δ=22-4(a-1)≤0,解得a≥2.
故实数a的取值范围是[2,+∞).
2.若把本例条件改为“?x∈[-1,+∞),x2+2x+a-1>0”,其他条件不变,则a的取值范围是什么?
解:“?x∈[-1,+∞),x2+2x+a-1>0”恒成立,等价于1-a即1-a<(x2+2x)min,x∈[-1,+∞),
又当x∈[-1,+∞)时,y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1,
即(x2+2x)min=-1.故1-a<-1,解得a>2.
1.全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,其为真时,转化为相应的数学问题(如函数、方程、不等式等),再利用相应知识构建方程或不等式求解.
2.存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”
“不存在”“是否存在”等语句表述,解答该类问题时,一般先对结论作出存在的假设,转化为相应的数学问题求解,再结合条件看求解是否合理,否则否定假设.
【变式训练3】
若“?x∈[-1,1],m≤x2+1”为真命题,则实数m的最大值为 .?
解析:“?x∈[-1,1],m≤x2+1”为真命题,
当x∈[-1,1]时,1≤x2+1≤2,
所以m≤1,故实数m的最大值为1.
答案:1
易
错
辨
析
答案
A
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:没有理解全称量词命题与存在量词命题的本质含义.
正解:设y=f(x)=x2-2x(x∈[-1,2]),y=g(x)=ax+2(a>0)(x∈[-1,2]),由于函数f(x)在定义域[-1,2]内是任意取值的,且必存在x0∈
[-1,2]使得f(x1)=g(x0),因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集.函数f(x)的值域是[-1,3],函数g(x)的值域是
[2-a,2+2a](a>0),则有2-a≤-1,且2+2a≥3,即a≥3,又a>0,故实数a的取值范围为a≥3.
答案:C
正确理解全称量词命题与存在量词命题的本质含义,特别是全称量词命题中元素的任意性和存在量词命题中元素的存在性.
答案:B
随
堂
练
习
1.下列说法正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题;
②命题“?x∈R,x2+2<0”是全称量词命题;
③命题“?x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:只有②③正确.
答案:C
2.下列命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使
解析:B,D是存在量词命题,但D是假命题,故选B.
答案:B
3.下列语句是存在量词命题的是( )
A.整数n是2和7的倍数
B.存在整数n0,使n0能被11整除
C.若4x-3=0,则
D.?x∈M,p(x)成立
解析:B中含存在量词“存在”.
答案:B
4.下列命题,是全称量词命题的是 ;是存在量词命题的是 .(填序号)?
①正方形的四条边相等;
②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.
解析:①②③都是省略了全称量词的全称量词命题.④是存在量词命题.
答案:①②③ ④
5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假:
(1)?x,x-2≤0;
(2)三角形两边之和大于第三边;
(3)有些整数是偶数.
解:(1)存在量词命题.x=1时,x-2=-1≤0,
故存在量词命题“?x,x-2≤0”是真命题.
(2)全称量词命题.三角形中,任意两边之和大于第三边.
故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.
(3)存在量词命题.2是整数,2也是偶数.
故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.
6.已知命题p:“?m∈R,使关于x的方程x2+mx+1=0有两个不等负实根”是真命题,求实数m的取值范围.(共39张PPT)
2.1 必要条件与充分条件
第2课时 充要条件
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合作探究·释疑解惑
易
错
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课标定位
素养阐释
1.理解充要条件的意义.
2.掌握充分、必要、充要条件的应用.
3.区分充分不必要条件、必要不充分条件.
4.体会抽象概括的过程,加强逻辑推理素养的培养.
自主预习·新知导学
一、充要条件的含义
【问题思考】
1.(1)已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?
提示:因为p?q,所以p是q的充分条件.
又q?p,所以p是q的必要条件.
(2)通过问题(1)的判断,你发现了什么?这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立?你能用数学语言概括出来吗?
提示:可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,且这种关系对“若p,则q”的命题只要具备p?q,且q?p都成立,即p?q.
2.填空:抽象概括
一般地,如果
p?q
,且
q?p
,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作
p?q
.
3.想一想:符号“?”的含义是什么?
提示:符号“?”的含义是“等价于”.
二、充分条件、必要条件、充要条件的判断
【问题思考】
1.观察两个集合A={x|x>0}和B={x|x>1},
(1)集合A,B满足什么关系?
(2)若p:x>0,q:x>1,则p是q的什么条件?
提示:(1)B?A.
(2)p是q的必要条件.
2.想一想:若p不是q的充分条件,则q可能是p的必要条件吗?p可能是q的必要条件吗?
提示:充分条件与必要条件是共存的,如果p不是q的充分条件,则q也不是p的必要条件.但p可能是q的必要条件.
4.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
设条件p,q对应的集合分别为A,B.
(1)若A?B,则p是q的充分条件,若A?B,则p是q的充分条件,但不是必要条件;
(2)若B?A,则p是q的必要条件,若B?A,则p是q的必要条件,但不是充分条件;
(3)若A=B,则p,q互为充要条件.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)当p是q的充要条件时,也可以说成q成立当且仅当p成立.
(
√
)
(2)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题.
(
√
)
(4)“1×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
充要条件的判断
【例1】
在下列各题中,试判断p是q的什么条件.
(1)若a,b∈R,p:a2+b2≠0,q:a,b不全为0;
(2)p:x=1,q:x2-2x+1=0.
解:(1)由a2+b2≠0?a,b不全为0,反之,由a,b不全为0?a2+b2≠0,
故p是q的充要条件.
(2)解x2-2x+1=0,得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件,即p是q的充要条件.
判断充要条件的两种思路
(1)命题角度:判断p?q及q?p这两个命题是否成立.若两者都成立,则p与q互为充要条件.
(2)集合角度:从集合角度去判断,结合集合中“小集合?大集合”的关系来理解.
【变式训练1】
a,b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A.ab=0
B.ab>0
C.a2+b2=0
D.a2+b2>0
解析:若a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.
答案:D
探究二
充分、必要条件的判断
【例2】
在下列各题中,试判断p是q的什么条件.
(1)p:y+x>4,q:x>1,y>3;
(2)p:a>b,c<0,q:ac(3)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC为等腰三角形.
解:(1)y+x>4不能推出x>1,y>3,即p
q,而x>1,y>3可得x+y>4,即q?p,故p是q的必要条件,但不是充分条件.
(2)当a>b,c<0时,有acb,c<0,也可能是a0,即q
p,故p是q的充分条件,但不是必要条件.
(3)如图.由图可知p,q对应集合间无
包含关系,故p既不是q的充分条件,
也不是q的必要条件.
充分、必要条件判断的常用方法
(1)定义法:分清条件和结论,利用定义判断;
(2)等价法:将不易判断的命题转化为它的等价命题判断;
(3)集合法.
【变式训练2】
对任意实数a,b,c,给出下列命题:
①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;
④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中为真命题的是 .(填序号)?
解析:①由a=b,可得ac=bc.但ac=bc时不一定有a=b,故①为假命题;②由“a+5为无理数”可得“a为无理数”,由“a为无理数”可得“a+5为无理数”,故②为真命题;③由“a>b”不能得出a2>b2,如a=1,b=-2,故③为假命题;④“由a<5”不能推出“a<3”,而由“a<3”可推出“a<5”,故④为真命题.
答案:②④
探究三
充要条件的证明
1.要证明充要条件,就是要证明两个,一个是充分条件,另一个是必要条件.
2.证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p?q是证明充分性,推证q?p是证明必要性.
【变式训练3】
求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
证明:设方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2.必要性:因为方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根,
所以方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根.
探究四
与充分、必要及充要条件相关的参数值的求解
【例4】
已知条件p:A={x|(x-1)(x-a)≤0},条件q:B={x|1≤x≤2},当a为何值时,p是q的充分条件,但不是必要条件.
分析:将p,q的关系转化为A,B的关系→构建不等式求解→解不等式得结论
解:由已知A={x|(x-1)(x-a)≤0},B={x|1≤x≤2}.
因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A?B,而当a=1时,A={1},显然成立;
当a>1,A={x|1≤x≤a},则需a<2,故1当a<1时,A={x|a≤x≤1},显然不满足A?B.
综上可知1≤a<2时,p是q的充分条件,但不是必要条件.
1.本例中条件不变,若p是q的必要条件,但不是充分条件,求实数a的取值范围.
解:因为p是q的必要条件,但不是充分条件,所以B?A,则A={x|1≤x≤a},且a>2,所以a>2时p是q的必要条件,但不是充分条件.
2.本例中条件不变,若p是q的充要条件,求实数a的值.
解:因为p是q的充要条件,所以A=B,故a=2.
3.若把本例中集合B改为B={x|-2≤x≤1},其他条件不变,则当a为何值时,p是q的充分条件,但不是必要条件?
解:因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A?B,与例4同理,可得-2应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤:
(1)根据已知条件将充分不必要、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系;
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解.
易
错
辨
析
不能准确判断充要条件致误
【典例】
“函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方”是“0错解
设p:函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,q:0因为当00恒成立,即函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,故q?p.
得0所以p是q的充要条件.
答案
充要
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:忽略了a=0时y=ax2+ax+1>0变为1>0这一情况.
正解:设p:函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,q:0因为当0而当a=0时,函数y=ax2+ax+1的值为1,其图象在x轴上方,
所以p
q.
故p为q的必要条件,但不是充分条件.
答案:必要不充分
用定义判断时无论是p?q,还是q?p,均要认真考虑是否有反例,这一点往往是判断充分性和必要性的关键和难点.
随
堂
练
习
1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的( )
A.充分条件,但不是必要条件
B.必要条件,但不是充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:∵A={1,a},B={1,2,3},A?B,
∴a∈B,且a≠1,
∴a=2或a=3,
∴“a=3”是“A?B”的充分条件,但不是必要条件.
答案:A
2.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( )
A.m=-2
B.m=2
C.m=-1
D.m=1
解析:由函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,可得
,即m=-2,且当m=-2时,函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称.
答案:A
3.已知a,b,c,d为实数,且c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( )
A.充分条件,但不是必要条件
B.必要条件,但不是充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为c>d,所以-c<-d,故由a>b,推不出a-c>b-d,而由a-c>b-d,c>d,两式左右两边分别相加得出a>b.
答案:B
4.设p:x<3,q:-1A.充要条件
B.充分条件,但不是必要条件
C.必要条件,但不是充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为p:x<3,q:-1q,所以p是q成立的必要条件,但不是充分条件,故选C.
答案:C
5.若“p:x(x-3)<0”是“q:2x-3答案:[3,+∞)(共33张PPT)
2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
课标定位
素养阐释
1.理解充分条件、必要条件的含义.
2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件.
3.能够利用命题之间的关系判定充分、必要关系.
4.体会数学抽象和推理的过程,提升逻辑推理的素养.
自主预习·新知导学
一、必要条件与性质定理
【问题思考】
1.古时候有个卖油郎,名叫洛孝.一天,他在卖油回家的路上捡到30两银子,回家后其母亲要求洛孝把银子还给失主.当洛孝把银子还给失主时,失主却说自己丢了50两银子,要洛孝拿出自己私留的20两银子.两人为此争执不休,告到县衙.县官听了两人的供述后,把银子判给洛孝,失主含羞离去.
设A:洛孝拾到30两银子,失主丢失50两银子.
B:洛孝所拾银子不是失主所丢.
县官由A得出什么结论?它是A的什么条件?
提示:B,必要条件.
2.填空:必要条件的含义
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.
3.做一做:
p:a<1,q:|a|<1,则p是q的 条件.?
解析:∵a≤|a|<1,∴|a|<1?a<1,
∴p是q的必要条件.
答案:必要
二、充分条件与判定定理
【问题思考】
有一个圆A,在其内又含有一个圆B.请回答:
1.“点在A内”是“点在B内”的什么条件?
提示:由已知B?A,所以点在B内,能推出点在A内,故“点在A内”是“点在B内”的必要条件.
2.“点在B内”是“点在A内”的什么条件?
提示:因为点在B内?点一定在A内,所以“点在B内”是“点在A内”的充分条件.
3.填空:充分条件的含义
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.
4.想一想:(1)若p是q的充分条件,这样的条件p唯一吗?
提示:不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分条件,p可以是“x>2”“x>3”或“2(2)“若p,则q”为真命题,则p是q的什么条件?
提示:充分条件.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)当p是q的必要条件时,也可以说成q成立则必有p成立.(
√
)
(2)若p是q的充分条件,则p成立,一定有q成立.(
√
)
(3)若p
q,则p一定不是q的充分条件.(
√
)
(4)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
必要条件
【例1】
将下面的性质定理写成“若p,则q”的形式,并用必要条件的语言表述.
(1)矩形的对角线相等;
(2)正方形的四条边相等.
解:(1)原命题可表述为“若一个四边形是矩形,则该四边形的对角线相等”,所以“四边形的对角线相等”是“该四边形是矩形”的必要条件.
(2)原命题可表述为“若一个四边形是正方形,则这个四边形的四条边相等”,所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件.
当一个命题的条件和结论不明显时,可以把它的表述适当改变,再写成“若p,则q”的形式,然后根据必要条件与命题的关系判断.
【变式训练1】
把下列命题写成“若p,则q”的形式,并用必要条件的语言表述.
(1)实数的平方是非负数;
(2)等底等高的两个三角形面积相等.
解:(1)原命题可以写成:若一个数是实数,则它的平方是非负数.所以“一个数的平方是非负数”是“这个数是实数”的必要条件.
(2)原命题可以写成:若两个三角形等底等高,则这两个三角形面积相等.
所以“两个三角形面积相等”是“这两个三角形等底等高”的必要条件.
探究二
充分条件
【例2】
用充分条件的语言表述下列命题:
(1)若p:m<-2,则q:方程x2-x-m=0无实根;
(2)“m是有理数”是“m是实数”;
(3)若a=-b,则a2=b2.
解:(1)“p:m<-2”是“q:方程x2-x-m=0无实根”的充分条件.
(2)“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.
(3)“a=-b”是“a2=b2”的充分条件.
判断充分条件的方法:(1)先确定命题的条件和结论,同时判断此命题的真假,若命题为真时,是充分条件,为假不是充分条件.(2)根据定义判断.
【变式训练2】
用充分条件的语言表述下面的定理:
(1)四条边相等的四边形是菱形;
(2)若Δ>0,则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等实根.
解:(1)“若一个四边形四条边相等”是“该四边形是菱形”的充分条件.
(2)“Δ>0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等实根”的充分条件.
探究三
充分条件、必要条件的应用
【例3】
是否存在实数p,使“4x+p<0”是“(x-2)(x+1)>0”的充分条件?若存在,求出p的取值范围;若不存在,请说明理由.
分析:先求不等式的解集→再根据条件判断两解集的关系→建立不等式求解
1.将本例中的“充分条件”改为“必要条件”,其他不变,如何求解?
解:由(x-2)(x+1)>0
4x+p<0,所以不存在实数p使“4x+p<0”是“(x-2)(x+1)>0”的必要条件.
2.写出4x+p<0的一个必要条件.
【变式训练3】
已知p:-4解:由-4又q是p的充分条件,则有{x|2应用充分条件和必要条件的两个思路
(1)确定条件与结论:确定p和q谁是条件,谁是结论.
(2)“?”符号的应用:若p?q,则p是q成立的充分条件;若q?p,则p是q成立的必要条件.
提醒:应用充分条件和必要条件,主要看能否得到p?q和q?p.
易
错
辨
析
因对充分、必要的概念理解不清致误
【典例】
已知p:x2-2x-3<0,若-a0)是p的一个必要条件,求实数a的取值范围.
错解
由x2-2x-3<0,解得-1依题意,得{x|-10).
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:分不清条件和结论,或对必要条件的概念理解不清,把必要条件当充分条件致误.必要条件是由结论推条件,充分条件由条件推结论,解题时要注意区分.
正解:由p:x2-2x-3<0,解得-10).
依题意,得{x|-10).
故实数a的取值范围是[2,+∞).
在判断充分条件、必要条件时,要特别注意哪一个是“条件”,哪一个是“结论”,否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意:若p是q的……条件,则p是条件,q是结论;若p的……条件是q,则p是结论,q是条件.
【变式训练】
已知集合P={x|a-4“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,求实数a的取值范围.
随
堂
练
习
1.“x<0,或x>4”的一个必要条件是( )
A.x<0
B.x>4
C.x<0,或x>2
D.x<-1,或x>5
解析:当x<0,或x>4时一定有x<0,或x>2.故选C.
答案:C
2.“x2=4”是“x=m”的必要条件,则m的一个值可以是( )
A.0
B.2
C.4
D.16
解析:由“x=2”能得出“x2=4”,选项B正确.
答案:B
答案:C
4.下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的命题个数为( )
①若f(x)是二次函数,则f(x)=x2;②若x>5,则x>2;
③若x2-9=0,则x=3.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①f(x)=x2?f(x)是二次函数,∴p是q的必要条件;
②x>5?x>2,∴p是q的充分条件;
③x2-9=0?x=3,∴p是q的必要条件,故选B.
答案:B
5.下面四个条件中,使“a>b”成立的充分条件是 .
(填写序号)?
①a>b-1;②a>b+1;③a2>b2;④a3>b3.
解析:取a=0.5,b=1,则a>b-1,但a当a>b+1时,因为b+1>b,所以a>b成立;故“a>b+1”是“a>b”成立的充分条件,②符合题意;
取a=-2,b=1,满足“a2>b2”,但“a>b”不成立,
故“a2>b2”不是“a>b”的充分条件,故③不符合题意;
根据立方的意义,当“a3>b3”成立时,必定有“a>b”成立,
故“a3>b3”是“a>b”的充分条件,④符合题意.
答案:②④