6.1平面向量的概念 基础练习-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

6.1 平面向量的概念 基础练习
一、单选题
1.有下列说法：
①若两个向量不相等，则它们一定不共线；②若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB=CD ；③若 a//b ， b//c ，则 a//c ；④若 AB=CD ，则 |AB|=|CD| 且 AB//CD ．其中正确说法的个数是（??? ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
2.已知向量 a=(cos75°,sin75°),b=(cos15°,sin15°) ，则 |a?b| 的值为（ ??）
A.?12???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
3.已知 A(0,?1) ， B(0,3) ，则 |AB|= （ ??）
A.?2???????????????????????????????????????B.?10???????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????D.?210
4.已知平面向量 a=(sinθ,2019) ， b=(cosθ,2020) ，若 a//b ，则 tanθ= （???? ）
A.?20192020????????????????????????????B.?20202019????????????????????????????C.??20192020????????????????????????????D.??20202019
5.已知 |a|=|b|=2 ， a?b=?2 ．若 |c?a?b|=1 ，则 |c| 的取值范围是（?? ）
A.?[12?，?32]????????????????????????????????B.?[12?，?52]????????????????????????????????C.?[2?，?3]????????????????????????????????D.?[1?，?3]
6.已知 a ， b 是两个互相垂直的单位向量，且 c ? a = c ? b =1，则对任意的正实数t，| c +t a + 1tb |的最小值是（?? ）
A.?2???????????????????????????????????????B.?2 2???????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????D.?4 2
7.已知点A（1，2），B（3，7），向量 a ? =(x,?1),AB ∥ a ，则（ ??）
A.?x=25 ，且 AB 与 a 方向相同???????????????????????????B.?x=?25 ，且 AB 与 a 方向相同
C.?x=25 ，且 AB 与 a 方向相反???????????????????????????D.?x=?25 ，且 AB 与 a 方向相反
8.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ??）
A.?e1=(0,0) ， e2=(1,2)??????????????????????????????????????B.?e1=(?1,2) ， e2=(5,7)
C.?e1=(3,5) ， e2=(6,10)????????????????????????????????????D.?e1=(2,?3) ， e2=(12,?34)
9.设四边形ABCD中，有 DC = 12AB 且| AD |=| BC |，则这个四边形是（?? ）
A.?平行四边形???????????????????????????????B.?矩形???????????????????????????????C.?等腰梯形???????????????????????????????D.?菱形
10.已知向量 a 与 b 不共线， AB=a+mb ， AC=na+b （m，n∈R），则 AB 与 AC 共线的条件是（?? ）
A.?m+n=0???????????????????????????B.?m﹣n=0???????????????????????????C.?mn+1=0???????????????????????????D.?mn﹣1=0
11.如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足 AE =m AB ， AF =n AC ，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则| MN |的最小值为（?? ）
A.?24???????????????????????????????????????B.?33???????????????????????????????????????C.?34???????????????????????????????????????D.?53
12.已知向量 a =（2，1）， b =（1，x），若 a + b 与 2a?b 平行，则实数x的值是（?? ）
A.?﹣2??????????????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?2
13.下列命题中：
①若 a ? b =0，则 a = 0 或 b = 0 ；
②若| a |=| b |，（ a + b ）?（ a ﹣ b ）=0；
③若 a ? b = a ? c ，则 b = c ；
④若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c ；
其中正确的个数为（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
14.如图，在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（?? ）
A.?BG=23BE????????????????B.?CG=12AG????????????????C.?DG=12AG????????????????D.?GA+GB+GC=0
15.设 a ， b 都是非零向量，那么命题“ a 与 b 共线”是命题“| a + b |=| a |+| b |”的（?? ）
A.?充分不必要条件????????????????B.?必要不充分条件????????????????C.?充要条件????????????????D.?非充分非必要条件
16.下列命题正确的是（??? ）
A.?向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量
B.?任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点
C.?a与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线
D.?有相同起点的两个非零向量不平行
17.下列向量中不是单位向量的是（?? ）
A.?（﹣1，0）???????????????????B.?（1，1）???????????????????C.?（cosa，sina）???????????????????D.?a|a|（| a |≠0）
18.下列说法正确的是（?? ）
A.?向量 AB ∥ CD 就是 AB 所在的直线平行于 CD 所在的直线?????B.?共线向量是在一条直线上的向量
C.?长度相等的向量叫做相等向量?????????????????????????????????????????????????????D.?零向量长度等于0
19.设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（? )
A.?充分而不必要条件?????????B.?必要而不充分条件?????????C.?充分必要条件?????????D.?既不充分也不必要条件
20.已知AB→=(4,1)，BC→=(-1,k)若A，B，C三点共线，则实数k的值为（　　）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?-4??????????????????????????????????????????C.?-14??????????????????????????????????????????D.?14
二、解答题
21.已知向量 a=(1,2) ， b=(2sinθ,?cosθ) ，且 a⊥b .求：
（1）|b| ；
（2）sin(2θ+π4) .
22.已知 a =（x，1）， b =（4，﹣2）．
（Ⅰ）当 a ∥ b 时，求| a + b |；
（Ⅱ）若 a 与 b 所成角为钝角，求x的范围．
23.已知向量 a =（sin πx2 ，sin π3 ）， b =（cos πx2 ，cos π3 ），且向量 a 与向量 b 共线．
（1）求证：sin（ πx2 ﹣ π3 ）=0；
（2）若记函数f（x）=sin（ πx2 ﹣ π3 ），求函数f（x）的对称轴方程；
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）的值；
（4）如果已知角0＜A＜B＜π，且A+B+C=π，满足f（ 4Aπ ）=f（ 4Bπ ）= 12 ，求 sinBsinC 的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】对于①，当两个向量不相等时，可能方向相反，所以可能共线，故①不正确；
对于②，若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB=DC ，故②不正确；
对于③，当 b=0 时， a 与 c 可以不共线，故③不正确；
对于④，“若 AB=CD ，则 |AB|=|CD| 且 AB//CD 或 AB 与 CD 在一条直线上”，故④不正确.
故答案为：A.
2.【答案】 B
【解析】因为 |a|=1,|b|=1,a?b=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos60°=12 ，所以 |a?b|=(a?b)2=12?2×12+12=1 ，
故答案为：B.
3.【答案】 C
【解析】因为 A(0,?1) ， B(0,3) ，所以 AB=(0,4) ，
则 |AB|=4 .
故答案为：C.
4.【答案】 A
【解析】解:∵ a//b ,∴ 2020sinθ?2019cosθ=0 ,
∴ sinθcosθ=20192020 ,∴ tanθ=20192020 .
故答案为：A.
5.【答案】 D
【解析】因为 |a|=|b|=2 ， a?b=?2 ，所以 |a+b|2=|a|2+|b|2+2a?b=4+4?4=4 ，
即 |a+b|=2 ，
当 c 与 a+b 同向时， |c?(a+b)| 最小；当 c 与 a+b 反向时， |c?a?b| 最大，
又 |c?a?b|=1 ，
所以 ?1≤|c|?|a+b|≤1 ，即 1≤|c|≤3 .
故答案为：D
6.【答案】B
【解析】解：∵ a?b =0， |a|=|b|=1 ， c?a=c?b=1 ．
建立如图所示的直角坐标系，取 a=(1，0) ， b=(0，1) ．
设 c=(x，y) ，
∴（x，y）?（1，0）=（x，y）?（0，1）=1．
∴x=y=1．∴ c=(1，1) ．
∴ |c|=2 ．
∵t＞0．
∴ |c+ta+1tb| = c2+t2a2+1t2b2+2ta?c+2tb?c+2a?b
= 2+2(t+1t)+t2+1t2≥2+4+2 = 22 ，当且仅当t=1时取等号．
故选：B．
7.【答案】 D
【解析】解：因为 A(1,2),B(3,7) ，
所以 AB=(2,5) ，
a=(x,?1),AB//a ，
可得 5x=?2 ，解得 x=?25 ，
a=(?25,?1) 与 AB 方向相反，
故答案为：D.
8.【答案】 B
【解析】 A 选项中，零向量与任意向量都共线，A不符合题意；
B 选项中，不存在实数 λ ，使得 e1=λe2 ，故两向量不共线，B符合题意；
C 选项中， e2=2e1 ，两向量共线，C不符合题意；
D 选项中， e1=4e2 ，两向量共线，D不符合题意；
故答案为： B
9.【答案】C
【解析】解：∵ DC = 12 AB ， ∴DC∥AB，且DC≠AB．
又| AD |=| BC |，
∴四边形为等腰梯形．
故选C
10.【答案】D
【解析】解：由 AB=a+mb ， AC=na+b(m，n∈R) 共线， 得 a+mb=λ(na+b) ，即mn﹣1=0，
故选：D．
11.【答案】C
【解析】解：因为 AE =m AB ， AF =n AC ，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点
所以 MN=AN?AM = 12 （ AB+AC ）﹣ 12 （ AE+AF ）= 12 （1﹣m） AB +12 （1﹣n） AC ，又m+n=1，
所以 MN=12(1?m)AB+12mAC ，
所以| MN |2= 14(1?m)2AB2+14m2AC2 + 12(1?m)mAB?AC ，△ABC是边长为1的等边三角形，
所以上式整理得| MN |2= 14(1?m)2+14m2+14(1?m)m = 14(1?12m)2+316 ，
所以当m= 12 时，| MN |2最小值为 316 ，
所以| MN |的最小值为 34 ；
故选C．
12.【答案】B
【考点】平行向量与共线向量
【解析】解： a + b =（3，1+x）， 2a?b =（3，2﹣x）， ∵ a + b 与 2a?b 平行，
∴3（1+x）﹣3（2﹣x）=0，解得x= 12 ．
故选：B．
13.【答案】 A
【解析】解：对于①，当 a ? b =0时， a = 0 或 b = 0 或 a ⊥ b ，∴①错误；
对于②，当| a |=| b |时，（ a + b ）?（ a ﹣ b ）= a2 ﹣ b2 =| a2 |﹣| b2 |=0，∴②正确；
对于③，当 a ? b = a ? c 时， a ? b ﹣ a ? c = a ?（ b ﹣ c ）=0，∴ a = 0 或 b ﹣ c = 0 或 a ⊥（ b ﹣ c ），∴③错误；
对于④，当 b = 0 时，有 a ∥ b ， b ∥ c ，但 a ∥ c 不一定成立，∴④错误；
综上，正确的命题个数为1．
故选：A．
14.【答案】C
【解析】解：由条件可知G为△ABC的重心，由三角形重心的性质可知 DG=12GA ，故C不正确． 故选项为C
15.【答案】B
【解析】解：由命题“ a 与 b 共线”可得 a 与 b 方向相同或方向相反，
若 a 与 b 方向相同，则有 |a+b| = |a|+|b| ，
若 a 与 b 方向相反，则有 |a+b| = ，故不能推出 |a|+|b| ．
由 |a+b| = |a|+|b| ，可得 a 与 b 方向相同， a 与 b 共线．
故命题“ a 与 b 共线”是命题“| a + b |=| a |+| b |”的必要不充分条件，
故选B．
16.【答案】 A
【解析】解：对于A，若 a 或 b 是非零向量，则向量 a 与 b 共线是真命题，
所以它的逆否命题也是真命题；
对于B，任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点，
或四个顶点在一条直线上，故原命题错误；
对于C， a 与 b 共线， b 与 c 共线时， a 与 c 也共线，
当 b = 0 时命题不一定成立，故是假命题；
对于D，有相同起点的两个非零向量也可能平行，故原命题错误．
综上，正确的命题是A．
故选：A．
17.【答案】 B
【解析】解：A．C．D．中的向量的模都等于1，因此都是单位向量；
B中的向量的模= 2 ，因此不是单位向量．
故选：B．
18.【答案】 D
【解析】解：A：向量 AB ∥ CD 就是 AB 所在的直线平行于 CD 所在的直线，不正确；
B：共线向量是在一条直线上的向量，不正确；
C：长度相等的向量叫做相等向量，不正确；
D：零向量长度等于0，正确；
故选：D．
19.【答案】 D
【解析】若 |a|=|b| 成立，则以 a ， b 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形， a+b ， a?b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以 |a+b|=|a?b| 不一定成立，从而不是充分条件；反之， |a+b|=|a?b| 成立，则以 a ， b 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以 |a|=|b| 不一定成立，从而不是必要条件.
【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案
20.【答案】 C
【解析】解：∵A，B，C三点共线，∴AB→与BC→共线
又∵AB→=(4,1)，BC→=(-1,k)，
∴4k﹣1×（﹣1）=0，
解得k=-14
故选C
二、解答题
21.【答案】 （1）解：因为 a⊥b ，所以 a?b=0?2sinθ?2cosθ=0
sinθ=2cosθ ，又 sin2θ+cos2θ=1
所以 2cos2θ+cos2θ=1?cos2θ=13 ， sin2θ=23
|b|=2sin2θ+cos2θ=43+13=53
（2）解：由（1） sinθ=2cosθ ，若 cosθ=0 ，则 sinθ=0 ，与 sin2θ+cos2θ=1 矛盾
所以 tanθ=sinθcosθ=2
sin(2θ+π4)=sin2θcosπ4+cos2θsinπ4=22?sin2θ+cos2θsin2θ+cos2θ
=22?2sinθcosθ+cos2θ?sin2θsin2θ+cos2θ=22?2tanθ+1?tan2θtan2θ+1
=22?22+1?22+1=4?26
【解析】（1）根据垂直关系和平方关系求出 cos2θ=13 ， sin2θ=23 ，根据公式即可求得模长；（2）结合（1）的垂直关系得 tanθ=sinθcosθ=2 ，展开 sin(2θ+π4) 构造齐次式求解.
22.【答案】解：（Ⅰ）当 a ∥ b 时，有﹣2x﹣4=0，解得：x=﹣2，
故 a + b =（2，﹣1），所以| a + b |= 5 ；
（Ⅱ）由 a ? b =4x﹣2，且 a 与 b 所成角为钝角，则满足4x﹣2＜0且 a 与 b 不反向，由第（Ⅰ）问知，当x=﹣2时， a 与 b 反向，
?? 故x的范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2， 12 ）．
【解析】（Ⅰ）根据向量共线的坐标公式可得x=﹣2，即得a→ +b→ =（2，﹣1）再根据向量的模求得结果。
???????????? （Ⅱ）根据向量的数量积运算公式；a→ ? b→=4x﹣2, 所成角为钝角，即得4x﹣2＜0.由已知可得,当x=﹣2时，?a→ 与?b→ 反向，即得x的取值范围。
23.【答案】 （1）证明：∵向量 a 与向量 b 共线，
∴sin πx2 cos π3 ﹣sin π3 cos πx2 =0，即sin（ πx2 ﹣ π3 ）=0
（2）解：由 πx2?π3=π2+kπ （k∈Z）得， x=53+2k(k∈Z) ，
∴函数f（x）的对称轴方程是 x=53+2k(k∈Z)
（3）由f（x）=sin（ πx2 ﹣ π3 ）得，函数f（x）的周期T= 2ππ2 =4，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）= sinπ6+sin2π3+sin7π6+sin(?π3) =0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=503×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+ sinπ6 = 12
（4）由f（ 4Aπ ）=f（ 4Bπ ）= 12 得， sin(2A?π3)=sin(2B?π3)=12 ，
∵0＜A＜B＜π，∴ ?π3<2A?π3<5π3 ， ?π3<2B?π3<5π3 ，
则 2A?π3=π6 ， 2B?π3=5π6 ，
解得，A= π4 ，B= 7π12 ，
由A+B+C=π得，C= π6 ，
∴ sinBsinC=sin7π12sinπ6 =2sin（ π4+π3 ）= 6+22
【解析】（1）根据向量共线的条件和两角差的正弦公式化简即可；（2）根据正弦函数的对称轴得： πx2?π3=π2+kπ （k∈Z），再求出x的式子得函数f（x）的对称轴方程；（3）先由周期公式求出函数的周期，再求出一个周期内的函数值的和，然后判断出式子中共有多少个周期，再求出式子的值；（4）把条件代入解析式化简后，根据角的范围求出A、B的值，再求出C的值，代入式子根据两角和的正弦公式化简求值．