(共33张PPT)
高中数学人教A版必修五
第二章
数列
2.35
等比数列的前n项和（第一课时）
我想向您要一些米，分给贫苦的百姓
呵呵呵。。。这有何难？要多少你说吧
“请在这张棋盘第1个小格放1粒米，在第2小格放2粒，第3格放4粒，照这样下去，每个小格数量是前一格的2倍，我只要摆满64格就够了
情景导入
这一格放
的米粒可
以堆成一
座山!!!
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
教学目标
自主学习
问题1
对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?
合作探究
问题2
要求等比数列前8项的和：
(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？
(2)若已知a1，a9，q的值．用哪个公式比较合适？
命题角度1 前n项和公式的直接应用
例1 求下列等比数列前8项的和：
探究点1 等比数列前n项和公式的应用
求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．
名师点评
跟踪训练1 若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝___；前n项和Sn＝________.
设等比数列的公比为q，
∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，
∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，
解得q＝2，且a1＝2.
2
2n＋1－2
命题角度2 通项公式、前n项和公式的综合应用
例2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
解得q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用
名师点评
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
探究点2 等比数列前n项和的实际应用
例3 借贷10
000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051，精确到整数)
方法一 设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6，n∈N
)，
则a0＝10
000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…
＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.
由题意，可知a6＝0，
即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，
故每月应支付1
739元．
方法二 一方面，借款10
000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为
S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)，
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a
故每月应支付1
739元．
解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
名师点评
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
当x＝1时，Sn＝n；
1
2
3
4
√
当堂训练
1
2
3
4
√
3.等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是
A.179
B.211
C.243
D.275
1
2
3
4
√
4.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为___________.
去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1).
1
2
3
4
11a(1.15－1)
1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.
2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
3.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和.
课堂小结2.5等比数列的前n项和(一)
【教学目标】
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.5等比数列的前n项和(一)》课件“情景导入”部分，通过互相交流，让学生在感受生动有趣的历史故事的同时对等比数列的求和及求和公式有形象的认识.
二、自主学习
教材整理 等比数列的前n项和
阅读教材P55～P57第12行，完成下列问题．
等比数列的前n项和公式
三、合作探究化
问题1 对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?
提示：比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝＝264－1.
探究点1 等比数列前n项和公式的应用
命题角度1 前n项和公式的直接应用
例1 求下列等比数列前8项的和：
(1)，，，…；
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
提示： (1)因为a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，
可得＝27·q8.
又由q<0，
可得q＝－.
所以S8＝＝.
名师点评：比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．
命题角度2 通项公式、前n项和公式的综合应用
例2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
提示：由题意，得若q＝1，
则S3＝3a1＝6，符合题意．
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，
解得q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
名师点评：
(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便．
探究点2 等比数列前n项和的实际应用
例3 借贷10000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051，精确到整数)
提示：方法一 设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6，n∈N
)，
则a0＝10000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.
由题意，可知a6＝0，
即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，
a＝.
因为1.016≈1.061，
所以a≈≈1739(元)．
故每月应支付1739元．
方法二 一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，
则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6
＝104×(1.01)6(元)，
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a
＝
＝a[1.016－1]×102(元)．
由S1＝S2，
得a＝≈1739(元)．
故每月应支付1739元．
名师点评： 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
四、当堂检测
1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于( )
A.
B.
C.
D.
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2
B．4
C.
D.
3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是( )
A．179
B．211
C．243
D．275
4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．
提示：1．C 2.C 3.B 4.11a(1.15－1)
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．
六、课例点评
本着新课改的教学理念，考虑到学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生初步了解“数学来源于生活”，创设问题情境，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲．教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究，展示学生解决问题的方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦．通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性．(共27张PPT)
高中数学人教A版必修五
第二章
数列
2.3
等比数列的前n项和（第二课时）
等比数列的前n项和公式
复习回顾
上节课我们学习了等比数列的前n项和，这节课我们继续学习等比数列前n项和公式的应用！
1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
2.会用错位相减法求和．
教学目标
等比
自主学习
等比
q
问题1
若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？
合作探究
问题2
若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？
设{an}的公比为q，则
Sn＝a1＋a2＋…＋an，
S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n
＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn
＝qnSn，
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n
＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn
＝qn(S2n－Sn)，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可．
问题3
在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an的？
例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}
A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.是等差数列或等比数列
D.既非等差数列，也非等比数列
探究点1 等比数列前n项和公式的函数特征应用
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，满足上式，
∴an＝(a－1)·an－1，n∈N
.
∴数列{an}是等比数列.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列.
名师点评
命题角度1 连续n项之和问题
例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，
探究点2 等比数列前n项和的性质
方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
方法二 根据等比数列的性质有
S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：
(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
名师点评
命题角度2 不连续n项之和问题
∵a2＋a4＋a6＋a8
＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q
＝q(a1＋a3＋a5＋a7)
注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快.
名师点评
探究点3 错位相减法求和
一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.
名师点评
1.一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是
A.190
B.191
C.192
D.193
√
1
2
3
4
当堂训练
√
1
2
3
4
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，
∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，
1
2
3
4
3.一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为
A.180
B.108
C.75
D.63
由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48,12,3，
即S21－S14＝3，∴S21＝63.
1
2
3
4
√
4.在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝_____.
当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)
＝3n－3n－1＝2·3n－1.
由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，
所以k＝－1.
1
2
3
4
－1
1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg
an}构成等差数列.
2.等比数列前n项和中用到的数学思想：
(1)分类讨论思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0课堂小结2.5 等比数列的前n项和（二）
【教学目标】
1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
2.会用错位相减法求和．
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.5 等比数列的前n项和（二）》课件“复习回顾”部分，对上节课的内容进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.
二、自主学习
教材整理 等比数列前n项和的性质
阅读教材P57第13行～P58，完成下列问题．
等比数列前n项和的性质
性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．
性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则
①在等比数列中，若项数为2n(n∈N
)，则＝q.
②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
三、合作探究[
问题1 若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？
提示：
当Sn＝2n－1时，
an＝＝
n∈N
是等比数列；
当Sn＝2n＋1－1时，
an＝＝
n∈N
不是等比数列．
问题2 若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？
提示：设{an}的公比为q，则
Sn＝a1＋a2＋…＋an，
S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n
＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn，
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n
＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn
＝qn(S2n－Sn)，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
问题3 在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an的？
提示：在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可．
探究点1 等比数列前n项和公式的函数特征应用
例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}( )
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．是等差数列或等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
提示：B [当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，满足上式，
∴an＝(a－1)·an－1，n∈N
.
∴＝a，
∴数列{an}是等比数列．]
名师点评：
(1)已知Sn通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．
探究点2 等比数列前n项和的性质
命题角度1 连续n项之和问题
例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
提示：方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，
S3n＝3na1，
∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，
Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)
＝5n2a，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
当q≠1时，
Sn＝(1－qn)，
S2n＝(1－q2n)，
S3n＝(1－q3n)，
∴S＋S
＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]
＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．
又Sn(S2n＋S3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
方法二 根据等比数列的性质有
S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，
S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2
＝S(2＋2qn＋q2n)，
Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
名师点评：处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．
命题角度2 不连续n项之和问题
例3 已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于( )
A．－3
B．－
C．3
D.
提示：A [∵a2＋a4＋a6＋a8
＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q
＝q(a1＋a3＋a5＋a7)
∴＝＝－3.]
名师点评：注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快．
探究点3 错位相减法求和
例4 求数列{}的前n项和．
提示：设Sn＝＋＋＋…＋，
则有Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减，得
Sn－Sn＝＋＋＋…＋－，
即Sn＝－
＝1－－.
∴Sn＝2－－＝2－.
名师点评：一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．
四、当堂检测
1．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )
A．190
B．191
C．192
D．193
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( )
A．180
B．108
C．75
D．63
4．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.
提示：1．C 2.C 3.D 4.－1
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}构成等差数列．
2．等比数列前n项和中用到的数学思想：
(1)分类讨论思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0(2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1)．设A＝，则Sn＝A(qn－1)也与指数函数相联系．
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解。
