6.4平面向量的应用 基础练习-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

6.4 平面向量的应用 基础练习
一、单选题
1.在 △ABC 中， a ， b ， c 分别为 ∠A ， ∠B ， ∠C 的对边，如果 sinAsinB?sinC=b+cb?a ，那么 cosC 的值为（??? ）
A.?12????????????????????????????????????????B.?22????????????????????????????????????????C.?23????????????????????????????????????????D.?32
2.如图，在 △ ABC中，∠BAC= 2π3 ，点D在线段BC上，AD⊥AC， BDCD=14 ，则sinC=（??? ）
A.?714?????????????????????????????????????B.?2114?????????????????????????????????????C.?77?????????????????????????????????????D.?217
3.一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是（??? ）
A.?5 2 海里/时?????????????????????B.?5海里/时
?????????????????????C.?10 2 海里/时?????????????????????D.?10海里/时
4.在平面直角坐标系中，已知 A(?1,4) ， B(3,?8) ，现沿 x 轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后 A ， B 两点间的距离为（??? ）
A.?8????????????????????????????????????????B.?42????????????????????????????????????????C.?8????????????????????????????????????????D.?64
5.在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 (a2?b2+c2)tanB=3ac ，则角 B 的值为（? ?）
A.?π6?????????????????????????????????B.?π3?????????????????????????????????C.?π6 或 5π6?????????????????????????????????D.?π3 或 2π3
6.在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 a=2c ， cosC=407 ，则 sinA= （??? ）
A.?27?????????????????????????????????????????B.?47?????????????????????????????????????????C.?57?????????????????????????????????????????D.?67
7.设 △ABC 为等腰三角形， AB=AC=2 ， ∠A=2π3 ， AD 为 BC 边上的高，将 △ADC 沿 AD 翻折成 △ADC' ，若四面体 ABC'D 的外接球半径为 52 ，则线段 BC' 的长度为（??? ）
A.?22???????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????D.?3
8.在 △ABC 中， AB=(cos24°,cos66°) ， AC=(2cos69°,2cos21°) ，则 △ABC 的面积为（??? ）
A.?22?????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????C.?22?????????????????????????????????????D.?23
9.在锐角 △ABC 中，角 A ,B, C 的对边分别为 a,b,c, 若 cosBb+cosCc=23sinA3,cosB+3sinB=2 ，则 a + c 的取值范围是（??? ）
A.?( 32,3]????????????????????????B.?( 32,3]????????????????????????C.?[ 32,3]????????????????????????D.?[ 32,3]
10.在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 cos2A2=c+b2c ，则 △ABC 的形状为（??? ）
A.?等边三角形????????????????????B.?直角三角形????????????????????C.?等腰三角形????????????????????D.?等腰直角三角形
11.某中学为推进智能校园建设，拟在新校区每个教室安装“超短距”投影仪，如图：投影仪安装在距离墙面 20cm 处，其发射的光线可以近似的看作由一个点S发出，光线投影在墙面上的屏幕 AB 上，已知 AB 高度为 120cm ，光线上界 SA 的俯角为 45° ，则投影仪的垂直视角的余弦值 cos∠ASB= （??? ）
A.?210?????????????????????????????????????B.?7210?????????????????????????????????????C.?35?????????????????????????????????????D.?45
12.在 △ABC 中， A>B 是 sinA>sinB 的（??? ）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
13.在 ΔABC 中， sinB+sinC=sin(A?B) ， AB=AC=2 ， PQ 是 ΔABC 的外接圆的直径，则 AP?BQ 的取值范围是（??? ）
A.?[0,????2]??????????????????????????????B.?[?2,????2]??????????????????????????????C.?[?2,????6]??????????????????????????????D.?[?6,????2]
14.已知在 △ABC 中， b=23 ， c=2 ， C=30° ，那么解此三角形可得（??? ）
A.?一解???????????????????????????????B.?两解???????????????????????????????C.?无解???????????????????????????????D.?解的个数不确定
15.如图所示，为了测量河对岸的塔高 AB ，选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 和 D ，测得 CD=200 米，在 C 点和 D 点测得塔顶 A 的仰角分别是 45° 和 30° ，且 ∠CBD=30° ，求塔高 AB （??? ）
A.?200??????????????????????????????????B.?1003??????????????????????????????????C.?1002??????????????????????????????????D.?300
16.已知 △ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c .向量 m=(a,b+c) ， n=(3sinC+cosC,?1) ，若 m⊥n ，则 A= （??? ）
A.?π6???????????????????????????????????????B.?π3???????????????????????????????????????C.?2π3???????????????????????????????????????D.?5π6
17.在△ ABC 中， AC=5 ， BC=3 ， cosA=1010 ，则 ∠B= （??? ）
A.?π6??????????????????????????????????????????B.?π4??????????????????????????????????????????C.?π3??????????????????????????????????????????D.?π2
18.如图，在平面四边形 ABCD 中， AB⊥BC ， ∠BCD=60? ， ∠ADC=150? ， BE=3EC ， CD=233，BE=3 ，若点F为边 AD 上的动点，则 EF?BF 的最小值为（??? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?1516?????????????????????????????????????????C.?3132?????????????????????????????????????????D.?2
19.在△ABC中，设p： asinB=bsinC=csinA ；q：△ABC是正三角形，那么p是q的(??? )
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
20.在 △ABC 中， AB=2 ， AC=3 ， BC=4 ，若点M为边 BC 所在直线上的一个动点，则 |4MA+3MB+2MC| 的最小值为（??? ）
A.?36?????????????????????????????????B.?66?????????????????????????????????C.?32498?????????????????????????????????D.?3152
二、解答题
21.在 △ABC 中，内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c .已知 2a?b=2c?cosB .
（1）求角 C ；
（2）若 a=2 ， D 在边 AB 上，且 AD=2DB ， CD=3 ，求 b .
22.在① asinC=ccos(A?π6) ，② 3sinB+C2=sinA ，③ cos2A+3cosA=1 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 △ABC 存在，求出其面积；若不存在，说明理由.
问题：是否存在 △ABC ，它的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且 a=23 ， b+c=43 ，? ▲? ？
23.已知 △ABC 中， AB=62BC=3 ，且 AC2+2AB=5 ．
（1）求 ∠ABC 的值；
（2）若P是 △ABC 内一点，且 ∠APB=5π6,∠CPB=3π4 ，求 tan∠PBA ．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】∵ sinAsinB?sinC=b+cb?a ，由正弦定理可得 ab?c=b+cb?a
即： a(b?a)=(b+c)(b?c)
整理得： c2=a2+b2?ab
对照余弦定理可得 cosC=12
故答案为：A．
2.【答案】 B
【解析】在 △ABD 中， BDsinπ6=ADsinB=sinC?CDsin(π3?C) ，解得 tanC=35, 又因为 {sin2C+cos2C=1sinCcosC=35 ，所以 sinC=2114。
故答案为：B.
3.【答案】 D
【解析】如图，
依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，
从而CD＝CA＝10海里，
在直角三角形ABC中，由正弦定理可得 ABsin30°=ACsin90° ，解得AB＝5海里，
所以这艘船的速度是10海里/时.
故答案为：D
4.【答案】 A
【解析】过 A 作 AM⊥x 轴，垂足为 M ，过 M 作 y 轴的平行线 MC ，过 B 作 BC⊥MC ，垂足为 C ，
折叠后如图：
则 AM=4 ， CM=8 ， BC=4 ， ∠AMC=60? ，
在三角形 AMC 中， AC2=AM2+CM2?2AM?CM?cos60?
=16+64?2×4×8×12 =48 ，
在直角三角形 ACB 中， AB2=AC2+CB2=48+16=64 ，
所以 AB=8 .
故答案为：A
5.【答案】 D
【解析】解：由 (a2+c2?b2)tanB=3ac ，∴ a2+c2?b22ac=32cosBsinB ，即 cosB=32cosBsinB ，
因为 tanB 有意义，所以 cosB≠0 ， sinB>0 ，
∴ sinB=32 ，又在 △ABC 中，所以 B 为 π3 或 2π3 ，
故答案为：D．
6.【答案】 D
【解析】因为角 C 是三角形的内角，所以 C∈(0,π) ，
由 cosC=407 ，可得： sinC=1?cos2C=1?4049=37 ，
由正弦定理可知： asinA=csinC ，因为 a=2c ， sinC=37 ，
所以 sinA=2sinC=67 .
故答案为：D
7.【答案】 D
【解析】作出翻折后四面体 ABC'D 的图形，如图：
∵AD⊥BD ， AD⊥DC' ， BD∩DC'=D ，
∴AD⊥ 平面 BDC' ，
由 AB=AC=2 ， ∠A=2π3 ，则 AD=1 ， BD=DC'=3 ,
设球心到平面 BDC' 的距离为 d ， △BDC' 的外接圆半径为 r ，
四面体 ABC'D 的外接球半径为 52 ，
由图可得 {d2+r2=54(1?d)2+r2=54 ，解得 r=1,d=12 ，
在 △BDC' ，由正弦定理可得 C'Dsin∠DBC'=3sin∠DBC'=2r=2 ，（ ∠DBC' 为锐角）
解得 sin∠DBC'=32 ，所以 ∠DBC'=π3 ，
因为 BD=DC' ，所以 △BDC' 为等边三角形，
所以 BC'=BD=DC'=3 .
故答案为：D
8.【答案】 C
【解析】因为 AB=(cos24°,cos66°) ， AC=(2cos69°,2cos21°) ，
所以 |AB|=1 ， |AC|=2 ， AB?AC=2cos24°cos69°+2cos66°cos21°=2cos45°=2 ，.
所以 AB?AC=|AB|?|AC|cosA=2 ，
所以 cosA=22 ， sinA=22 .
所以 △ABC 的面积为 S△ABC=12|AB||AC|sinA=22 .
故答案为：C
9.【答案】 B
【解析】由 cosBb+cosCc=23sinA3sinC ，
得 ccosB+bcosCbc=sinCcosB+sinBcosCbsinC=sin(B+C)bsinC=23sinA3sinC ，
∴ b = 32 ，又 cosB+3sinB=2(12cosB+32sinB)=2sin(B+π6)=2 ，
∵△ABC是锐角三角形
∴0 ∴ A+C=2π3 ，有 0∴ π6即有 a+c=sinA+sinC=sinA+sin(2π3?A)=32sinA+32cosA=3sin(A+π6) ，
而 π3∴ 32<3sin(A+π6)≤3 ，
故答案为：B
10.【答案】 B
【解析】由已知可得 cos2A2=c+b2c,?cosA+12=12+b2c ，即 cosA=bc,?b=ccosA ．
法一：由余弦定理得 cosA=b2+c2?a22bc ，则 b=c?b2+c2?a22bc ，
所以 c2=a2+b2 ，由此知 △ABC 为直角三角形．
法二：由正弦定理得： sinB=sinCcosA ．在 △ABC 中， sinB=sin(A+C) ，
从而有 sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA ，
即 sinAcosC=0 ．在 △ABC 中， sinA≠0 ，所以 cosC=0 ．
由此得 C=π2 ，故 △ABC 为直角三角形.
故答案为：B.
11.【答案】 D
【解析】解：在 △QSA 中，因为 ∠QSA=45? , SQ=20 ， ∠SQA=90? ，所以 SA=202 ，
在 △QSB 中，因为 SB=SA+AB=140 , SQ=20 ， ∠SQA=90? ，所以 SB=1002 ，
在 △SAB 中，因为 SA=202 ， AB=120 ， SB=1002 ，
由余弦定理可得： cos∠ASB=(202)2+(1002)2?12022×202×1002=45
故答案为：D.
12.【答案】 C
【解析】充分性：由三角形中“大边对大角”，当 A>B 时， a>b ，由正弦定理 a=2RsinA,b=2RsinB ， ∴sinA>sinB ，故充分性成立；
必要性：由正弦定理可知， asinA=bsinB ，当 sinA>sinB 时， a>b ，则 A>B ，故必要性成立，
综上， A>B 是 sinA>sinB 的充要条件.
故答案为：C.
13.【答案】 D
【解析】因为 sinB+sinC=sin(A?B) ，
所以 sinB+sinC=sinAcosB?cosAsinB ，
由正弦定理和余弦定理得： b+c=a×a2+c2?b22ac?b2+c2?a22bc×b ，
整理得： b2+c2?a2=?bc ，
所以 cosA=b2+c2?a22bc=?12 ，
因为 A∈(0,π) ，
所以 A=2π3 ，
由余弦定理得 a2=b2+c2?2bccosA=12 ，
解得 a=23 ，
所以 2R=asinA=4 ，
解得 R=2 ，
建立如图所示直角坐标系：
设 P(x,y),Q(?x,?y) ，且 x2+y2=4 ，则 A(0,2),B(?3,1) ， AP=(x,y?2),BQ=(?x+3,?y?1) ，
所以 AP?BQ=x(?x+3)+(y?2)(?y?1) ，
=?(x2+y2)+3x+y+2=3x+y?2 ，
令 {x=2cosαy=2sinα ，
则 AP?BQ =23cosα+2sinα?2 ，
=4sin(α+π3)?2∈[?6,2] ，
故答案为：D
14.【答案】 B
【解析】 ∵bsinB=csinC,∴sinB=bsinCc=23×122=32 ．
所以 B=60? 或 120? .
∵b>c,∴B>C ,所以两解都满足题意.
故答案为：B
15.【答案】 A
【解析】解：设 AB=? ，
因为在 C 点和 D 点测得塔顶 A 的仰角分别是 45° 和 30° ，即 ∠BCA=45°,∠DBA=30° ,
所以得 BC=?,BD=3? ，
在 △BCD 中， CD=200 ， ∠CBD=30° ，
由余弦定理可得 40000=?2+3?2?2??3??32 ，
解得 ?=200 ，
故答案为：A
16.【答案】 B
【解析】由于 m⊥n ，所以 m?n=0 ，即 3asinC+acosC?b?c=0 ，由正弦定理得
3sinAsinC+sinAcosC?sinB?sinC=0 ，
3sinAsinC+sinAcosC?sin(A+C)?sinC=0 ，
3sinAsinC+sinAcosC?sinAcosC?cosAsinC?sinC=0
3sinAsinC?cosAsinC?sinC=0 ，
由于 00 ，
所以 3sinA?cosA?1=0 ，
2sin(A?π6)=1?sin(A?π6)=12 ，
由于 0所以 A?π6=π6,A=π3 .
故答案为：B
17.【答案】 B
【解析】在△ ABC 中， cosA=1010 ，因为 0由 ACsinB=BCsinA ，即 5sinB=331010 ，
解得 sinB=5×310103=22 ，
因为 0故答案为：B.
18.【答案】 B
【解析】以 B 为原点建立如图所示平面直角.
依题意 CE=13BE=33 ， BC=BE+CE=433 ， ∠BCD=60° ，
在三角形 BCD 中，由余弦定理得
BD=(433)2+(233)2?2×433×233×cos60°=2 .
所以 BD2+CD2=BC2 ，所以 ∠BDC=90° .
而 BC=2CD ，所以 ∠DBC=30°,∠DCB=60° .
在三角形 CDE 中，由余弦定理得 DE=(33)2+(233)2?2×33×233×cos60°=1 .
所以 CE2+DE2=CD2 ，所以 ∠DEC=90° .
在三角形 ABD 中， ∠ABD=∠ADB=60° ，所以三角形 ABD 是等边三角形，
所以 AB=BD=2 .
所以 A(0,2),D(3,1),E(3,0) ，设 F(x,y)
依题意令 AF=λAD(0≤λ≤1) ，即 (x,y?2)=λ(3,?1)=(3λ,?λ) ，
所以 {x=3λy?2=?λ?{x=3λy=2?λ ，所以 F(3λ,2?λ) ，
所以 EF?BF=(3λ?3,2?λ)?(3λ,2?λ)
=4λ2?7λ+4 .
对于二次函数 f(λ)=4λ2?7λ+4(0≤λ≤2) ，其对称轴为 λ=78 ，开口向上，所以当 λ=78 时， f(λ) 有最小值，也即 EF?BF 有最小值为 4×(78)2?7×78+4=1516 .
故答案为：B
19.【答案】 C
【解析】若p成立，即 asinB=bsinC=csinA ，由正弦定理，
可得 ab=bc=ca=k ，∴ {a=kbb=kcc=ka ?∴a＝b＝c.
则q：△ABC是正三角形，成立．
反之，若a＝b＝c，则∠A＝∠B＝∠C＝60°，
则 asinB=bsinC=csinA ，
因此p?q且q?p，即p是q的充要条件．
故答案为：C.
20.【答案】 D
【解析】解：由余弦定理可知 cos∠ABC=AB2+BC2?AC22?AB?BC=22+42?322×2×4=1116 ，
所以 sin∠ABC=1?cos2∠ABC=1?(1116)2=31516 ，
如图，以 B 为原点， BC 所在直线为 x 轴建立坐标系，

则 B(0,0) ， C(4,0) ，设 M(x,0) ，
因为 AB?cos∠ABC=2×1116=118 ， AB?sin∠ABC=2×31516=3158 ，
则 A(118,3158) ，所以 MA=(118?x,3158) ， MB=(?x,0) ， MC=(4?x,0) ，
因为 4(118?x)+3(?x)+2(4?x)=272?9x ， 4×3158+3×0+2×0=3152
所以 4MA→+3MB→+2MC→=(272?9x,3152) ，
则 |4MA→+3MB→+2MC→|=(272?9x)2+(3152)2 ，因为 (272?9x)2≥0 ，
当 x=32 时等号成立，所以 |4MA→+3MB→+2MC→|≥3152 ，
故答案为：D.
二、解答题
21.【答案】 （1）解：因为 2a?b=2c?cosB ，
由正弦定理得： 2sinA?sinB=2sinC?cosB ，
因为 sinA=sin(B+C) 代入上式得，
2sinBcosC+2cosBsinC?sinB=2sinCcosB ，
即 2sinBcosC?sinB=0 ，
因为 sinB≠0 ，所以 cosC=12 ，
又因为 C 是三角形内角，所以 C=π3
（2）解：如图所示：
由题知 AD=2DB ，
即 CD?CA=2(CB?CD) ， CD=13CA+23CB ， CD2=(13CA+23CB)2 ，
即 b2+4b?11=0 ，解得 b=15?2
【解析】（1）利用已知条件结合正弦定理和三角形内角和为180度，再结合诱导公式结合两角和的正弦公式，进而求出角C的余弦值，再利用三角形中角C的取值范围，进而求出角C的值。
（2）利用已知条件结合共线定理和三角形法则，再利用平面向量基本定理结合数量积的运算法则，进而结合数量积的定义结合一元二次方程求根的方法，进而求出b的值。
22.【答案】 解：选择条件①：
由正弦定理可得 sinAsinC=sinCcos(A?π6) ，
由于 sinC≠0 ，可得 sinA=cos(A?π6)=32cosA+12sinA ，
化简可得 12sinA=32cosA ，即 tanA=3 ，
因为 A∈(0,π) ，所以 A=π3 ，
由余弦定理可得 a2=b2+c2?bc=(b+c)2?3bc ，解得 bc=12 ，
∴{b+c=43bc=12 ，解得 b=c=23 ，因此 S△ABC=12bcsinA=33 ；
选择条件②：因为 3sinB+C2=3sin(π2?A2)=3cosA2 ，即 3cosA2=sinA ，
由正弦二倍角公式可得： 3cosA2=2sinA2cosA2 ，
∵A∈(0,π) ，则 A2∈(0,π2) ，所以， cosA2≠0 ，所以 sinA2=32 ，
所以 A2=π3 即 A=2π3 ，
由余弦定理可得 a2=b2+c2?2bccosA=b2+c2+bc=(b+c)2?bc ，
由已知可得 bc=(b+c)2?a2=36 ，
由基本不等式可得 bc≤(b+c2)2=12 ，所以不存在满足条件的 △ABC ；
选择条件③：
由余弦二倍角公式可得： 2cos2A+3cosA?2=0 ，解得 cosA=12 或 ?2 （舍去），
因为 A∈(0,π) ，所以 A=π3 ，
由余弦定理得： a2=b2+c2?bc=(b+c)2?3bc ，解得 bc=12 ，
∴{b+c=43bc=12 ，解得 b=c=23 ，因此 S△ABC=12bcsinA=33
【解析】 在① asinC=ccos(A?π6) ，② 3sinB+C2=sinA ，③ cos2A+3cosA=1 这三个条件中任选一个，补充在问题中，若选择条件① ，利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，再结合三角形中角A的取值范围，进而利用三角形面积公式，从而求出三角形的面积；若选择条件②， 利用已知条件结合诱导公式和二倍角的正弦公式，再结合三角形中角A的取值范围和余弦定理，进而利用基本不等式得出不存在满足条件的 △ABC ； 若选择条件③ ，利用已知条件结二倍角的余弦公式和三角形中角A的取值范围，再结合余弦定理和三角形面积公式，从而求出三角形的面积。
23.【答案】 （1）解：由 AB=62BC=3 ，知 AB=3,BC=2 ，
由 AC2+2AB=5 ，知 AC2=5?2AB=5?23 ，
在 △ABC 中，由余弦定理得：
cos∠ABC=BC2+AB2?AC22AB×BC=2+3?5+232×2×3=22 ，
∵0<∠ABC<π ， ∴∠ABC=π4
（2）解： ∵∠PBA+∠PBC=π4,?∠PCB+∠PBC=π?∠BPC=π4 ，
∴∠PBA=∠PCB ，设 ∠PBA=α ，
则在 △PBC 中，由正弦定理得 PBsinα=BCsin3π4,∴PB=2sinα ，
在 △APB 中，由正弦定理得： PBsin(π6?α)=ABsin5π6,∴PB=23sin(π6?α) ，
∴sinα=3sin(π6?α)=3(sinπ6cosα?cosπ6sinα) ，
化简可得： tanα=35 ，
故 tan∠PBA=35
【解析】(1)根据题意由勾股定理以及余弦定理代入数值求出cos∠ABC的值，再由角的取值范围求出结果即可。
(2)结合题意由正余弦定理以及两角和的正弦公式整理化简求出答案即可。