6.3平面向量基本定理及坐标表示 基础练习-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 基础练习
一、单选题
1.在四边形 ABCD 中， AB=DC=(6,8) ，且 AB|AB|+AD|AD|=AC|AC| ，则 |BD|= （??? ）
A.?5??????????????????????????????????????B.?10??????????????????????????????????????C.?102??????????????????????????????????????D.?103
2.已知向量 a=(2,3) ， b=(k,5) ，且 a?b=3 ，则 |2a+b|= （??? ）
A.?43?????????????????????????????????????B.?32?????????????????????????????????????C.?55?????????????????????????????????????D.?62
3.已知 a,b 是平面向量，满足 |a|=2,|b|≤1 ，且 |3b?2a|≤2 ，记 a 与 b 的夹角为 θ ，则 cosθ 的最小值是（??? ）
A.?1116?????????????????????????????????????B.?78?????????????????????????????????????C.?158?????????????????????????????????????D.?31516
4.已知 e1 ， e2 是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是（??? ）
A.?{e1+e2,e1?e2}????????????B.?{3e1?2e2,4e2?6e1}
????????????C.?{e1+2e2,e2+2e1}????????????D.?{e2,e1+e2}
5.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（??? ）
A.?e1→ ＝(2，2)， e2→ ＝(1，1)
???????????????????????????????????B.?e1→ ＝(1，－2)， e2→ ＝(4，－8)
C.?e1→ ＝(1，0)， e2→ ＝(0，－1)
???????????????????????????????D.?e1→ ＝(1，－2)， e2→ ＝ (?12,1)
6.已知直线 l1 的一个方向向量为 a=(1,?2,2) ，直线 l2 的一个方向向量为 b=(1,2,0) ，则两直线所成角的余弦值为（??? ）
A.?53????????????????????????????????????B.?255????????????????????????????????????C.??55????????????????????????????????????D.?55
7.如图，在平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中， AA1=a ， AB=b ， AD=c 点 P 在 A1C 上，且 A1P:PC=2:3 ，则 AP= （??? ）．
A.?25a+35b+35c??????????B.?35a+25b+25c??????????C.??25a+25b+35c??????????D.?35a?25b?25c
8.已知向量 a，b 的夹角为 60° ， |a|=2 ， |b|=1 ，则 |a+2b|= （??? ）
A.?3????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?23????????????????????????????????????????D.?12
9.已知向量 a=(ax,ay,az) ， b=(bx,by,bz) ， {??i,j,k?} 是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算： a×b=(aybz?azby)i+(azbx?axbz)j+(axby?aybx)k=|ijkaxayazbxbybz|=(|ayazbybz|,?|axazbxbz|,|axaybxby|) 其中行列式计算表示为 |abcd|=ad?bc ，若向量 AB=(2,1,4),AC=(3,1,2), 则 AB×AC= （?? ?）
A.?(?4,?8,?1)?????????????????B.?(?1,4,?8)?????????????????C.?(?2,8,?1)?????????????????D.?(?1,?4,?8)
10.已知 |a|=2 ， |b|=4 ， a?b=?4 ，则向量 a 与 b 的夹角为（??? ）
A.?30°?????????????????????????????????????B.?60°?????????????????????????????????????C.?150°?????????????????????????????????????D.?120°
11.已知 a=(x,x?2),b=(?1,3) ，若 a⊥b ，则 x= （??? ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?-1
12.如图，在梯形 ABCD 中， AB//CD ， AB=4 ， AD=3 ， CD=2 ， AM=2MD ， AC?BM=?3 ，则 AB?AD= （??? ）．
A.?12??????????????????????????????????????B.??12??????????????????????????????????????C.?32??????????????????????????????????????D.??32
13.已知非零向量 a 、 b ，若 |a|=3|b| ， a⊥(a?2b) ，则 a 与 b 的夹角是（??? ）
A.?π6????????????????????????????????????????B.?π3????????????????????????????????????????C.?2π3????????????????????????????????????????D.?5π6
14.已知圆 x2+y2=1 与 y 轴的负半轴交于点 A ，若 B 为圆上的一动点， O 为坐标原点则 OA?BA 的取值范围为（??? ）
A.?[0,2]?????????????????????????????????B.?[0,1]?????????????????????????????????C.?[?2,2]?????????????????????????????????D.?[?1,1]
15.a=(1,m) ， b=(?2,4) ， c=(n,1) ， a/ b ， (a+c)⊥b ，则 m+n= （????? ）
A.??12????????????????????????????????????????B.?－5????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?5
16.已知向量 a 与 b 的夹角为 π6 ，且 |a|=2|b|=2 ，则 a?b= （??? ）
A.?3?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?23?????????????????????????????????????????D.?2
17.已知 AM，BN 分别为圆 O1:(x+1)2+y2=1 与 O2:(x?2)2+y2=4 的直径，则 AB?MN 的取值范围为（??? ）
A.?[0,8]????????????????????????????????????B.?[0,9]????????????????????????????????????C.?[1,8]????????????????????????????????????D.?[1,9]
18.设向量 a , b , c 满足| a |=| b |=1, a?b=?12 , ?a?c,b?c?=600 ,则| c |的最大值等于（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?2
19.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度 v1 的大小 |v1|=10km/h ，水流的速度 v2 的大小 |v2|=4km/h ，设 v1 和 v2 所成角为 θ(0<θ<π) ，若游船要从 A 航行到正北方向上位于北岸的码头 B 处，则 cosθ 等于（??? ）
A.??215??????????????????????????????????B.??25??????????????????????????????????C.??35??????????????????????????????????D.??45
20.已知向量 a=(2,?1) ， b=(?3,2) ， c=(1,m) ，若 (a+b)⊥c ，则 |c|= （??? ）.
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?2
二、解答题
21.已知向量 a 与 b 的夹角 θ=3π4 ，且 |a|=3 ， |b|=22 ．
（1）求 a?b ， |a+b| ；
（2）求 a 与 a+b 的夹角的余弦值．

22.已知| a |=2，| b |=3，(2 a? 3 b )?(2 a+b )=﹣7.
（1）求| a+b |；
（2）求向量 a 与 a+b 的夹角的余弦值.
23.已知 a=(2,0) ， |b|=1 ．
（1）若 a 与 b 同向，求 b ；
（2）若 a 与 b 的夹角为 120? ，求 a+b ．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】 AB=DC=(6,8) ，则四边形 ABCD 为平行四边形，
设 m,n,p 都是单位向量， m+n=p ，则 (m+n)2=p2 ， m2+2m?n+n2=p2 ， 1+2m?n+1=2 ，则 m?n=?12=cos ，所以 =120° ，
因此由 AB|AB|+AD|AD|=AC|AC| 知 ∠BAD=120? ，且 AC 是 ∠BAD 的平分线，因此 ABCD 是菱形，而 |AB|=10 ，∴ |BD|=3|AB∣=103 ，
故答案为：D.
2.【答案】 C
【解析】∵ a=(2,3) ， b=(k,5) ，
∴ a?b=2k+3×5=3 ，解得 k=?6 .
∴ b=(k,5)=(?6,5) ，∴ 2a+b=2(2,3)+(?6,5)=(?2,11) ，
∴ |2a+b|=(?2)2+112=55 ，
故答案为：C.
3.【答案】 B
【解析】由 |3b?2a|≤2 得， (|3b?2a|)2=9b2+4a2?12a?b≤4 ，所以 a?b≥1+3|b|24 .
则 cosθ=a?b|a|?|b|≥1+3|b|242|b|=12|b|+3|b|8?
令函数 f(x)=12x+3x8 ，因为 f(x) 在 [0,1] 上单调递减.
又因为 |b|≤1 ，故当 |b|=1 时， cosθ 取得最小值，最小值为 78 .
故答案为：B
4.【答案】 B
【解析】因为 4e2?6e1=?2(3e1?2e2) ，所以 4e2?6e1 与 3e1?2e2 共线，
所以 {3e1?2e2,4e2?6e1} 不能作为基底，
故答案为：B.
5.【答案】 C
【解析】A中， e1→=2e2→ ， e1→ ， e2→ 共线，所以A不正确；
B中， e2→=4e1→ ， e1→ ， e2→ 共线，所以B不正确；
C中， e1→ ， e2→ 不共线，可以作为一组基底，所以C符合题意；
D中， e1→=?2e2→ ， e1→ ， e2→ 共线，所以D不正确；
故答案为：C
6.【答案】 D
【解析】由向量的夹角公式可得，
两条直线的夹角的余弦值为 cos?a,b?=|a?b||a|,|b|=|1?4|1+4+41+4=55 。
故答案为：D.
7.【答案】 B
【解析】因为 A1P:PC=2:3 ，可得 A1P=25A1C ，
根据空间向量的运算法则，可得 AP=AA1+A1P=AA1+25A1C =AA1+25(AC?AA1)
=35AA1+25AC=35AA1+25(AB+BC)=35AA1+25(AB+AD)=35AA1+25AB+25BC ，
又由 AA1=a ， AB=b ， AD=c ，
所以 AP=35a+25b+25c 。
故答案为：B.
8.【答案】 C
【解析】解： ∵ 向量 a 与 b 的夹角为 60° ， |a|=2 ， |b|=1 ，
∴ |a+2b|=(a+2b)2=a2+4a?b+4b2
=22+4×2×1×12+4×12=23 ，
故答案为：C。
9.【答案】 C
【考点】平面向量的正交分解及坐标表示
【解析】由题意得 AB×AC=(1×2?4×1)i+(4×3?2×2)j+(2×1?1×3)k=(?2,8,?1) ，故答案为：C。

10.【答案】 D
【解析】设向量 a 与 b 的夹角为 θ ，则
cosθ=a?b|a||b|=?42×4=?12 ，∵ θ∈[0°,180°] ，∴ θ=120° ，
故答案为：D.
11.【答案】 A
【解析】 ∵a⊥b ，
∴a?b=x×(?1)+(x?2)×3=0 ，解得 x=3 .
故答案为：A.
12.【答案】 C
【解析】∵在梯形 ABCD 中， AB//CD ， AB=4 ， AD=3 ， CD=2 ， AM=2MD ，
∴ AC?BM=(AD+DC)?(BA+AM)=(AD+12AB)?(?AB+23AD)
=23AD2?12AB2?23AD?AB=?3 ．
∴ =23×32?12×42?23×AB?AD=?3
则 AB?AD=32 ．
故答案为：C．
13.【答案】 A
【解析】设 a 与 b 的夹角为 θ ， ∵|a|=3|b| ， a⊥(a?2b) ，
则 a?(a?2b)=a2?2a?b=|a|2?2|a|?|b|cosθ=3|b|2?23|b|2cosθ=0 ，可得 cosθ=32 ，
∵0≤θ≤π ， ∴θ=π6 .
故答案为：A.
14.【答案】 A
【解析】圆 x2+y2=1 与 y 轴的负半轴交于点 A ，若 B 为圆上的一动点， O 为坐标原点，
可得 A(0,?1) ，设 B(cosθ,sinθ) ，
所以 OA?BA=(0 ， ?1)?(?cosθ ， ?sinθ?1)=sinθ+1∈[0 ， 2] ．
故答案为：A
15.【答案】 B
【解析】由 a /b ，则 m×(?2)=1×4 ，得 m=?2
所以 a=(1,?2) ， a+c=(1+n,?1)
由 (a+c)⊥b ，则 (a+c)?b=0 ，得 (1+n)×(?2)+(?1)×4=0 ，解得 n=?3
所以 m+n=?5
故答案为：B
16.【答案】 A
【解析】由 |a|=2|b|=2 ，则 |a|=2 ， |b|=1 ，
又向量 a 与 b 的夹角为 π6 ，
所以 a?b=|a||b|cos?a,b?=2×1×32=3 .
故答案为：A
17.【答案】 A
【解析】如图，
AB?MN=(AO1+O1O2+O2B)?(MO1+O1O2+O2N)=[O1O2+(AO1+O2B)]?[O1O2?(AO1+O2B)] =|O1O2|2?|AO1+O2B|2=9?|AO1+O2B|2 其中 |AO1+O2B|∈[2?1,2+1]=[1,3] ，所以
AB?MN∈[9?32,9?12]=[0,8] .
故答案为：A
18.【答案】 D
【解析】由于 |a|=|b|=1,a?b=|a|?|b|?cosθ=cosθ=?12 ，故 a,b 两个向量的夹角为 120? ，结合 a?c,b?c=60? ，画出图象如下图所示.
O1A=a,O1B=b,O1C=c ，四边形对角互补的话，该四边形是圆的内接四边形，故当 O1C 为直径时， |c| 取得最大值.由于直径所对的角为直角，故 |OC|=2|O1A|=2 ，即 |c| 取得最大值为2.
故答案为：D.
19.【答案】 B
【解析】由题意知 (v1+v2)?v2=0, 有 |v1||v2|cosθ+v22=0, 即 10×4cosθ+42=0, 所以 cosθ=?25 ，
故答案为：B．
20.【答案】 B
【解析】 a+b=(?1,1) ， (a+b)?c=?1+m=0 ，
故 m=1 ，所以 |c|=2 .
故答案为：B
二、解答题
21.【答案】 （1）解：由已知，得 a?b=|a|?|b|cosθ=3×22×(?22)=?6 ，
|a+b|=(a+b)2=a2+2a?b+b2=32+2×(?6)+(22)2=5 ；
（2）解：设 a 与 a+b 的夹角为 α ，
则 cosα=a?(a+b)|a|?|a+b|=a2+a?b|a|?|a+b|=9?63×5=55 ，
因此， a 与 a+b 的夹角的余弦值为 55 .
【解析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出 a?b? 的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出 |a→+b→|=(a→+b→)2 的值；
（2）利用平面向量夹角的余弦公式可求得。
?
22.【答案】 （1）解：∵已知| a |=2，| b |=3，(2 a?3b )?(2 a+b )=4 a2?4a ? b?3b2= 16﹣4 a ? b? 27=﹣7，
∴ a ? b=? 1.
∴| a+b | =(a+b)2=a2+2a?b+b2=4?2+9=11 .
（2）解：设向量 a 与 a+b 的夹角为θ，则cosθ =a?(a+b)|a|?|a+b|=a2+a?b2?11=4?1211=31122 .
【解析】(1)根据题意由向量的运算性质结合数量积公式计算出结果即可。
(2)由数量积的运算公式代入数值计算出 cosθ 的值即可。
23.【答案】 （1）解：设 b=(x,y) ，由题意可得，存在实数 λ>0 ，使得 b=λa ，
即 (x ， y)=λ(2 ， 0)=(2λ ， 0) ，所以 x=2λ ， y=0 ，
由 |b|=1 可得 4λ2=1 ，即 λ=12 或 λ=?12 （舍 ) ，所以 b=(1,0)
（2）解：设 b=(x,y) ，所以 a·b=|a||b|cos120°=2×1×(?12)=?1 ，
又因为 a·b=(2,0)?(x,y)=2x ，
故 2x=?1 即 x=?12 ，
因为 |b|=1 ，所以 x2+y2=1 ，
故 y=±32 ，
当 y=32 ， x=?12 时， a+b=(32,32) ，
当 y=?32 ， x=?12 时， a+b=(32,?32)
【解析】（1）先设 b=(x,y) ，再根据向量共线定理即可求解即可；（2）由已知结合向量数量积的定义及数量积的坐标表示即可求解．