7.2复数的四则运算 基础练习-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

7.2复数的四则运算 基础练习
一、单选题
1.如图，若向量 OZ 对应的复数为 z ，且 |z|=5 ，则 1z= （??? ）
?15+25i????????????????????????????B.??15?25i????????????????????????????
C.?15?25i???????????????????????????? D.??15+25i
2.(i4?4i)(4+i)= （??? ）
A.?8?15i???????????????????????????????? ??B.?15i?????????????????????????????????
?C.?8+15i????????????????????????????????? ?D.??15i
3.已知复数 z=i1+i ，则 |z|= （??? ）
A.?22?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????
C.?12????????????????????????????????? ????????D.?1
4.已知复数 (3+i)z=2 ，则 |z|= （??? ）．
A.?12??????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????
C.?3????????????????????????????????????????D.?2
5.已知复数 z=1?ii3 ，则 z 的虚部为（??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????
?C.?i???????????????????????????????????????????D.?-i
6.若 21+i=a+bi(a,b∈R) ，则 a2019+b2020= （ ??）
A.?-1???????????????????????????????????????????B.?0???????????????????????????????????????????
C.?1???????????????????????????????????????????D.?2
7.若复数 a?2i1+i （ a∈R ）为纯虚数，则 |1?ai|= （??? ）
A.?3?????????????????????????????????????????B.?5?????????????????????????????????????????
C.?3?????????????????????????????????????? ???D.?5
8.若复数 z=(2+i)i （其中 i 为虚数单位），则复数 z 的模为（??? ）
A.?5????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????
?C.??5????????????????????????????????D.?5i
9.若复数 z 满足 (1?i)z=3+i (其中 i 是虚数单位)，则（??? ）
A.?z 的实部是2????????????????????????B.?z 的虚部是2i????????????????????????
C.?z=1+2i??????????????????????? ?D.?|z|=5
10.已知复数 z 满足 z (2?i)=|3+i| ，则 z= （??? ）
A.?45+25i???????????????????????????????B.?45?25i?????????????????????????????
?C.?43+23i???????????????????????????????D.?43?23i
11.复数 i?11+i （ i 为虚数单位）的虚部是（ ??）
A.?-1??????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????
?C.??i????????????????????????????????????????D.?i
12.欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数 cosθ 和 sinθ 联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足 (eiπ?z)?i=1+i2021 ，则 |z|= （??? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?5??????????????????????????????????????
??C.?22?????????????????????????????????????D.?3
13.若 z(1?2i)=2+i ，则复数 z= （??? ）
A.?-1???????????????????????????????????????????B.?-i???????????????????????????????????????????
C.?1???????????????????????????????????????????D.?i
14.若复数 z 满足 zi?1=2i ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模为（??? ）
A.?2????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????
?C.?22??????????????????????????????????????D.?3
15.若 z(1+i)=2i ，则z的共轭复数的虚部是（??? ）
A.?1+i??????????????????????????????????????B.??i????????????????????????????????????
?C.?－1??????????????????????????????????? ???D.?1?i
16.若复数 z=2+2i(1?i)2 ，则 |z|= （???? ）
A.?22???????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????
C.?2????????????????????????????????????? ??D.?22
17.若 z(1+i)=1?i ，则z=（??? ）
A.?1–i?????????????????????????????????????????B.?1+i???????????????????????????????????????
??C.?–i?????????????????????????????????????????D.?i
18.复数 z=a+bi(a,b∈R) ， m=(z+z)b ， n=z?z ， p=|z|2 ，则（??? ）
A.?m、n、p三数都不能比较大小????????????????????????????
B.?m、n、p三数的大小关系不能确定
C.?m≤n=p???????????????????????????????????????????????????????????
D.?m≥n=p
19.设 i 为虚数单位，复数z满足 z(i?2)=5 ，则在复平面内， z 对应的点位于（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????
C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
20.已知复数z满足 z=i(3+4i) (i为虚数单位)，则 |z|= （??? ）
A.?5?????????????????????????????????????????B.?7????????????????????????????????????????
?C.?5?????????????????????????????????????? ???D.?25
二、解答题
21.设 z1 是虚数， z2=z1+1z1 是实数，且 ?1≤z2≤1 .
（1）求 |z1| 的值以及 z1 的实部的取值范围；
（2）若 ω=1?z11+z1 ，求证 ω 为纯虚数；
（3）在（2）的条件下，求 z2?ω2 的最小值.

22.已知复数 z1=x+yi,z2=3?4i （ x,y∈R ， i 为虚数单位）.
（1）若 y=2 且 z1z2 是纯虚数，求实数 x 的值；
（2）若复数 |z1?z2|=1 ，求 |z1| 的取值范围.
23.设 z1 是虚数， z2=z1+1z1 是实数，且 ?1≤z2≤1 ．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
（2）若 ω=1?z11+z1 ，求证： ω 为纯虚数．
答案解析
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】由题意，设 z=?1+bi(b>0) ，则 |z|=1+b2=5 ，解得 b=2 ，即 z=?1+2i ，
所以 1z=1?1?2i=?1+2i(?1?2i)(?1+2i)=?1+2i5=?15+25i ．
故答案为：D．

2.【答案】 A
【解析】 (i4?4i)(4+i)=(1?4i)(4+i)=8?15i .
故答案为：A．

3.【答案】 A
【解析】 z=i1+i=i(1?i)(1+i)(1?i)=1+i2=12+12i ,
所以 |z|=(12)2+(12)2=22 ，
故答案为：A.

4.【答案】 B
【解析】解：由 (3+i)z=2 ，得 z=23+i=2(3?i)(3+i)?(3?i)=23?2i4=32?12i .
则 |z|=(32)2+(?12)2=1 .
故答案为：B.

5.【答案】 B
【解析】 z=1?ii3=1?i?i=(1?i)i=1+i
则 z=1?i ， z 的虚部为-1
故答案为：B

6.【答案】 D
【解析】因为 21+i=a+bi ，所以 1?i=a+bi ，所以 a=1,b=?1 ，
所以 a2019+b2020=2 ，
故答案为：D.
7.【答案】 B
【解析】由 a?2i1+i=(a?2i)(1?i)(1+i)(1?i)=(a?2)?(a+2)i2
复数 a?2i1+i （ a∈R ）为纯虚数，则 {a?22=0a+22≠0 ，则 a=2
所以 |1?ai|=|1?2i|=5
故答案为：B

8.【答案】 B
【解析】 z=(2+i)i=2i?1 ，所以 |z|=5 ，
故答案为：B

9.【答案】 D
【解析】 ∵(1?i)z=3+i∴z=3+i1?i=2+4i2=1+2i
因此 z 的实部是 1 ，虚部是 2 ， z=1?2i ， |z|=1+22=5
故答案为：D
10.【答案】 A
【解析】因为 z (2?i)=|3+i|=2 ，
所以 z=22?i=2(2+i)(2?i)(2+i)=45+25i .
故答案为：A.
11.【答案】 B
【解析】因为 i?11+i=(i?1)(1?i)2=?(1?i)22=2i2=i ，
所以虚部是1，
故答案为：B.
12.【答案】 B
【解析】 (eiπ?z)?i=1+i2021?(eiπ?z)?i=1+i
?eiπ?z=1+ii=(1+i)(?i)i×(?i)=1?i
?z=eiπ+i?1=cosπ+isinπ+i?1=?2+i ，
所以 z=?2?i ，所以 |z|=(?2)2+12=5 .
故答案为：B
13.【答案】 D
【解析】解：因为 z(1?2i)=2+i ，所以 z=2+i1?2i=(2+i)(1+2i)(1?2i)(1+2i)=5i5=i
故答案为：D
14.【答案】 B
【解析】因为 zi?1=2i ，所以 z=2i+1i=2i2+ii2=2?i .
所以 |z|=2+1=3 .
故答案为：B
15.【答案】 C
【解析】因为 z(1+i)=2i ，所以 z=2i1+i=2i(1?i)(1+i)(1?i)=1+i ， z=1?i ，虚部为 ?1 .
故答案为：C.
16.【答案】 C
【解析】 z=2+2i(1?i)2=2+2i?2i=1+i?i=(1+i)i?i2=?1+i .
|z|=(?1)2+12=2 .
故答案为：C
17.【答案】 D
【解析】因为 z=1?i1+i=(1?i)2(1+i)(1?i)=?2i2=?i ，所以 z=i .
故答案为：D
18.【答案】 C
【解析】 z=a?bi ， m=(a+bi+a?bi)b=2ab ， n=(a+bi)(a?bi)=a2+b2 ， p=a2+b2
∵a2+b2?2ab ，当且仅当 a=b 时，取等号
∴m≤n=p
故答案为：C
19.【答案】 B
【解析】因为 z(i?2)=5 ，所以 z=5i?2=5(i+2)(i?2)(i+2)=?2?i ，
由共轭复数的定义知， z=?2+i ，
由复数的几何意义可知， z 在复平面对应的点为 (?2,1) ，位于第二象限.
故答案为：B
20.【答案】 C
【解析】 ∵ z=i(3+4i)?z=?4+3i?z=?4?3i ,
∴ |z|=5 ,
故答案为：C.
二、解答题
21.【答案】 （1）解：由 z1 是虚数，设 z1=a+bi(a,b∈R,b≠0) ，则
z2=z1+1z1=a+bi+1a+bi=a+bi+a?bia2+b2=a+aa2+b2+(b?ba2+b2)i ，
因为 z2 为实数，所以 b?ba2+b2=0 且 b≠0 ，所以 a2+b2=1
所以 |z1|=1 ，
此时 z2=2a ，
因为 ?1≤z2≤1 ，所以 ?1≤2a≤1 ，得 ?12≤a≤12
（2）解：因为 ω=1?z11+z1=1?(a+bi)1+(a+bi)=[(1?a)?bi][(1+a)?bi](1+a)2+b2 ，且 a2+b2=1 ，
所以 ω=?b1+ai ，
因为 b≠0 ， ?12≤a≤12 ，所以 ω 为纯虚数
（3）解： z2?ω2=2a+b2(1+a)2=2a+1?a2(1+a)2=2a+1?a1+a=2[(a+1)+1a+1]?3 ，
由 ?12≤a≤12 ，得 (a+1)+1a+1≥2 ，
故当且仅当 a+1=1a+1 ，即 a=0 时， z2?ω2 有最小值1
【解析】（1）设出复数 z1 ，写出 z2 的表示式，进行复数的运算，把 z2 整理成最简形式，再根据所给 z2 的范围，得到 z2 的虚部为0，实部属于这个范围，得到 z1 的实部的范围；（2）根据设出的 z1 ，整理 ω 的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长为1，得到 ω 是一个纯虚数；（3） z2?ω2=2a+b2(1+a)2=2a+1?a2(1+a)2=2a+1?a1+a=2[(a+1)+1a+1]?3 ，再利用基本不等式即可求得结果。
22.【答案】 （1）解： z1z2=x+2i3?4i=3x?8+(6+4x)i25=3x?825+(6+4x)25i
由 z1z2 是纯虚数，得 3x?825=0，6+4x25≠0 ，解得 x=83
（2）解：由 |z1?z2|=1 ，得 |(x?3)+(y+4)i|=1 ，所以 (x?3)2+(y+4)2=1 ，
即 z1 的轨迹是以 (3,?4) 为圆心，半径为 1 的圆，可得 |z1|∈[32+42?1,32+42+1]=[4,6]
即 |z1|∈[4,6]
【解析】【分析】（1）利用y的值结合复数的乘除法运算法则和复数为纯虚数的判断方法，进而求出x的值。
（2）利用复数的模求解方法结合已知条件，得出 (x?3)2+(y+4)2=1 ，即 z1 的轨迹是以 (3,?4) 为圆心，半径为 1 的圆，再利用复数的模的求解方法结合几何法，进而求出复数的模的取值范围。
?
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23.【答案】 （1）解：设 z1=a+bi(a,b∈R,b≠0) .则
z2=a+bi+1a+bi=a+aa2+b2+(b?ba2+b2)i ,
因为 z2∈R .所以 b?ba2+b2=0 ，又 b≠0 ，所以 a2+b2=1 .所以 |z1|=1 .
所以 z2=a+bi+1a+bi=a+aa2+b2+(b?ba2+b2)i=2a ,
又 |z2|≤1 ,即 2a≤1 .解得 -12≤a≤12 .
所以 z1 的实部的取值范围的取值范围为 [-12，12] .
（2）证明: ω=1?z11+z1=1?a?bi1+a+bi=1?a2?b2?2bi(1+a)2+b2=?b1+ai ,
因为 b≠0 .所以 -b1+a≠0 ,
所以 ω 为纯虚数.
【解析】（1）设z1=a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则 z2=z1+1z1 =（a+ aa2+b2 ）+（b﹣ ba2+b2 ），由z1是实数，得a2+b2=1，由此求出z1的实部的取值范围为[﹣ 12 ， 12 ]．（2）ω= 1?z11+z1 = 1?a?bi1+a+bi = 1?a2?b2?2bi(1+a)2+b2 = ba+1i ，由此能证明ω= 1?z11+z1 是纯虚数．