6.2平面向量的运算 基础练习-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

6.2平面向量的运算 基础练习
一、单选题
1.下列各式中不能化简为 AD 的是（??? ）
A.?(AB?DC)?CB???????????????????????????????????????????????B.?AD?(CD+DC)
C.??(CB+MC)?(DA+BM)?????????????????????????????D.??BM?DA+MB
2.下列命题中正确的是（??? ）
A.?OA?OB=AB??????????????B.?AB?BA=0
??????????????C.?0?AB=0??????????????D.?AB+BC?DC=AD
3.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以 A,B,C,D,E 为顶点的多边形为正五边形，且 PTAP=5?12 ，则（??? ）
A.?CT=3?52CA+3?52CE??????????????????????????????B.?CT=5?12CA+5?12CE
C.?CT=5?12CA+5?12CE???????????????????????????????D.?CT=3?54CA+5?12CE
4.如图，在直角梯形 ABCD 中， AB=2AD=2DC ， E 为 BC 边上一点， BC =3EC ， F 为 AE 的中点，则 BF ＝（??? ）
A.?23AB?13AD???????????????B.?13AB?23AD???????????????C.??23AB+13AD???????????????D.??13AB+23AD
5.化简： AB?CB+CD?ED?AE= （??? ）
A.?0????????????????????????????????????????B.?AB????????????????????????????????????????C.?BA????????????????????????????????????????D.?CA
6.下列说法中正确的是（??? ）
A.?平行向量就是向量所在的直线平行的向量???????????B.?长度相等的向量叫相等向量
C.?零向量的长度为零??????????????????????????????????????????????D.?共线向量是在一条直线上的向量
7.若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2| ?x12+y12?x22+y22 的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：
①f（x）＝x +1x （x＞0）；②f（x）＝lnx（0＜x＜3）；③f（x）＝cosx；④f（x）＝x2﹣1.其中为“柯西函数”的个数为（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
8.如图，在矩形 ABCD 中，E为 CD 中点，那么向量 12AB+AD 等于（??? ）
A.?AE??????????????????????????????????????B.?AC??????????????????????????????????????C.?DC??????????????????????????????????????D.?BC
9.有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若 |a|=|b| ，则 a=b ；③若 |AB|=|DC| ，则四边形 ABCD 是平行四边形；④若 m=n ， n=k ，则 m=k ；⑤若 a//b ， b//c ，则 a//c ；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是（?? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
10.已知G为 △ABC 的重心， DG=?12AG ，则 AD= （??? ）
A.?13AB+12AC?????????????????B.?13AB+13AC?????????????????C.?12AB+13AC?????????????????D.?12AB+12AC
11.已知AM是 △ABC 的BC边上的中线，若 AB=a ， AC=b ，则 AM 等于（??? ）
A.?12(a?b)??????????????????????B.??12(a?b)??????????????????????C.?12(a+b)??????????????????????D.??12(a+b)
12.在 △ABC 中，点 D 为 AB 边上一点，且 AD=14AB ，则 CD= （??? ）
A.?34CA+14CB?????????????B.??34CA?14CB?????????????C.??34CA+14CB?????????????D.?14CA+34CB
13.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量 λa+b 与 c 共线,则实数 λ= （? ?）
A.?-2??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?2
14.如图，在四边形ABCD中，若 AB=DC ，则图中相等的向量是(??? )
A.?AD 与 CB???????????????????????B.?OB 与 OD???????????????????????C.?AC 与 BD???????????????????????D.?AO 与 OC
15.如图， D 是 ΔABC 的边 AB 的中点，则向量 CD 等于(??? )
A.??12BA+BC??????????????????B.?12BA+BC??????????????????C.??12BA?BC??????????????????D.?12BA?BC
16.设点A，B，C不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“ |AB+AC|>|BC| ”的（?? ）
A.?充分而不必要条件?????????B.?必要而不充分条件?????????C.?充分必要条件?????????D.?既不充分也不必要条件
17.给出下列命题：①两个长度相等的向量一定相等；②零向量方向不确定；③若 ABCD?A'B'C'D' 为平行六面体，则 AB=D'C ；④若 ABCD?A'B'C'D' 为长方体，则 AB+BC+CC'=AA'+A'D' ．其中正确命题的个数为（??? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
18.已知 a ， b ， c 和 d 为空间中的4个单位向量，且 a+b+c=0 ，则 |a?d|+|b?d|+|c?d| 不可能等于（?? ）
A.?3????????????????????????????????????????B.?23????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?32
19.设点O是正方形 ABCD 的中心，则下列结论错误的是（　　）
A.?AO=OC??????????????????????B.?BO//DB??????????????????????C.?AB 与 CD 共线??????????????????????D.?AO=BO
20.如图，在等腰梯形 ABCD 中， DC=12AB,BC=CD=DA ， DE⊥AC 于点 E ，则 DE= （?? ）

A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
二、解答题
21.如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段 OB 的一个靠近点B的三等分点,设 AB=a,AO=b .
（1）用向量 a 与 b 表示向量 OC,CD ;
（2）若 OE=45OA ,求证:C,D,E三点共线.
22.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，且 AO=a ， AD=b ，用 a ， b 分别表示向量 CB ， CO ， OD ， OB .
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】 (AB?DC)?CB=AB+BC+CD=AD ；
AD?(CD+DC)=AD?0=AD ；
?(CB+MC)?(DA+BM)=?(CB+BM)?DA?MC=?CM?DA+CM=AD ；
?BM?DA+MB=2MB+AD≠AD .
故答案为：D.
2.【答案】 D
【解析】对于A， OA?OB=BA ，A不符合题意；
对于B， AB?BA=?BA?BA=?2BA ，B不符合题意；
对于C， 0?AB=0 ，C不符合题意；
对于D， AB+BC?DC=AC+CD=AD ，D符合题意.
故答案为：D.
3.【答案】 A
【解析】设 AP=a ，
因为 PTAP=5?12 ，
所以 PT=5?12a,CP=5+12a,CA=5+32a ，
所以 CP=5+15+3CA,PT=5?12TE=5?12CE?5?12CT ，
因为 CT=CP+PT ，
所以 5+12CT=5+15+3CA+5?12CE ，
所以 CT=25+1?5+15+3CA+5?15+1CE ，
=25+3CA+5?15+1CE ，
=3?52CA+3?52CE .
故答案为：A
4.【答案】 C
【解析】解： BF=BA+AF=BA+12AE=?AB+12(AD+12AB+CE)
=?AB+12(AD+12AB+13CB)
=?AB+12AD+14AB+16CB
=?AB+12AD+14AB+16(CD+DA+AB)
=?AB+12AD+14AB+16(?12AB?AD+AB)
=?AB+12AD+14AB+112AB?16AD
=?23AB+13AD
故答案为：C.
5.【答案】 A
【解析】解： AB?CB+CD?ED?AE
=AB+BC+CD+DE?AE
=AE?AE=0 ．
故答案为：A．
6.【答案】 C
【解析】解：平行向量也叫共线向量，是指方向相同或相反的两个向量，另外规定零向量与任意向量平行，A，D不符合题意；
相等向量是指长度相等、方向相同的向量，B不符合题意；
长度为零的向量叫零向量，C对；
故答案为：C．
7.【答案】 C
【解析】对由柯西不等式得：对任意实数x1 ， y1 ， x2 ， y2：|x1x2+y1y2| ?x12+y12?x22+y22≤0 恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1＝kx2 ， y1＝ky2取等号），
若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2| ?x12+y12?x22+y22 的最大值为0，
则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
使得 OA 、 OB 共线，即存在点A、B与点O共线.
设AB的方程为y＝kx，由 kx=x+1x(x>0) ，得 (k?1)x2=1 ，不可能存在两个正数解，故①不是柯西函数；
对于②，由 kx=lnx(0令 g(x)=lnxx,g'(x)=1?lnxx2 ，由 g'(x)>0 得 0当 0所以当 k∈(ln33,1e) 时， y=kx,f(x)=lnx(0对于③，取A（0，0），点B任意，均满足定义，故③是柯西函数
对于④取A（﹣1，0），B（1，0），均满足定义，故④是柯西函数
故答案为：C.
8.【答案】 A
【解析】因为 12AB+AD=AD+DE=AE ，
故答案为：A．
9.【答案】 C
【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若 |a|=|b| ，方向不确定，则 a 、 b 不一定相同，∴②错误；对于③，若 |AB|=|DC| ， AB 、 DC 不一定相等，∴四边形 ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若 m=n ， n=k ，则 m=k ，④正确；对于⑤，若 a//b ， b//c ，当 b=0 时， a//c 不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个，
故选C.
10.【答案】 D
【解析】如图所示：
因为 DG=?12AG ，所以 A,D,G 三点共线.
又因为 G 为 △ABC 的重心，所以 D 为 AB 的中点.
故 AD=12AB+12AC .
故答案为：D.
11.【答案】 C
【解析】由向量的加法法则作出 AB+AC 的和向量 AD ，因为 M 是 BC 中点，
则 AM=12AD=12(AB+AC) ，故 AM=12(a+b)
故答案为：C
12.【答案】 A
【解析】由题 AD=14AB ,则 CD?CA=14(CB?CA)=34CA+14CB
故答案为：A
13.【答案】 D
【解析】由图中可知 2a+b=c ，若向量 λa+b 与 c 共线,则 λ=2 .
故答案为：D.
14.【答案】 D
【解析】因为 AB = DC ，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AC，BD互相平分，
所以 AO = OC ，
即 AO 与 OC 是相等的向量，
故答案为：D．
15.【答案】 D
【解析】D是 ΔABC 的边AB的中点，则向量 CD=CB+BD=?BC+12BA .
故答案为： D .
16.【答案】 C
【解析】∵A?B?C三点不共线,∴
| AB + AC |>| BC | ? | AB + AC |>| AB - AC |
? | AB + AC |2>| AB - AC |2 ?AB ? AC >0 ?AB 与 AC
的夹角为锐角.故“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB + AC |>| BC |”的充分必要条件,
故答案为：C.
17.【答案】 D
【解析】对①，方向不一定相同，故①错误；
对②，根据零向量的定义可知正确，故②正确；
对③，两个向量的方向不相同，故③错误；
对④，利用向量加法进行运算得： AB+BC+CC'=AC' ， AA'+A'D'=AD' ，故④错误；
故答案为：D.
18.【答案】 A
【解析】因为 |a?d|+|b?d|+|c?d| ≥|a?d+b?d+c?d|=|a+b+c?3d|
而 a+b+c=0 ，
所以 |a?d|+|b?d|+|c?d| ≥|?3d|=3
因为 a ， b ， c ， d 是单位向量，且 a+b+c=0 ，
所以 a?d，b?d，c?d 不共线，
所以 |a?d|+|b?d|+|c?d| >3 ，
故答案为：A.
19.【答案】 D
【解析】解：如图， ∵AO 与 OC 方向相同，长度相等， ∴ A正确；
∵B , O , D 三点在一条直线上， ∴BO//DB ，B正确；
∵AB∥CD ， ∴AB 与 CD 共线，C正确；
∵AO 与 BO 方向不同， ∴AO≠BO ，D错误.
故答案为：D.
20.【答案】 A
【解析】因为 DC=12AB,BC=CD=DA ， DE⊥AC
所以 E 是 AC 的中点，
可得 DE=12DA+12DC=12(DC+CA)+12DC
=DC?12AC=12AB?12AC ，
故答案为： A .
二、解答题
21.【答案】 （1）解：∵ AB=a , AO=b ,
∴ OC=OA+AC=?b?a ,
CD=CB+BD=CB+13BO=CB+13(BA+AO)=2a+13(?a+b)=53a+13b .
（2）解： ∵OE=45OA
∴CE=OE?OC=45(?b)+a+b=a+15b=35CD ,
∴ CE 与 CD 平行,
又∵ CE 与 CD 有共同点C,
∴ C ， D ， E 三点共线.
【解析】（1）根据题意，利用向量的加法与减法的几何意义，得出 OC=OA+AC ， CD=CB+BD ，即可用 a 、 b 表示；（2）由 OE=45OA ，只需找到 CD 与 CE 的关系，即可得证.
22.【答案】 解：依题意， CB=DA=?AD=?b , CO=OA=?AO=?a , OD=AD?AO=b?a , OB=?OD=a?b .
【解析】利用平面向量减法的运算，以及相反向量的知识，求出题目所求四个向量的表示形式.