(共31张PPT)
高中数学人教A版必修五
第二章
数列
2.4
等比数列（第一课时）
从1976年至1999年，袁隆平在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。
西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻”，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。
世界杂交水稻之父—袁隆平
情景导入
袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，用第一代的120粒种子可以繁殖出第二代120×120粒种子，用第二代的120×120粒种子可以繁殖出第三代120×120×120粒种子，…
情境1：某种细胞分裂的模型.
细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：
1，2，4，8，…①
将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？
情境2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这是《庄子·天下篇》中的一个论述，用现代语言叙述：
一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。这样，每日剩下的部分都是前一日的一半。如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？
②
情境3：计算机病毒传播问题.
一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?
1，20，202，203，204，…
③
情境4：银行存款利息问题.?
“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的。计算本利和的公式为：?
本利和=本金×(1+年利率)
n，这里n为存期.?
例如：现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利计算，5年内各年末的本利和(单位：元)组成了什么样数列？?
各年末本利和(单位：元)组成了下面数列：?
10000×1.0198，10000×1.01982，10000×1.01983，10000×1.01984，10000×1.01985.
④
1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
教学目标
2
同一常数
公比
自主学习
q
G
ab
a1qn－1
孤立
问题1
观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．
①1，2，4，8，16，…；
从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．
③1，1，1，1，…；
④－1，1，－1，1，….
合作探究
问题2
在2，8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？
问题3
等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？
等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘．根据等比数列的定义得
将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，
当n＝1时，上面的等式也成立．
∴an＝a1qn－1(n∈N
)．
例1 已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{an}是等比数列．
探究点1 证明等比数列
由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，
∴an＝m2n＋2，
∵m＞0且m≠1，
∴m2为非零常数，
∴数列{an}是等比数列．
名师点评
命题角度1 方程思想
例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．
探究点2 等比数列通项公式的应用
设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．
名师点评
命题角度2 等比数列的实际应用
例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an，
由条件可得，数列{an}是一个等比数列．
其中a1＝0.84，q＝0.84，
设an＝0.5，则0.84n＝0.5.
两边取对数，得nlg
0.84＝lg
0.5，用计算器算得n≈4.
答 这种物质的半衰期大约为4年．
等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义．
名师点评
探究点3 等比中项
∵1，a，3成等差数列，
∵1，b，4成等比数列，
∴b2＝1×4，b＝±2，
(1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项；
(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个.
名师点评
1.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于
A.16
B.16或－16
C.32
D.32或－32
√
由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，
1
2
3
4
当堂训练
2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为
A.4
B.8
C.6
D.32
√
由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，2n－1＝32，
所以n＝6.
1
2
3
4
3.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于
A.64
B.81
C.128
D.243
∵{an}为等比数列，
1
2
3
4
√
又a1＋a2＝3，
∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.
4.45和80的等比中项为________.
设45和80的等比中项为G，
则G2＝45×80，
∴G＝±60.
1
2
3
4
－60或60
1.等比数列的判断或证明
3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.
课堂小结2.4 等比数列（一）
【教学目标】
1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.4 等比数列（一）》课件“情景导入”部分，从世界杂交水稻之父—袁隆平的实例及四个生活中遇到的问题入手，通过互相交流，既可感受袁隆平对中国和全世界作出的杰出贡献，从而激发学生的爱国热情，又能对等比数列的概念及简单应用形成初步的印象.
二、自主学习
教材整理1 等比数列的定义
阅读教材P48～P49倒数第一行，完成下列问题．
1．等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符号语言：
＝q(q为常数，q≠0，n∈N
)．
2．等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．
(2)结论：G叫做a，b的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝ab.
教材整理2 等比数列的通项公式
阅读教材P49倒数第1行～P51例3，完成下列问题．
1．等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．
2．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列·qn中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．
三、合作探究
问题1 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．
①1,2,4,8,16，…；
②1，，，，，…；
③1,1,1,1，…；
④－1,1，－1,1，….
提示：从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．
问题2 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？
提示：设这个数为G.则＝，G2＝16，G＝±4.所以这样的数有2个．
问题3
等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？
提示：等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘．根据等比数列的定义得
＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2)．
将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，
得···…·＝qn－1，化简得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)．
当n＝1时，上面的等式也成立．
∴an＝a1qn－1(n∈N
)．
探究点1 证明等比数列
例1 已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{an}是等比数列．
提示：由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，
∴an＝m2n＋2，
∴＝＝m2，
∵m＞0且m≠1，
∴m2为非零常数，
∴数列{an}是等比数列．
反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即＝q(与n无关的常数)．
探究点2 等比数列通项公式的应用
命题角度1 方程思想
例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．
提示：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
②÷①，得q＝，将q＝代入①，
得a1＝.
因此，a2＝a1q＝×＝8.
综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.
反思与感悟 已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．
命题角度2 等比数列的实际应用
例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
提示：设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an，
由条件可得，数列{an}是一个等比数列．
其中a1＝0.84，q＝0.84，
设an＝0.5，
则0.84n＝0.5.
两边取对数，
得nlg0.84＝lg0.5，用计算器算得n≈4.
答 这种物质的半衰期大约为4年．
反思与感悟 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义．
探究点3 等比中项
例4 若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为( )
A．±
B.
C．1
D．±1
提示：D [∵1，a,3成等差数列，
∴a＝＝2，
∵1，b,4成等比数列，
∴b2＝1×4，b＝±2，
∴＝＝±1.]
反思与感悟 (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项；(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个．
四、当堂检测
1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )
A．16
B．16或－16
C．32
D．32或－32
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4
B．8
C．6
D．32
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64
B．81
C．128
D．243
4．45和80的等比中项为________．
提示：1．C 2.C 3.A 4.－60或60
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N
)．
2．两个同号的实数a、b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．(共24张PPT)
高中数学人教A版必修五
第二章
数列
2.4
等比数列（第二课时）
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).
复习回顾
如果一个数列
是等比数列，它的公比是q，那么
…，
…，
由此可知，等比数列
的通项公式为
…
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．
教学目标
等比数列
ak＋1
等比数列
ak
qk
自主学习
ap·aq
积
等比数列
问题1
我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：
an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
等比数列也有类似变形吗？
合作探究
问题2
我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
则an＝a1qn－1＝
其形式类似于指数型函数，但q可以为负值．由于an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，所以{an}的单调性由a1，q，q－1的正负共同决定．
问题3
等比数列{an}的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是
(1){3an}是等比数列；
(2){3＋an}是等比数列；
(3)
是等比数列；
(4){a2n}是等比数列．
由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．
问题4
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n－5an－85，n∈N
，证明：{an－1}是等比数列．
探究点1 等比数列的判断方法
当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85，
解得a1＝－14，
∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1，
判断一个数列是等比数列的基本方法：
名师点评
命题角度1 序号的数字特征
例2 已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，
∴a3＋a5>0，
∴a3＋a5＝5.
探究点2 等比数列的性质
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
根据等比数列的性质
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．
名师点评
命题角度2 未知量的设法技巧
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1.
故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
合理地设出未知数是解决此类问题的技巧．一般地，三个数成等比数列，可设为
a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.若四个同号的数成等比数列，可设为
aq，aq3；四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
名师点评
1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为
A.2
B.3
C.4
D.8
√
由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.
1
2
3
4
当堂训练
2.在等比数列{an}中，an>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于
A.9
B.6
C.3
D.2
√
因为a2a9＝a1a10＝27，
所以log3a2＋log3a9＝log327＝3.
1
2
3
4
3.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为____.
设这8个数组成的等比数列为{an}，
则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7
＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)
＝(a1a8)3＝23＝8.
1
2
3
4
8
4.已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
不是等比数列.
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，
1
2
3
4
∴数列{an}不是等比数列.
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法.
2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量.
3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
课堂小结2.4 等比数列（二）
【教学目标】
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.4 等比数列（二）》课件“复习回顾”部分，对等比数列的定义和通项公式进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.
二、自主学习
教材整理 等比数列的性质
阅读教材P51例4～P53，完成下列问题．
1．“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.
2．等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am·an＝ap·aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N
)时，am·an＝a.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
3．两等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}{an·bn}，也为等比数列．
三、合作探究
问题1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
等比数列也有类似变形吗？
提示：在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，所以an＝am·qn－m(n，m∈N
)．
问题2 我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？
提示：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
则an＝a1qn－1＝·qn，其形式类似于指数型函数，但q可以为负值．由于an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，所以{an}的单调性由a1，q，q－1的正负共同决定．
问题3 等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是
(1){3an}是等比数列；
(2){3＋an}是等比数列；
(3){}是等比数列；
(4){a2n}是等比数列．
提示：由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．
问题4 在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n>2，n∈N
)是否成立？
提示：∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，
∴a1a9＝aq8＝(a1q4)2＝a，
∴a＝a1a9成立．
同理a＝a3a7成立，a＝an－2·an＋2也成立．
探究点1 等比数列的判断方法
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n－5an－85，n∈N
，证明：{an－1}是等比数列．
提示：当n＝1时，
a1＝S1＝1－5a1－85，
解得a1＝－14，
∴当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1，
∴6an＝5an－1＋1，an－1＝(an－1－1)，
∴{an－1}是首项为－15，公比为的等比数列．
反思与感悟 判断一个数列是等比数列的基本方法：
(1)定义法：＝q(常数)；
(2)等比中项法：a＝anan＋2(an≠0，n∈N
)；
要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如a≠a1a3.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征
例2 已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
提示：(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6
＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，
∴a3＋a5>0，
∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.
反思与感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．
命题角度2 未知量的设法技巧
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
提示：方法一 设这四个数依次为
a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
所以，当a＝4，d＝4时，
所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，
所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法二 设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)，
由条件得
解得
或
当a＝8，q＝2时，
所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，
所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
反思与感悟 合理地设出未知数是解决此类问题的技巧．一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.若四个同号的数成等比数列，可设为，，aq，aq3；四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
四、当堂检测
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
2．在等比数列{an}中，an>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于( )
A．9
B．6
C．3
D．2
3．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
4．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
提示：1．A 2.C 3.8
4．解 不是等比数列．
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，
a3＝23＋33＝35，
∴a1a3≠a，
∴数列{an}不是等比数列．
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．
2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
