(共18张PPT)
思考:声响定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上）
(2004年广东高考题)
一．平面直角坐标系的建立
y
x
B
A
C
P
o
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，
y
x
B
A
C
P
o
则
A(1020,0),
B(－1020,0),
C(0,1020)
故|PA|－
|PB|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
上，
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心
处
用y=－x代入上式，得
，∵|PA|>|PB|,
解决此类应用题的关键：
1、建立平面直角坐标系
2、设点（点与坐标的对应）
3、列式（方程与坐标的对应）
4、化简
5、说明
坐
标
法
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系：
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,
CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。
(A)
F
B
C
E
O
y
x
以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，边AB所在的直线x轴，建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为
解：
A
(
0,
0
)
,
B
(
c
,0
)
,
F
(
,0
).
因此，BE与CF互相垂直.
x
O
?
2?
y=sinx
y=sin2x
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的
，就得到正弦曲线y=sin2x.
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来
，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：
通常把
叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
1
坐标对应关系为：
x’=
x
y’=y
1
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=x
y’=3y
2
通常把
叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
2
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的
，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=
x
y’=3y
3
通常把
叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
3
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
写出其坐标变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
4
注（1）
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
x’=x
y’=3y
后的图形。
（1）2x+3y=0;
(2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=1
3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
换
后，
曲线C变为x’2－9y’2
=1，求曲线C的方程并画出图形。
x’=3x
y’=y
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。
预习：
极坐标系（书本P9-P11）
B
A
C
P
y
x
(x,y)
(x-2,0)
(x+2,0)
P8第2题(共25张PPT)
从这向北
2000米。
请问：去菜
市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从这向北走2000米！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。
这样就建立了一个极坐标系。
X
O
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
X
O
M
?
?
对于平面上任意一点M，用
?
表示线段OM的长度，用
?
表示从OX到OM
的角度，?
叫做点M的极径，
?叫做点M的极角，有序数对（?，?）就叫做M的极坐标。
特别强调：?表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；?表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM
为终边的角。
题组一：说出下图中各点的极坐标
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
特别规定：
当M在极点时，它的极坐标?=0，?可以取任意值。
想一想？
三、点的极坐标的表达式的研究
X
O
M
?
?
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其他表达式。
思：这些极坐标之间有何异同？
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式：
极径相同，不同的是极角
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A
B
C
D
E
F
G
O
X
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定（?,?）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
O
X
P
M
(ρ,θ)…
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
平面内的一个点的直角坐标是(1,
)
这个点如何用极坐标表示?
极坐标和直角坐标的互化
O
x
y
在直角坐标系中,
以原点作为极点,
x轴的正半轴作为极轴,
并且两种坐标系中取相
同的长度单位
点M的直角坐标为
θ
设点M的极坐标为(ρ,θ)
M
(
2,
∏
/
3)
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是
(x,
y)
极坐标是
(ρ,θ)
x=ρcosθ,
y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1.
极点与直角坐标系的原点重合;
2.
极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合;
3.
两种坐标系的单位长度相同.
例1.
将点M的极坐标
化成直角坐标.
解:
所以,
点M的直角坐标为
已知下列点的极坐标，求它们的直
角坐标。
例2.
将点M的直角坐标
化成极坐标.
解:
因为点在第三象限,
所以
因此,
点M的极坐标为
练习:
已知点的直角坐标,
求它们
的极坐标.
例3
已知两点（2，
），（3，
）
求两点间的距离.
π
3
π
2
o
x
A
B
解：∠AOB
=
π
6
用余弦定理求
AB的长即可.
推广：
（1）点A关于极轴对称的点是_______________
（2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________
（3）点A关于直线
的对称点的极坐标是_______
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个。
有。（ρ，2kπ+θ）(共19张PPT)
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(?,?)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(?,?)=0
；
(２)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(?,?)=0
。
探
究
x
C(a,0)
O
A
极坐标方程：
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？
x
O
r
M
你可以用极坐标方程直接来求吗？
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是
C
题组练习1
求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(３)中心在(a,?/2)，半径为a；
(４)中心在Ｃ(?0,?０)，半径为r。
?＝2
?＝2acos
?
?＝2asin
?
?2+
?0
2
-2
?
?0
cos(
?-
?０)=
r2
题组练习2
（
）
A、双曲线
B、椭圆
C、抛物线
D、圆
D
（
）
C
O
N
M
C(4,0)(共17张PPT)
§1.3.2直线的极坐标方程
答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标?与?之间的关系，然后列出方程?(?,?)=0
，再化简并讨论。
怎样求曲线的极坐标方程？
复习引入：
例题1：求过极点，倾角为
的射线的极坐标方程。
o
M
x
﹚
分析：
如图，所求的射线上任一点的极角都是
，其
极径可以取任意的非负数。故所求
直线的极坐标方程为
新课讲授
1、求过极点，倾角为
的射线的极坐标方程。
易得
思考：
2、求过极点，倾角为
的直线的极坐标方程。
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为
或
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。
解：如图，设点
为直线L上除点A外的任意一点，连接OM
o
x
﹚
A
M
在
中有
即
可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤
1、根据题意画出草图；
2、设点
是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于
的方
程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求。
练习：设点P的极坐标为A
，直线
过点P且与极轴所成的角为
,求直线
的极坐标方程。
解：如图，设点
为直线
上异于的点
连接OM，
﹚
o
M
x
A
在
中有
即
显然A点也满足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程
1、过极点
2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
O
H
M
A
A、两条相交的直线
B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
(
)
B
(
)
C
(
)
B
O
X
A
B(共14张PPT)
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义,
以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
设P是空间任意一点，
在oxy平面的射影为Q，
用(ρ,θ)(ρ≥0,
0≤θ＜2π)表示点Q
在平面oxy上的极坐标，
点P的位置可用有
序数组(ρ,θ,z)表示.
x
y
z
o
P(ρ,θ,Z)
Q
θ
把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱
坐标，记作(ρ,θ,Z).
其中
ρ≥0,
0≤θ＜
2π,
-∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由
平面极坐标系及空间直角坐标系中的
一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x,
y,
z)与柱坐
标
(ρ,θ,Z)
之间的变换公式为
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
解得ρ=
，θ=
点在柱坐标系中的坐标为
（
，
，1）.
注：求θ时要注意角的终边与点的
射影所在位置一致
给定一个底面半径为r，高为h的圆
柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述
圆柱侧面以及底面上点的位置.
x
y
z
o
注：坐标与点的位置有关
阅读课本P18
了解球坐标系的概念以及在球坐标
系中点的确定
x
y
z
o
P
Q
θ
r
φ
设P是空间任意一点，
连接OP，
记|
OP
|=r，
OP与OZ轴正向所
夹的角为φ.
在oxy平面的射影为Q，
设P
在oxy平面上的射影为Q，
Ox轴按逆时
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.
这样点
P
的位置就可以用有序数
组(r,φ,θ)表示.
(r,φ,θ)
我们把建立上述
对应关系的坐标系
叫做球坐标系
(或空间极坐标系)
.
有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，
其中
x
y
z
o
P(r,φ,θ)
Q
θ
r
φ
空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系.
空间点P的直角坐标(x,
y,
z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为
x
y
z
o
P(r,φ,θ)
Q
θ
r
φ
设点的球坐标为(2，
，
)，求
它的直角坐标.
点在直角坐标系中的坐标为
（
－1
，1
，－ ）.
数轴
平面直角坐标系
平面极坐标系
空间直角坐标系
球坐标系
柱坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用
坐标系可以实现几何问题与代数问题
的相互转化，从而产生了坐标法.
坐标系
小结(共16张PPT)
极坐标方程
1、极坐标方程的定义：
2、圆的极坐标方程
下列极坐标方程表示的曲线
3、直线的极坐标方程
4、两圆或直线和圆的位置关系
表示椭圆
表示抛物线
表示双曲线右支
(允许
表示整个双曲线)
x
F
y
小结：
1、极坐标方程的概念
2、圆的极坐标方程、直线的极坐标方程
3、将极坐标方程化为直角坐标方程的方法
