7.1.复数的概念 基础练习-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

7.1.复数的概念 基础练习
一、单选题
1.若 z+2z=3?i ，则 |z|= （??? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????????????
?C.?3??????????????????????????????????????D.?2
2.设 i 是虚数单位，则复数 z=2i(?2+3i) 对应的点在复平面内位于（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限
???C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
3.若复数 z 满足 z(1?i)=2i ，则下列说法正确的是（??? ）
A.?z 的虚部为 i??????????????????????????
B.?z 为实数??????????????????????????
C.?|z|=2?????????????????????????
?D.?z+z=2i
4.设 z=3?i1+2i ， z 的虚部是（??? ）
A.?75i??????????????????????????????????????B.?75??????????????????????????????????????
C.??75i???????????????????????????????? D.??75
5.设复数z满足 |z?3+4i|=2 ，z在复平面内对应的点为 (x,y) ，则（??? ）
A.?(x?3)2+(y+4)2=4?????????????????????????????????????????
B.?(x+3)2+(y?4)2=4
C.?(x?3)2+(y+4)2=2????????????????????????????????????????
?D.?(x+3)2+(y?4)2=2
6.在复平面内，复数 z 的对应点为 (1,?1) ，则 z= （??? ）
A.?1+i??????????????????????????????????B.??1+i??????????????????????????????????
C.?1?i??????????????????????????????????D.??1?i
7.若点P对应的复数 z 满足 |z|≤1 ，则P的轨迹是（?? ）
A.?直线???????????????????B.?线段?????????????????C.?圆??????????????D.?单位圆以及圆内
8.任何一个复数 z=a+bi （其中 a,b∈R ，i为虚数单位）都可以表示成 z=r(cosθ+isinθ) （其中 r≥0 ， θ∈R ）的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： [r(cosθ+isinθ]n=rncosnθ+isinnθ,(n∈N+) ，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“ n 为偶数”是“复数 (cosπ4+isinπ4)m 为纯虚数的是（??? ）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????
C.?充要条件????????????? D.?既不充分也不必要条件
9.已知 i 是虚数单位，若 iz=4i(1?i)2+2+i2018 ，则复数z在复平面内对应的点位于（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????
C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
10.设 (1?i)x=1+yi ，其中x，y是实数，则 |x?yi|= （?????? ）
A.?1??????????????????????????B.?2??????????????????????C.?3???????????????????????D.?2
11.已知i是虚数单位，若 z1?i=2i+1 ，则 |z|= （?? ）
A.?2????????????????????????B.?2?????????????????????????C.?10???????????????????????D.?10
12.设点 P 对应的复数为 ?3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点 P 的极坐标为(? ??)
A.?(32,3π4)????????????????????????????B.?(32,5π4)???????????????????????????
?C.?(3,5π4)?????????????????????? ??????D.?(3,3π4)
13.已知复数z满足 i(3+z)=1+i ，则z的虚部为（??? ）
A.??i???????????????????????????B.?i???????????????????????????C.?–1????????????????????????????D.?1
14.设 z=?i+3 ，则 z+|z|= （??? ）
A.?i?3+10???????????????????B.?i+3+10???????????????????
C.??i+3+10?????????????????D.??i?3+10
15.复数 z 满足方程 |z+i3|=4 ，那么复数 z 在复平面对应的点 Z 组成的图形为（??? ）
A.?以 (0,?1) 为圆心，2为半径的圆
B.?以 (?1,0) 为圆心， 2 为半径的圆
C.?以 (0,1) 为圆心， 4 为半径的圆
D.?以 (1,0) 为圆心， 4 为半径的圆
16.设复数 z 满足条件 |z|=1 ，那么 |z+22+i| 的最大值是（???? ）
A.?4??????????????????????????B.?16??????????????????????????C.?2?????????????????????????D.?22
17.设 (1+i)x=1+yi ，其中 x，y 是实数，则 |x+yi| 等于（??? ）
A.?1????????????????????????B.?2??????????????????????????C.?3?????????????????????????D.?2
18.已知复数 z1(1+i)=3?i ，复数 z2=i(1?i)2 ，给出下列命题：
① z1>z2 ；② |z1|>|z2| ；③复数 z1 与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数 z2 的虚部为0.其中真命题的个数为（??? ）
A.?1?????????????????????? ?B.?2?????????????????????? ????C.?3???????????????????????????D.?4
19.已知复数 Z=3?4i1?2i ，则复数 Z 在复平面内对应的点位于（?? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????
C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
20.复数 z=1?2ii 在复平面内对应点的坐标是 ( 　　 )
A.?(2,1)??????????????????????????????B.?(?2,?1)?????????????????????????????
?C.?(1,2)?????????????????????????????D.?(?1,?2)
二、解答题
21.已知复数 z=(m2?3m+2)+(m2?4m+3)i,m∈R .
（1）若 z 对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
（2）若 z 是纯虚数，求m的值.
22.设实部为正数的复数 z ，满足 |z|=10 ，且复数 (2+i)z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
（1）求复数 z ；
（2）若 z+m2(?1+i)+4mi(m∈R) 为纯虚数，求实数 m 的值.

23.定义：复数 b+ai 是 z=a+bi （ a,b∈R ）转置复数，记为 z'=b+ai ，显然 (z')'=z ，即 z 与 z' 互为转置复数.
（1）共轭复数的一些运算性质如 z1±z2=z1±z2 等，还有一些常用结论，如 z=z?z∈R 等，尝试发现两个有关转置复数的运算性质（如： (z1+z2)'=z1'+z2' ）或其他结论；
（2）对任意的两个复数 z1 、 z2 ，定义运算“ ? ”： z1?z2=z1'?z2+z1?z2' ，设 z=x+yi （ x,y∈R ），求复平面上的点集 M={(x,y)|z?z'=8} 所围成区域的面积.
答案解析
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】设 z=a+bi(a,b∈R) ，则 z+2z=a+bi+2(a?bi)=3a?bi=3?i ，
所以 {3a=3?b=?1 ，解得 {a=1b=1 ，∴ |z|=a2+b2=2 。
故答案为：B．
2.【答案】 C
【解析】 ∵z=2i(?2+3i)=?6?4i ，因此，复数 z 在复平面内的点位于第三象限.
故答案为：C.
3.【答案】 C
【解析】由 z(1?i)=2i ，知： z=2i1?i=i?1 ；
∴ z 的虚部为1， |z|=2 ， z+z=?2 ；
故答案为：C
4.【答案】 B
【解析】因为 z=3?i1+2i=(3?i)(1?2i)(1+2i)(1?2i)=1?7i5=15?75i
所以 z 的虚部是 75
故答案为：B
5.【答案】 A
【解析】解：∵z在复平面内对应的点为 (x,y) ，
∴ z=x+yi ，又 |z?3+4i|=2 ，
∴|x?3+(y+4)i|=2
∴(x?3)2+(y+4)2=4 .
故答案为：A.
6.【答案】 A
【解析】由题可知：复数 z 的对应点为 (1,?1) ，则 z=1?i
所以 z=1+i
故答案为：A
7.【答案】 D
【解析】解：设P（a,b）,则由 |z|≤1 可得 a2+b2≤1 ,
所以 a2+b2≤1
即P的轨迹是单位圆以及圆内，
故答案为：D.
8.【答案】 B
【解析】 (cosπ4+isinπ4)m=cosmπ4+isinmπ4 为纯虚数，故 cosmπ4=0 且 sinmπ4≠0 ，
故 m=2+4k ， k∈Z ，故 n 为偶数是 m=2+4k ， k∈Z 的必要不充分条件.
故答案为：B.
9.【答案】 A
【解析】∵ iz=4i(1?i)2+2+i2018=4i2?2i+i2=2i1?i?1 ，
∴ z=21?i?1i=2(1+i)(1?i)(1+i)?ii2=1+i+i=1+2i ，
∴复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 (1,2) ，位于第一象限．
故答案为：A.
10.【答案】 B
【考点】复数的基本概念，复数相等的充要条件
【解析】 (1?i)x=1+yi ，．
由（1-i）x=1+yi，得x-xi=1+yi，
∴x=1,y=-1，
则|x-yi|=|1+i|= 2 ．
故答案为：B.
11.【答案】 C
【解析】因为 z1?i=2i+1 ，
所以 z=(1?i)(2i+1) ，
|z|=|1?i|?|2i+1|=2×5=10 ，
故答案为：C
12.【答案】 A
【解析】因为点 P 对应的复数为 ?3+3i ，所以点 P 的坐标为 (?3,3)
所以 ρ=(?3)2+32=32,tanθ=3?3=?1
因为点 P 在第二象限，所以 θ=3π4
所以点 P 的极坐标为 (32,3π4)
故答案为：A

13.【答案】 C
【解析】∵ i(3+z)=1+i ，∴ 3+z=1+ii=1?i ，
∴ z=?2?i ，∴复数 z 的虚部为 ?1 .
故答案为：C.
14.【答案】 B
【解析】解：∵ z=?i+3 ，
∴ z=i+3 ，
∴ z+|z|=i+3+10 ，
故答案为：B．
15.【答案】 C
【解析】因为 |z+i3|=4 ，所以 |z?i|=4 ，所以复数 z 在复平面对应的点 Z 组成的图形是以 (0,1) 为圆心，4为半径的圆.
故答案为：C.

16.【答案】 A
【解析】由于 z 满足条件 |z|=1 的复数 z 对应点都在以原点 O 为圆心的单位圆上，而 |z+22+i| 表示复数 z 对应点与复数 ?22?i 对应点 M 间的距离，再由 |OM|=8+1=3 ，可得 |z+22+i| 的最大值为 |OM|+1=4 .
故选：A．
17.【答案】 B
【解析】由已知得 x+xi=1+yi ，
根据两复数相等的条件可得 x=y=1 ，
所以 |x+yi|=|1+i|=2 .
故选：B.
18.【答案】 C
【解析】由复数 z1(1+i)=3?i ，复数 z2=i(1?i)2 ，
可得复数 z1=3?i1+i=(3?i)(1?i)2=1?2i ，复数 z2=i(?2i)=2 ，
对于①:复数中虚数与实数无大小关系,∴①错误；
对于②: |z1|=12+(?2)2=5 ， |z2|=2 ， |z1|>|z2| ,∴②正确；
对于③: 复数 z1=1?2i 与其共轭复数 z1=1+2i ，在复平面内的点分别为 (1，?2)，(1,2) ，
关于实轴对称,∴③正确；
对于④:复数 z2=2 为实数，虚部为0,∴④正确.
综上,真命题3个，
故选：C.
19.【答案】 A
【解析】 z=3?4i1?2i=115+25i∵z 在复平面内对应的点 Z 坐标为 (115,25) 在第一象限，故答案为：A.
20.【答案】 B
【解析】 ∵z=1?2ii=?i(1?2i)?i2=?2?i ，
∴ 复数z在复平面内对应点的坐标是 (?2,?1) ．
故答案为：B．
二、解答题
21.【答案】 （1）解：由题意可得 {m2?3m+2>0m2?4m+3<0 ，解得 2（2）解：题意可得 {m2?3m+2=0m2?4m+3≠0 ，解得 m=2
【解析】(1)由复数代数形式的几何意义即可得到关于m的不等式组求解出m的取值范围即可。
(2)由复数的概念计算出m的值即可。
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22.【答案】 （1）解：设 z=a+bi ， a,b∈R ， a>0 .
由题意： a2+b2=10 .①
(2+i)(a+bi)=2a?b+(a+2b)i ，
得 2a?b+a+2b=0 ，
3a+b=0 ，②
①②联立，解得 a=1 ， b=?3
得 z=1?3i .
（2）解：由（1）可得 z=1+3i
所以 z+m2(?1+i)+4mi=(?m2+1)+(m2+4m+3)i
由题意可知 {?m2+1=0m2+4m+3≠0 解得 m=±1 且 m≠?1 且 m≠?3
所以 m=1
=【解析】（1）设 z=a+bi(a ， b∈R 且 a>0) ，由条件可得 a2+b2=10 ①， a=?3b ②．由①②联立的方程组得 a 、 b 的值，即可得到 z 的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解 m ．
23.【答案】 （1）解：有关转置复数的运算性质:
① z'=iz ;.② (z')'+(z)'=0
（2）解：由运算“ ? ”的定义得: z?z'=z'?z'+z(z')'=iz?(iz)+z?z =?i2?z?z+z?z 2z?z=8 ,
得 |z|=2 ,则 M 所围成区域的面积为 S=4π .
【解析】(1)根据转置复数的定义可以发现转置复数的运算性质;(2)根据运算”*”的定义以及转置复数的性质可以推出 |z|=2 ,再根据圆的面积公式可得.