(共26张PPT)
1.1.2
余弦定理
第一课时
人教A版必修五第一章解三角形
课题引入——实际情景：
我校某研究性学习小组研究三角函数在实际生活中的应用，在其中一次实践活动中，他们在烈士公园年嘉湖畔选定A、B、C三点，借助测量工具测得C点与A、B两点的距离分别约为300米、500米，∠ACB
约为120?，他们将利用数学知识，求得两点A、B
之间的距离.
C
B
300
500
A
120?
ΔABC中，AC=300，BC=500，∠ACB
=120?，求AB长.
问题：在已知三角形ΔABC的两边a、b及其夹角C的条件下，能否利用已学的正弦定理解出三角形呢？
课题引入——数学问题：
C
B
300
500
A
120?
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
教学目标
1.a2＝
，b2＝
，
c2＝
.
2.cos
＝
cos
＝
cos
＝
A
B
C
b2＋c2－2bccos
A
c2＋a2－2cacos
B
a2＋b2－2abcos
C
自主学习
问题1
探究点1：余弦定理的推导
根据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcos
C．①
试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？
当a＝b＝c时，∠C＝60°，
a2＋b2－2abcos
C＝c2＋c2－2c·ccos
60°＝c2，
即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcos
C.
合作探究
问题2
在c2＝a2＋b2－2abcos
C中，abcos
C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？
余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要．因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示从而求出模长．
另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理．
例1 已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c.
则|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cos
C.
所以c2＝a2＋b2－2abcos
C.
所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方.
名师点评
跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？
如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，
则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos
A，bsin
A)，
∴BC2＝b2cos2A－2bccos
A＋c2＋b2sin2A，
即a2＝b2＋c2－2bccos
A.
同理可证b2＝c2＋a2－2cacos
B，
c2＝a2＋b2－2abcos
C.
每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形.
问题1
观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？
探究点2 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题
每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形.
问题2
观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？
余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形.
命题角度1 已知两边及其夹角
例2 在△ABC中，已知b＝60
cm，c＝34
cm，A＝41°，解三角形.(角度精确到1°，边长精确到1
cm)
根据余弦定理，
a2＝b2＋c2－2bccos
A＝602＋342－2×60×34×cos
41°≈1
676.78，
所以a≈41(cm).
因为c不是三角形中最大的边，
所以C为锐角，利用计算器可得C≈33°，
所以B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°)＝106°.
名师点评
已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角.
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝2，b＝
C＝15°，求A.
因为b>a，所以B>A，所以A为锐角，所以A＝30°.
命题角度2 已知三边
例3 在△ABC中，已知a＝134.6
cm，b＝87.8
cm，c＝161.7
cm，解三角形.(角度精确到1′)
∴A≈56°20′.
∴B≈32°53′.
∴C＝180°－(A＋B)≈180°－(56°20′＋32°53′)＝90°47′.
名师点评
跟踪训练3 在△ABC中，sin
A∶sin
B∶sin
C＝2∶4∶5，判断三角形的形状.
因为a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C＝2∶4∶5，
所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0).
所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形.
1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是
则三角形的另一边长为
A.52
B.
C.16
D.4
√
1
2
3
当堂训练
1
2
3
∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
√
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为
1
2
3
设顶角为C，周长为l，因为l＝5c，
所以a＝b＝2c，
√
1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形.
(2)已知三边求三角形的任意一角.
2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.
(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.
课堂小结1.1.2 余弦定理(一)
教学目标
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
教学过程
一、创设情景
教师首先提出问题：让学生通过观看《1.1.2余弦定理（一）》课件“课题引入—实际情景”部分，与大家分享自己对余弦定理的了解。通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价。
二、自主学习
1．
a2＝__________________________________________，
b2＝__________________________________________，
c2＝__________________________________________.
2．
cos____＝；
cos____＝；
cos____＝.
提示：1．b2＋c2－2bccosA c2＋a2－2cacosB a2＋b2－2abcosC
2．A B C
三、合作探究
探究点1：余弦定理的推导
问题1 根据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC．①
试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？
提示：当a＝b＝c时，∠C＝60°，
a2＋b2－2abcosC＝c2＋c2－2c·ccos60°＝c2，
即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcosC.
问题2 在c2＝a2＋b2－2abcosC中，abcosC能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？
提示：abcosC＝||||cos?，?＝·.
∴a2＋b2－2abcosC
＝2＋2－2·
＝(－)2＝2
＝c2.
猜想得证．
例1 已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c.
解 如图，设＝a，＝b，＝c，
由＝－，知c＝a－b，
则|c|2＝c·c
＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cosC.
所以c2＝a2＋b2－2abcosC.
名师点评：所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方．
探究点2： 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题
问题1 观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？
提示：每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角．故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．
问题2 观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？
提示：每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．
例2 在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1cm)
解 根据余弦定理，
a2＝b2＋c2－2bccosA＝602＋342－2×60×34×cos41°≈1676.78，
所以a≈41(cm)．
由正弦定理得，
sinC＝≈≈0.5440.
因为c不是三角形中最大的边，
所以C为锐角，利用计算器可得C≈33°，
所以B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°)＝106°.
名师点评：已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角．
例3 在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形．(角度精确到1′)
解 ∵cosA＝
＝
≈0.5543，
∴A≈56°20′.
∵cosB＝
＝
≈0.8398，
∴B≈32°53′.
∴C＝180°－(A＋B)
≈180°－(56°20′＋32°53′)＝90°47′.
名师点评：已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cosA＝，cosB＝，cosC＝求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理．
四、当堂检测
1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长为( )
A．52
B．2
C．16
D．4
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A.
B.
C.
D.
3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
提示：1．B 2.B 3.D
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形．
(2)已知三边求三角形的任意一角．
2．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．
(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．
六、课例点评
本节课教学过程以“解三角形”为主题，以“提出问题—确定方案—探究解决”为主线，从解三角形完备性出发，提出问题，引发学生思考，引导和组织学生积极探究，学生完整经历从解三角形中自然发现余弦定理的过程，并对余弦定理的内涵和外延做了一定的研究。通过对旧知识应用中提炼出新知识，从而新旧知识融为一体，使学生建立完整的知识系统。在知识建立的过程中是螺旋式的上升，符合学生的实际，学生对数形结合，转化与化归等数学思想方法有了进一步的体验和认识。
本节课的教学目标明确，重点突出，教学设计总体思路清晰，难点突破自然流畅。学生已经学习了三角函数、平面向量、正弦定理等有关内容，已能解决一些简单的边角关系，在此基础上探求余弦定理，并要求学生正确理解定理的结构特征，正确解决三角形＂边角边＂，＂边边边＂的问题，通过定理的应用，完善了解三角形体系。本节课的难点是余弦定理的推导，在教学设计上本节课对学生和问题进行了合理的设疑，正确的引导学生通过计算---归纳---推理余弦定理，培养了学生发现问题、探索问题、解决问题的能力，养成良好的思考习惯。教学中，引导学生从已学知识进行多角度分析问题，从而培养了学生思考问题的灵活性，在得到充分的讨论后，找出问题解决的办法，揭示了蕴含在处理问题中的数学思想方法，不仅知其然，而且知其所以然，激发学生探究问题的欲望，培养应用数学知识的能力。(共30张PPT)
1.1.2
余弦定理
第二课时
人教A版必修五第一章解三角形
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.
2.会用余弦定理解三角形.
3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、
证明及形状判断等问题．
教学目标
能．在余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B中，已知三个量AC＝b，AB＝c，cos
B，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可．
自主学习
2.已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：
(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；
(2)当A为直角且a>b时，三角形的解唯一；
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：
①当a
②当a＝CD时，一解；
③当CD④当a≥b时，一解．
(4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
探究点1：三角形的形状
不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cos
C的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说．
问题1
三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判断？
合作探究
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
问题2
△ABC中，sin
2A＝sin
2B.则A，B一定相等吗？
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
例1 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin
A＝2sin
Bcos
C，试判断△ABC的形状．
由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，
又sin
A＝2sin
Bcos
C.
∴由正弦、余弦定理，
∴b2＝c2，b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
变式训练：将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状．
由(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，得
(b2＋c2－a2)2＝bc(b2＋c2－a2)，
∴(b2＋c2－a2)(b2＋c2－a2－bc)＝0，
∴b2＋c2－a2＝0或b2＋c2－a2－bc＝0，
∴a2＝b2＋c2或b2＋c2－a2＝bc，
由a2＝b2＋c2，得A＝90°，
∴A＝60°，
∴△ABC为等边三角形或等腰直角三角形．
名师点评
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断．
(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2
＝2bccos
A，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等等．
跟踪训练1 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
方法一 根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos
B.
∵B＝60°，2b＝a＋c，
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.
又∵2b＝a＋c，∴2b＝2c，即b＝c.
∴△ABC是等边三角形．
方法二 根据正弦定理，
2b＝a＋c可转化为2sin
B＝sin
A＋sin
C.
又∵B＝60°，
∴A＋C＝120°，∴C＝120°－A，
∴2sin
60°＝sin
A＋sin(120°－A)，A∈(0°，120°)，
整理得sin(A＋30°)＝1，A＋30°∈(30°，150°)，
∴A＋30°＝90°，
∴A＝60°，C＝60°.
∴△ABC是等边三角形．
探究点2 证明三角形中的恒等式
问题：
前面我们用正弦定理化简过acos
B＝bcos
A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？
证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异．
例2 在△ABC中，有
(1)a＝bcos
C＋ccos
B；
(2)b＝ccos
A＋acos
C；
(3)c＝acos
B＋bcos
A，
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
方法一 (1)由正弦定理，得
b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C，
∴bcos
C＋ccos
B＝2Rsin
Bcos
C＋2Rsin
Ccos
B
＝2R(sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C)
＝2Rsin(B＋C)
＝2Rsin
A＝a.
即a＝bcos
C＋ccos
B.
同理可证(2)b＝ccos
A＋acos
C；
(3)c＝acos
B＋bcos
A.
方法二 (1)由余弦定理，得
∴a＝bcos
C＋ccos
B.
同理可证(2)b＝ccos
A＋acos
C；
(3)c＝acos
B＋bcos
A.
名师点评
证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．
跟踪训练2 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：
∴等式成立．
∴等式成立．
1.在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于
A.60°
B.45°或135°
C.120°
D.30°
1
2
3
∵b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋c2＋ac，
√
∵0°∴B＝120°.
当堂训练
1
2
3
2.在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos
Bcos
C，则△ABC的形状一定是
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
由正弦定理及已知条件，得
sin2Bsin2C＝sin
Bsin
C·cos
Bcos
C.
∵sin
Bsin
C≠0，
∴sin
Bsin
C＝cos
Bcos
C，
即cos(B＋C)＝0，
∴B＋C＝90°，∴A＝90°，
故△ABC是直角三角形.
√
1
2
3
设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
B，
即a2－6a＋8＝0，
解得a＝2或a＝4.
∴满足条件的三角形有两个.
1.已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单.
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
课堂小结
3.在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.
4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.1.1.2 余弦定理(二)
教学目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.
2.会用余弦定理解三角形.
3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．
教学过程
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生与大家分享自己对余弦定理及其变形形式的了解。通过举例说明和互相交流.做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.
二、自主学习
1. 在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，可以先用正弦定理＝求出sinC＝.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？
提示：能．在余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB中，已知三个量AC＝b，AB＝c，cosB，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可．
2.已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法为：
设在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理＝，可求得sinB＝.
(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；
(2)当A为直角且a>b时，三角形的解唯一；
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：
①当a②当a＝CD时，一解；
③当CD④当a≥b时，一解．
(4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
二、合作探究
探究点1：判断三角形的形状
问题1 三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判断？
提示：不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cosC的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说．
问题2 △ABC中，sin2A＝sin2B.则A，B一定相等吗？
提示：∵A，B∈(0，π)，
∴2A,2B∈(0,2π)，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝.
例1 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC的形状．
解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，
即b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝＝＝.
∵0又sinA＝2sinBcosC.
∴由正弦、余弦定理，
得a＝2b·＝，
∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．
变式训练：将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状．
解 由(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，得
(b2＋c2－a2)2＝bc(b2＋c2－a2)，
∴(b2＋c2－a2)(b2＋c2－a2－bc)＝0，
∴b2＋c2－a2＝0或b2＋c2－a2－bc＝0，
∴a2＝b2＋c2或b2＋c2－a2＝bc，
由a2＝b2＋c2，得A＝90°，
由b2＋c2－a2＝bc，得cosA＝，
∴A＝60°，
∴△ABC为等边三角形或等腰直角三角形．
名师点评： (1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断．
(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2＝2bccosA，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等等．
探究点2：证明三角形中的恒等式
问题： 前面我们用正弦定理化简过acosB＝bcosA，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？
提示：由余弦定理得a＝b，去分母得a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，化简得a＝b.
例2 在△ABC中，有(1)a＝bcosC＋ccosB；
(2)b＝ccosA＋acosC；
(3)c＝acosB＋bcosA，
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
证明 方法一 (1)由正弦定理，得
b＝2RsinB，c＝2RsinC，
∴bcosC＋ccosB
＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB
＝2R(sinBcosC＋cosBsinC)
＝2Rsin(B＋C)
＝2RsinA＝a.
即a＝bcosC＋ccosB.
同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；
(3)c＝acosB＋bcosA.
方法二 (1)由余弦定理，得
cosB＝，cosC＝，
∴bcosC＋ccosB
＝b·＋c·
＝＋＝＝a.
∴a＝bcosC＋ccosB.
同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；
(3)c＝acosB＋bcosA.
名师点评：证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．
四、当堂检测
1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于( )
A．60°
B．45°或135°
C．120°
D．30°
2．在△ABC中，若b2sin2C＋C2sin2B＝2bccosBcosC，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
3．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？
提示：1．C 2.B
3．解 设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，
∴22＝a2＋(2)2－2a×2cos30°，
即a2－6a＋8＝0，
解得a＝2或a＝4.
当a＝2时，三边长为2,2,2，可组成三角形；
当a＝4时，三边长为4,2,2，也可组成三角形．
∴满足条件的三角形有两个．
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
1．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．
2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．
六、课例点评
本节课是进一步学习余弦定理，为突破以往“基础自测”＋“典型例题”＋“变式巩固”的模式，本节课突出了教材回归，在强调知识运用的同时也更强调知识的由来和其中蕴含的思想方法，真正发挥教材的作用，帮助学生建构完整的知识和方法网络，提升学生分析和认识问题的高度。(共26张PPT)
1.1.1
正弦定理
第一课时
人教A版必修五第一章解三角形
情景引入
如图，设A、B两点在河的两岸，测量者只有皮尺和测角仪两种工具，没法跨河测量，利用现有工具，你能利用所学的解三角形知识设计一个测量A、B两点距离的方案吗？
百度词条：
情景引入
如图，设
两点在河的两岸，测量者为了得到两点之间的距离.测量者在
的同侧河岸选定一个点
,测出
的距离是
.
，根据这些数据能解决这个问题吗？
数学建模
任意三角形中，有大角对大边，小角对小边的边角关系。
D
1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
教学目标
1.
＝________＝_______＝2R(其中R是
)；
△ABC外接圆的半径
自主学习
4.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的
.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做
.
元素
解三角形
问题1
探究点1： 正弦定理的证明
合作探究
在一般的△ABC中，
仍然成立，课本采用边AB上的高CD＝bsin
A＝asin
B来证明．
问题2
在一般的△ABC中，
还成立吗？课本是如何说明的？
正弦定理（law
of
sines）
在任意一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等.
即
是否可以用其他的方法证明正弦定理?
其他证明方法介绍
证明2
D
例1 在钝角△ABC中，证明正弦定理.
如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，
根据正弦函数的定义知：
(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固.
(2)要证
只需证asin
B＝bsin
A，而asin
B，bsin
A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力.
名师点评
探究点2： 用正弦定理解三角形
例2 在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9
cm，解三角形.
根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.
名师点评
(1)正弦定理实际上是三个等式：
所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：
①已知三角形的任意两角与一边；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值.
根据三角形内角和定理，
A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
命题角度1 化简证明问题
例3 在任意△ABC中，求证：a(sin
B－sin
C)＋b(sin
C－sin
A)＋c(sin
A－sin
B)＝0.
由正弦定理，令a＝ksin
A，b＝ksin
B，c＝ksin
C，k>0.代入得：
左边＝k(sin
Asin
B－sin
Asin
C＋sin
Bsin
C－sin
Bsin
A＋sin
Csin
A－sin
Csin
B)＝0＝右边，
所以等式成立.
探究点3： 边角互化
命题角度2 运算求解问题
例4 在△ABC中，A＝
BC＝3，求△ABC周长的最大值.
设AB＝c，BC＝a，CA＝b.
名师点评
或正弦定理的变形公式a＝ksin
A，b＝ksin
B，c＝ksin
C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
得asin
B＝bsin
A，故选C.
1.在△ABC中，一定成立的等式是
A.asin
A＝bsin
B
B.acos
A＝bcos
B
C.asin
B＝bsin
A
D.acos
B＝bcos
A
1
2
3
4
√
当堂训练
2.在△ABC中，sin
A＝sin
C，则△ABC是
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
√
由sin
A＝sin
C，知a＝c，
∴△ABC为等腰三角形.
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
或a＝ksin
A，b＝ksin
B，c＝ksin
C(k>0).
2.正弦定理的应用范围：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.
3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.
课堂小结1.1.1 正弦定理(一)
教学目标
1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
教学过程
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1.1.1正弦定理（一）》课件“情景引入”部分，让学生与大家分享自己对正弦定理的了解。通过举例说明和互相交流.做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.
二、自主学习
1.＝______________＝______________＝2R(其中R是________________________)；
提示：
△ABC外接圆的半径
2．a＝＝＝2RsinA；
3．sinA＝，sinB＝________________，sinC＝____________________.
提示：
4.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________．
提示：元素 解三角形
三、合作探究
探究点1： 正弦定理的证明
问题1 如图，在Rt△ABC中，、、各自等于什么？
提示：
＝＝＝c.
问题2 在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？课本是如何说明的？
提示：在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，课本采用边AB上的高CD＝bsinA＝asinB来证明．
例1 在钝角△ABC中，证明正弦定理．
证明 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，
根据正弦函数的定义知：
＝sin∠CAD＝sin(180°－A)
＝sinA，＝sinB.
∴CD＝bsinA＝asinB.
∴＝.
同理，＝.
故＝＝.
名师点评：(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
(2)要证＝，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
探究点2：用正弦定理解三角形
例2 在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9cm，解三角形．
解 根据三角形内角和定理，
C＝180°－(A＋B)
＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.
根据正弦定理，
得b＝＝≈80.1(cm)；
根据正弦定理，
得c＝＝≈74.1(cm)．
名师点评：(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，
所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：
①已知三角形的任意两角与一边；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．
探究点3：边角互化
例3 在任意△ABC中，求证：a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA)＋c(sinA－sinB)＝0.
证明 由正弦定理，
令a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，k>0.代入得：
左边＝k(sinAsinB－sinAsinC＋
sinBsinC－sinBsinA＋sinCsinA－
sinCsinB)＝0＝右边，
所以等式成立．
例4 在△ABC中，A＝，BC＝3，求△ABC周长的最大值．
解 设AB＝c，BC＝a，CA＝b.
由正弦定理，
得＝＝＝＝2.
∴b＝2sinB，c＝2sinC，
a＋b＋c＝3＋2sinB＋2sinC
＝3＋2sinB＋2sin
＝3＋2sinB＋2
＝3＋3sinB＋3cosB
＝3＋6sin，
∴当B＝时，△ABC的周长有最大值9.
名师点评：利用＝＝＝2R或正弦定理的变形公式a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化．
四、当堂检测
1.在△ABC中，一定成立的等式是( )
A．asinA＝bsinBB．acosA＝bcosB
C．asinB＝bsinAD．acosB＝bcosA
2．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
3．在△ABC中，已知BC＝，sinC＝2sinA，则AB＝________.
4．在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A＝________.
提示：1．C 2.B 3.2 4.或
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1.定理的表示形式：＝＝＝2R，
或a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k>0)．
2.正弦定理的应用范围：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．
六、课例点评
本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。
本节课以实际问题作为驱动，创设了问题情境，明确了学习目标。从特殊到一般，猜想正弦定理，然后证明正弦定理。猜想、证明的流程自然、有序、明了，体现了学习的认知规律，进行了思想方法的渗透，展示了数学内在的逻辑力量。“先猜后证”是数学研究的一般模式，用之于数学教学也是合情合理的。在学生大胆猜测结论的过程中，还对定理的发现机制进行了设计，从形式美的角度大胆猜测，让学生学会欣赏数学结构之美、之称。然后回归引例，首尾呼应，通过两个例题，让学初步体会学有所成，能够及时应用，收获成就感。
课堂教学中，使用多媒体课件辅助于课堂教学，学生手脑并用，两者结合得恰到好处。
从整体上看，本节课以问题作为知识产生之源，在猜想证明中分析问题解决问题，在变式训练中巩固知识。从数学知识掌握的连续性上看，老师很善于做数学的“减法”，用已有的知识解决新的知识。提出问题是一门学科的真正进步。从育人的角度而言，本节课在问题作为引领的前提下，让学生充分参与课堂教学，经历探索、发现、解决问题的过程，从而体会数学的价值，享受数学学习的乐趣。可以看出本节课设计的理念是新的，符合新课程标准的理念倡导，是一节优秀的示范课。1.1.1 正弦定理(二)
教学目标
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.
2.能根据条件，判断三角形解的个数.
3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题．
教学过程
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生与大家分享自己对正弦定理的了解。通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.
二、自主学习
1．sinA∶sinB∶sinC＝____________；
2.＝＝＝＝______；
3．a＝____________________，b＝____________________，c＝____________________；
4．sinA＝__________________，sinB＝________________，sinC＝________________.
提示：1．a∶b∶c 2.2R
3．2RsinA 2RsinB 2RsinC
4.
三、合作探究
探究点1：判断三角形解的个数
问题1 在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数．
提示：sinB＝sinA＝×＝，
而<<1，所以当B为锐角时，
满足sinB＝的角有60°故对应的钝角B有90°也满足A＋B<180°，故三角形有两解．
问题2 已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？
提示：如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等．即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题．
例1 在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1cm)
解 根据正弦定理，
得sinB＝＝≈0.8999.
因为0°a，B>A，
(1)当B≈64°时，
C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋64°)＝76°，
c＝＝≈30(cm)．
(2)当B≈116°时，
C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋116°)＝24°，
c＝＝≈13(cm)．
综上，B≈64°，C≈76°，c≈30cm或B≈116°，
C≈24°，c≈13cm.
变式训练：例1中b＝28cm，A＝40°不变，当边a在什么范围内取值时，△ABC有两解(范围中保留sin40°)？
解 如图，∠A＝40°，CD⊥AD.
AC＝28cm，
以C为圆心，a为半径画圆弧，
当CD＜a＜AC，即bsinA＜a＜b，
28sin40°＜a＜28时，
△ABC有两解(△AB1C，△AB2C均满足题设)．
名师点评： 已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．
探究点2： 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用
问题1 在△ABC中，已知acosB＝bcosA．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?
提示：可借助正弦定理把边化成角：
2RsinAcosB＝2RsinBcosA，移项后就是一个三角恒等变换公式sinAcosB－cosAsinB＝0.
问题2 什么时候适合用正弦定理进行边角互化？
提示：尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系，但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径．故使用时要么能消掉外接圆半径，要么已知外接圆半径．
例2 在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，a＝2bsinA，求cosA＋sinC的取值范围．
解 ∵a＝2bsinA，
∴由正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，
又∵A∈(0，)，sinA≠0，
∴sinB＝.∵B为锐角，∴B＝.
令y＝cosA＋sinC
＝cosA＋sin
＝cosA＋sin
＝cosA＋sincosA＋cossinA
＝cosA＋sinA＝sin.
由锐角△ABC知，
－B∵∴∴即∴cosA＋sinC的取值范围是
.
名师点评：解决三角形中的取值范围或最值问题：
(1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素．
(2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题．
例3 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＋c＝2b,2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．
解 ∵2cos2B－8cosB＋5＝0，
∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.
∴4cos2B－8cosB＋3＝0，
即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.
解得cosB＝或cosB＝(舍去)．
∵0∴B＝.
∵a＋c＝2b.
由正弦定理，
得sinA＋sinC＝2sinB＝2sin＝.
∴sinA＋sin＝，
∴sinA＋sincosA－cossinA＝.
化简得sinA＋cosA＝，
∴sin＝1.
∵0∴A＋＝.
∴A＝，C＝.
∴△ABC是等边三角形．
名师点评： 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．
四、当堂检测
1．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则角C的值为( )
A．45°
B．30°
C．75°
D．90°
2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
3．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值．
提示：1．C
2.B
3.
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．
2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．
六、课例点评
本节课充分体现学生的主体地位，基于对学情的准确分析，采用“教师设疑引导，学生自主探究”的教学方法，教师在教学中只负责“抛砖引玉”，通过精心设计的问题，学生个体独立思考和小组合作探究相结合，学生汇报交流和老师的点拨引导相结合，激发学生的思维，从而建构知识、形成方法、培养能力，整个教学过程形成了以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“探究问题”学习链，学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“研究者”，教学过程成为学生主动获取知识、发展能力的过程。这样的设计符合学生的认知规律，切实突出了学生的主体地位。