(共26张PPT)
高中数学人教A版必修五
第二章
数列
2.2
等差数列（第一课时）
复习引入
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫数列.
2.数列的分类：
（1）根据数列项数的多少分：有穷数列，无穷数列
（2）根据数列项的大小分：
递增数列，递减数列，常数列，摆动数列
3.数列的通项公式：
第23届到第31届奥运会举行的年份依次为:
得到数列：1984,
1988,
1992,
1996,
2000,
2004,
2008,2012,2016
1984
1988
1992
1996
2000
2004
2008
创设情境
2012
2016
姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：
第一天：6000，
第二天：6500，
第三天：7000，
第四天：7500，
第五天：8000，
第六天：8500，
第七天：9000.
得到数列：
6000，6500，7000，7500，
8000，8500，9000
创设情境
耐克运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
，23，
，24，
，25，
，26
创设情境
1.理解等差数列的定义.
2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．
教学目标
2
前一项
同一个常数
常数
公差
d
自主学习
a＋b＝2A
a1＋(n－1)d
d个单位
问题1
给出以下三个数列：
(1)0，5，10，15，20；
(2)4，4，4，4，…；
(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5.
它们有什么共同的特征？
从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．
合作探究
问题2
观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0.
问题3
对于等差数列2，4，6，8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.
试猜想an＝a1＋( )×2.
n－1
例1 判断下列数列是不是等差数列？
(1)9，7，5，3，…，－2n＋11，…；
(2)－1，11，23，35，…，12n－13，…；
(3)1，2，1，2，…；
(4)1，2，4，6，8，10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
探究点1 等差数列的概念
由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．
判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N
)是不是一个与n无关的常数．
名师点评
探究点2 等差中项
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.
∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴该数列为－1，1，3，5，7.
名师点评
在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N
)，即an＝
从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.
命题角度1 基本量(a，d)
例3 在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
解得d＝2，a1＝2.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
探究点3 等差数列通项公式的求法及应用
名师点评
像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.
命题角度2 等差数列的实际应用
例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要支付1.2元.
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1＝11.2，表示4
km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14
km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).
即需要支付车费23.2元.
名师点评
在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题.
跟踪训练4 在通常情况下，从地面到10
km高空，高度每增加1
km，气温就下降某一个固定数值.如果1
km高度的气温是8.5℃，5
km高度的气温是－17.5℃，求2
km，4
km，8
km高度的气温.
用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，
∴an＝15－6.5n.
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2
km，4
km，8
km高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.
1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为
A.2
B.3
C.－2
D.－3
√
1
2
3
由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
当堂训练
1
2
3
2.已知在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
√
因为A，B，C成等差数列，
所以B是A，C的等差中项，
则有A＋C＝2B，
又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，从而B＝60°.
1
2
3
3.等差数列{an}中，已知a1＝
a2＋a5＝4，an＝33，求n的值.
∵a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝4，
解得n＝50.
1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N
)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N
)?{an}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.
2.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
课堂小结2.2 等差数列（一）
【教学目标】
1.理解等差数列的定义.
2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.2 等差数列（一）》课件“创设情境”部分，让学生与大家分享自己的了解。通过让学生互相交流对几组数据的认识，教师自然地引出等差数列的定义.
二、自主学习
教材整理1 等差数列的含义
阅读教材P36～P37思考上面倒数第二自然段，完成下列问题．
1．等差数列的概念
(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N
)．
2．等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.
教材整理2 等差数列的通项公式
阅读教材P37思考上面倒数第2行～P38，完成下列问题．
1．等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
2．从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位．
三、合作探究[w~ww.z
问题1 给出以下三个数列：
(1)0,5,10,15,20；
(2)4,4,4,4，…；
(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.
它们有什么共同的特征？
提示：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．
问题2 观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.
提示：插入的数分别为3,2，，0.
问题3 对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.
试猜想an＝a1＋( )×2.
提示：n－1
探究点1 等差数列的概念
例1 判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
提示：由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．
名师点评：判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N
)是不是一个与n无关的常数．
探究点2 等差中项
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
提示：∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，
∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
名师点评：在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N
)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
探究点3 等差数列通项公式的求法及应用
命题角度1 基本量(a，d)
例3 在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
提示：由题意可得
解得d＝2，a1＝2.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
名师点评：像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．
命题角度2 等差数列的实际应用
例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
提示：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
即需要支付车费23.2元．
名师点评：在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
四、当堂检测
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A．2
B．3
C．－2
D．－3
2．已知在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
3．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值．
提示：1．C 2.B
3．解 ∵a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)
＝2a1＋5d＝4，
∴d＝.
∴an＝＋(n－1)×＝n－.
由an＝n－＝33，
解得n＝50.
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N
)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N
)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
六、课例点评
等差数列作为第一个深入研究的特殊数列要体现研究问题的完整性，应创设学生独立思考、解决问题的教学环境，避免给出定义，给出公式，给出过程，给出思想，否则等比数列的研究将很难提升。在教学过程中教师一方面应鼓励学生大胆探究，另一方面又应不失时机地引导学生加以分析和证明，在辨析中加深理解。
本节课以学生自学、小组讨论、教师导学相结合的方式进行教学，以问题串为主线展开。对于等差数列概念、等差中项概念的获得以学生自主探究为主，对于等差数列通项公式的归纳与推导以小组讨论为主，，利用PPT完成教学。(共27张PPT)
高中数学人教A版必修五
第二章
数列
2.2
等差数列（第二课时）
复习回顾
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
2.能运用等差数列的性质解决有关问题．
教学目标
d
自主学习
ap＋aq
和
等差
d
cd
2d
pd1＋qd2
递增
递减
问题1
已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?
设等差数列的首项为a1，则am＝a1＋(m－1)d，
变形得a1＝am－(m－1)d，
则an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d
＝am＋(n－m)d.
合作探究
等差数列通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点．d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线
问题2
的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
你能联系直线
利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
问题3
还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)
＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)
＝d＋d＝2d.
∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．
问题4
若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
点
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
探究点1 等差数列推广通项公式的应用
因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.
灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．
名师点评
探究点2 等差数列与一次函数的关系
例2 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)，
求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]
＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列.
由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，
所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.
名师点评
本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华.
例3 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式.
探究点3 等差数列性质的应用
方法一 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
方法二 设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5，
①
由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(a1＋d)×5×(5＋2d)＝45，
即(a1＋d)×(5＋2d)＝9，
②
解①，②组成的方程组，
得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3
或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.
引申探究
1.在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N
，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?
设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，
an＝a1＋(n－1)d，
ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
ar＝a1＋(r－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝___.
∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
20
名师点评
解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.
1.在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于
A.3
B.－6
C.4
D.－3
√
1
2
3
由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，
当堂训练
1
2
3
2.在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于
A.32
B.－32
C.35
D.－35
√
由a8－a4＝(8－4)d＝4d，得d＝3，
所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.
1
2
3
3.等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于
A.3
B.－3
由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
√
1.等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.
2.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.
课堂小结2.2 等差数列（二）
【教学目标】
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
2.能运用等差数列的性质解决有关问题．
【教学过程】
一、创设情景
教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.2 等差数列（二）》课件“复习回顾”部分，对上节课的内容进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.
二、自主学习
教材整理 等差数列的性质
阅读教材P39探究及练习第4,5题，完成下列问题．
1．等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
2．等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N
)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N
)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；
d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列．
三、合作探究
问题1 已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?
提示：设等差数列的首项为a1，
则am＝a1＋(m－1)d，
变形得a1＝am－(m－1)d，
则an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
问题2 由思考1可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
提示：等差数列通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点．d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d＝.当两点为(n，an)，(m，am)时，有d＝.
问题3 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
提示：利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
问题4 若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
提示：∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)
＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)
＝d＋d＝2d.
∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．
探究点1 等差数列推广通项公式的应用
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
提示：因为a8＝a2＋(8－2)d，
所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，
所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.
名师点评： 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．
探究点2 等差数列与一次函数的关系
例2 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
提示：取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)，
求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.
它是一个与n无关的常数，
所以{an}是等差数列．
由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，
所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.
名师点评：本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华．
探究点3 等差数列性质的应用
例3 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
提示：方法一 因为a1＋a7＝2a4，
a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，
(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
方法二 设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5，①
由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(a1＋d)×5×(5＋2d)＝45，
即(a1＋d)×(5＋2d)＝9，②
解①，②组成的方程组，得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3
或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.
引申探究
1．在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N
，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?
提示：设公差为d，
则am＝a1＋(m－1)d，
an＝a1＋(n－1)d，
ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
ar＝a1＋(r－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝______.
提示：∵a3＋a8＝10，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
名师点评： 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
四、当堂检测
1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )
A．3
B．－6
C．4
D．－3
2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于( )
A．32
B．－32
C．35
D．－35
3．在等差数列{an}中，已知a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )
A．3
B．－3
C.
D．－
提示：1．B 2.C 3.A
五、课堂小结
本节课我们学习过哪些知识内容?
提示：
1．等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
