(共19张PPT)
1.2
应用举例
第一课时
人教A版必修五第一章解三角形
1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．
教学目标
在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：
(1)方向角
指北或指南方向线与目标方向所成的小于
度的角．
(2)仰角与俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线
时叫仰角，目标视线在水平线
时叫俯角．(如下图所示)
90
上方
下方
自主学习
问题1
试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．
探究点1： 测量可到达点与不可到达点间的距离
可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离．
问题2
如何不登月测量地月距离？
测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直接测量地月距离．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．
例1 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55
m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A，B两点间的距离．(精确到0.1
m)
所以A，B两点间的距离为65.7
m.
解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．
名师点评
探究点2： 测量两个不可到达点间的距离
例2 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间距离的方法．
测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD＝a，并且在C、D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ，
在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
引申探究
对于例2，给出另外一种测量方法．
测量者可以在河岸边选定点E、C、D，使A、E、C三点共线，
测得EC＝a，ED＝b，
并且分别测得∠BEC＝∠AED＝α，∠BCA＝β，∠ADB＝γ，
在△AED和△BEC中，应用正弦定理得
在△ABE中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离
名师点评
本方案的实质是：把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为类型一．
1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为
1
2
3
∠B＝180°－45°－105°＝30°，
√
当堂训练
1
2
3
2.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好
千米，那么x的值是___.
由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，
整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.
4
1
2
3
3.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为____
km.
7
1
2
3
因为A，B，C，D四点共圆，
所以D＋B＝π.
在△ABC和△ADC中，
由余弦定理可得
82＋52－2×8×5×cos(π－D)
＝32＋52－2×3×5×cos
D，
故AC＝7.
1.运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理.测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别.
2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
课堂小结1.2
应用举例（一）
教学目标
1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．
教学过程
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生与大家分享自己对正弦、余弦定理应用的了解。通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.
二、自主学习
1.在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：
(1)方向角
指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角．
(2)仰角与俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________时叫仰角，目标视线在水平线________时叫俯角．(如下图所示)
提示：(1)90
(2)上方 下方
三、合作探究
探究点1：有关不可到达点距离的测量问题
问题1： 试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．
提示：
问题2:如何不登月测量地月距离？
提示：可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离．
例1 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A，B两点间的距离．(精确到0.1m)
解 根据正弦定理，
得＝，
AB＝＝
＝
＝≈65.7(m)．
所以A，B两点间的距离为65.7m.
名师点评：解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．
探究点2：测量两个不可到达点间的距离
例2 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间距离的方法．
解 测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD＝a，并且在C、D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ，
在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
AC＝
＝，
BC＝
＝.
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离AB＝.
引申探究:对于例2，给出另外一种测量方法．
解 测量者可以在河岸边选定点E、C、D，使A、E、C三点共线，测得EC＝a，ED＝b，并且分别测得∠BEC＝∠AED＝α，∠BCA＝β，∠ADB＝γ，
在△AED和△BEC中，应用正弦定理得
AE＝＝，
BE＝＝.
在△ABE中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离
AB＝.
名师点评：本方案的实质是：把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为类型一．
三、当堂检测
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50m
B．50m
C．25m
D.m
2．某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是________．
3．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km.
提示：1．A 2.4 3.7
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．
2．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
六、课例点评
新课标要求要把课堂还给学生，学生是课堂中的主体，课堂是学生学习的重要空间，这节课充分凸显了新课标这一理念，在课堂中让学生有充分的展示与交流，并从学生的实践操作过程中，引领学生体会、总结数学建模的流程，教师的主导地位明确。
这节课学情分析准确，教学策略得当，在课堂上创设了良好的学习情境，能让学生在特定的情感气氛中学习，激发了学生的求知欲望和学习兴趣，消除了学生对教师的畏惧感，缩短教学内容与学生之间的时空距离，使学生一直处于积极状态，全程参与，主动学习，课堂气氛融洽，教学效果良好。(共22张PPT)
1.2
应用举例
第三课时
人教A版必修五第一章解三角形
1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.
2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．
教学目标
bcsin
A
casin
B
自主学习
π－C
问题1
探究点1： 航海中的测量问题
在浩瀚无垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向．阅读教材，看看船只是如何表达位置和航向的？
用方向角和方位角．
合作探究
方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角．
方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
梳理
例1 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5
n
mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0
n
mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01
n
mile)
在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，
所以∠CAB＝19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.
答 此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15
n
mile.
解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．
名师点评
探究点2 三角形面积公式的应用
在△ABC中，如果已知边AB、BC和角B，边BC上的高记为ha，则ha＝ABsin
B．从而可求面积．
问题
如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积．那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？
梳理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积
命题角度1 求面积
例2 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S.(精确到0.1
cm2)
(1)已知a＝14.8
cm，c＝23.5
cm，B＝148.5°；
(2)已知B＝62.7°，C＝65.8°，b＝3.16
cm；
A＝180°－(B＋C)＝180°－(62.7°＋65.8°)＝51.5°，
(3)已知三边的长分别为a＝41.4
cm，b＝27.3
cm，c＝38.7
cm.
名师点评
中含有三角形的边角关系．因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系．首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积．
命题角度2 已知三角形面积
由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，
名师点评
题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选用三角形的面积公式．
1.一艘海轮从A处出发，以40
n
mile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30
min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是
1
2
3
√
当堂训练
1
2
3
如图所示，
由已知条件可得，
∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，
∴∠BCA＝45°，
1
2
3
√
设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，
∴abc＝1.
1
2
3
1.在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
2.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
课堂小结1.2
应用举例（三）
学习目标
1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.
2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．
教学过程
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生与大家分享自己对航海测量知识的了解。通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.
二、自主学习
1．三角形的面积公式
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；
(2)S＝absin
C＝
＝
；
(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．
提示：（2）bcsin
A
casin
B
2．三角形中常用的结论
(1)A＋B＝
，＝
；
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
提示：（1）π－C
－
三、合作探究
探究点1：航海中的测量问题
问题1：:在浩瀚无垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向．阅读教材，看看船只是如何表达位置和航向的？
提示：用方向角和方位角．
例1 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01nmile)
解 在△ABC中，
∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，
根据余弦定理，
AC＝
＝
≈113.15.
根据正弦定理，＝，
sin∠CAB＝
≈≈0.3255，
所以∠CAB＝19.0°，
75°－∠CAB＝56.0°.
答 此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15nmile.
名师点评：解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．
探究点2： 三角形面积公式的应用
问题:1：如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积．那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？
提示：在△ABC中，如果已知边AB、BC和角B，边BC上的高记为ha，则ha＝ABsinB．从而可求面积．
例2 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S.(精确到0.1cm2)
(1)已知a＝14.8cm，c＝23.5cm，B＝148.5°；
(2)已知B＝62.7°，C＝65.8°，b＝3.16cm；
(3)已知三边的长分别为a＝41.4cm，b＝27.3cm，c＝38.7cm.
解： (1)应用S＝casinB，
得S＝×23.5×14.8×sin148.5°
≈90.9(cm2)．
(2)根据正弦定理＝，
得c＝，
S＝bcsinA＝b2，
A＝180°－(B＋C)
＝180°－(62.7°＋65.8°)
＝51.5°，
S＝×3.162×
≈4.0
(cm2)．
(3)根据余弦定理的推论，得
cosB＝
＝≈0.7697，
sinB＝
≈
≈0.6384.
应用S＝casinB，
得S≈×38.7×41.4×0.6384
≈511.4
(cm2)．
名师点评： 三角形面积公式S＝absinC，S＝bcsinA，S＝acsinB中含有三角形的边角关系．因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系．首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积．
例3 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.若△ABC的面积等于，求a，b.
解 由余弦定理及已知条件，
得a2＋b2－ab＝4，
又因为△ABC的面积等于，
所以absinC＝，得ab＝4，
联立方程组
解得
名师点评： 题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选用三角形的面积公式．
四、当堂检测
1．一艘海轮从A处出发，以40nmile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10nmile
B．10nmile
C．20nmile
D．20nmile
2．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )
A．1
B．2
C.
D．4
3．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.
提示：1．A 2.A 3.2
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
六、课例点评
数学建模是数学的核心素养之一，数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。本节课的教学目标是通过学生航海问题的合作与探究，培养学生有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验，加深对数学内容的理解，学会交流与合作；提升应用能力，增强创新意识和科学精神，从而进一步完善学生对“数学建模”的理解。(共19张PPT)
1.2
应用举例
第二课时
人教A版必修五第一章解三角形
天塔是天津广播电视塔的简称,总高度415.2米，耸立于碧波与云霄之间，是世界上唯一一座“水中之塔”，其势如剑倚天，享有“天塔旋云”之美称。
能实际测一测它的高度吗？
1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.
2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.
3.进一步培养学习数学、应用数学的意识．
教学目标
1.如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)
在Rt△AEC中，AE＝ACsin
α，AB＝AE＋h.
自主学习
2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5
km
再在Rt△DBC中求DC＝BCtan
8°.
后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?
命题角度1 仰角
例1 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10
m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于
探究点1 测量仰角(或俯角)求高度问题
合作探究
方法一 设AB＝x
m，则BC＝x
m.
方法二 ∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，
∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.
(1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.
(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进.
名师点评
命题角度2 俯角
例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3
m，求出山高CD.(精确到1
m)
在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.
解Rt△ABD，
CD＝BD－BC≈176.5－27.3≈149(m).
答 山的高度约为149
m.
名师点评
利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题.
探究点2： 测量方位角求高度问题
例3 如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800
m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
名师点评
此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.
1.一架飞机在海拔8
000
m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________
m.(精确到0.1
m)
1
2
3
5
856.4
当堂训练
1
2
3
2.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________.
1
2
3
3.为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度.
在△ABT中，
∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，
∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15(m).
1.在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.
2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.
课堂小结1.2
应用举例（二）
教学目标
1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.
2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.
3.进一步培养学习数学、应用数学的意识．
教学过程
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1.2应用举例（二）》课件测量“天塔”高度的问题，与大家分享自己对此类问题解决办法的了解。通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.
二、自主学习
1. 如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)
提示：
在△ACD中，＝
所以AC＝，
在Rt△AEC中，AE＝ACsinα，
AB＝AE＋h.
2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?
提示：
先在△ABC中，用正弦定理求BC＝，再在Rt△DBC中求DC＝BCtan8°.
二、合作探究
探究点1：测量仰角(或俯角)求高度问题
例1 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A．10m
B．5m
C．5(－1)
m
D．5(＋1)
m
D [设AB＝xm，则BC＝xm.
∴BD＝(10＋x)m.
∴tan∠ADB＝＝＝.
解得x＝5(＋1)m.
所以A点离地面的高AB等于5(＋1)m.]
名师点评： (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形．
(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进．
例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD.(精确到1m)
解 在△ABC中，
∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，
∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.
根据正弦定理，＝，
所以AB＝＝.
解Rt△ABD，
得BD＝ABsin∠BAD＝.
将测量数据代入上式，得
BD＝
＝
≈176.5(m)．
CD＝BD－BC≈176.5－27.3≈149(m)．
答 山的高度约为149m.
名师点评：利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．
探究点2：测量方位角求高度问题
例3 如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
解 由于CD⊥平面ABD，
∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，
∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由＝，得
AD＝＝
＝800(＋1)(m)．
即山的高度为800(＋1)
m.
名师点评：此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．
四、当堂检测
1．一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m．(精确到0.1m)
2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．
3．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．
提示：1．5856.4 2.20米，米
3．解 在△ABT中，
∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，
∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15(m)．
根据正弦定理，＝，
AT＝.
塔的高度为
AT×sin21.4°＝×sin21.4°
≈106.19(m)．
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
1．在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．
2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
六、课例点评
解三角形的应用是数学联系实际的良好素材，但是，一般情况下，教师从高考的角度出发，将重点放在解题的方法与技巧上。本课例从实际应用的角度出发，将教学重点设置为“数学建模”，从学生的视角出发，顺应学生的思维发展和学习规律，真正做到了“课堂教学以学生为主体”的教学理念。教学内容科学严谨，材料充足，语言准确，媒体使用合理有效。
