8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 基础练习-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 基础练习
一、单选题
1.对于空间中的两条不同直线 m ， n 和一个平面 α ，下列命题正确的是（??? ）
A.?若 m//α ， n//α ，则 m//n??????????????????????????????????B.?若 m//α ， m//n ，则 n//α
C.?若 m//n ， n?α ，则 m//α????????????????????????????????D.?若 m⊥α ， n⊥α ，则 m//n
2.已知平面 α 和 α 外的一条直线 l ，下列说法不正确的是（??? ）
A.?若l垂直于 α 内的两条平行线，则 l⊥α??????????????B.?若l平行于 α 内的一条直线，则 l//α
C.?若l垂直于 α 内的两条相交直线，则 l⊥α???????????D.?若l平行于 α 内的无数条直线，则 l//α
3.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（ ??）
A.?A∈l,l?α??????????????????????B.?A∈l,l?α
??????????????????????C.?A?l,l?α??????????????????????D.?A?l,l?α
4.单位正方体 ABCD?A1B1C1O 在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点 M(a,a,0) ， N(0,b,1) ，其中 0A.?对任意点M，存在点N使截面E为三角形??????????????B.?对任意点M，存在点N使截面E为正方形
C.?对任意点M和N，截面E都为梯形????????????????????????D.?对任意点N，存在点M使得截面E为矩形
5.下列几何图形中，可能不是平面图形的是( ??)
A.?梯形????????????????????????????????B.?菱形????????????????????????????????C.?平行四边形????????????????????????????????D.?四边形
6.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（? ）
A.???????????????B.???????????????C.???????????????D.?
7.以下命题中真命题的个数是（??? ）
①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则直线 l∥α ；②若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α ；③若直线 a∥b,b?α ，则 a∥α ；④若直线 a∥b,b?α ，则 a 平行于平面 α 内的无数条直线.
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
8.在棱长为 2 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，点 P 、 Q 、 R 分别为棱 AA1 、 BC 、 C1D1 的中点，经过 P 、 Q 、 R 三点的平面为 α ，平面 α 被此正方体所截得截面图形的周长为（??? ）
A.?2??????????????????????????????????????B.?62??????????????????????????????????????C.?32??????????????????????????????????????D.?33
9.线段 AB 在平面 α 内，则直线 AB 与平面 α 的位置关系是（??? ）.
A.?AB?α?????????????????????B.?AB?α?????????????????????C.?线段 AB 的长短而定?????????????????????D.?以上都不对
10.下列命题中错误的是（??? ）
A.?如果平面 α⊥ 平面 γ ，平面 β⊥ 平面 γ ， α∩β=l ，那么 l⊥γ
B.?如果平面 α⊥ 平面 β ，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β
C.?如果平面 α 不垂直于平面 β ，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β
D.?如果平面 α⊥ 平面 β ，过 α 内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于 β
11.下列命题中为真命题的是（??? ）
①若 a∥b，a⊥α ，则 b⊥α ；????????? ②若 a⊥α，b⊥α ，则 a∥b ；
③若 a⊥α，a⊥b ，则 b//α ；????????? ④若 a∥α，a⊥b ，则 b⊥α .
A.?①②?????????????????????????????????B.?①②③?????????????????????????????????C.?②③④?????????????????????????????????D.?①②④
12.如图，在四棱锥 P?ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 AP⊥ 平面 ABCD ， AB=1 ， AP=3 ，点 M 在线段 BC 上，且 AM⊥MD ，则当 ΔPMD 的面积最小时，线段 BC 的长度为(?? )

A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????D.?
13.如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（?? ）

A.?8??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?11
14.下列命题错误的是（??? ）
A.?命题“ ， ”的否定是“ ， ”;
B.?若 是假命题，则 ， 都是假命题
C.?双曲线 的焦距为
D.?设 ， 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面 ，使得 ，且
15.下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（??? ）．
A.?空间任意三点?????????????B.?空间两条直线?????????????C.?空间两条平行直线?????????????D.?一条直线和一个点
16.已知a,b为异面直线，且所成的角为70°，过空间一点作直线l，直线l与a,b均异面，且所成的角均为50°，则满足条件的直线共有(???? ) 条
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
17.有以下三种说法，其中正确的是(?? )
①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；
②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；
③直线a，b满足a∥α，a∥b，且b?α，则a平行于经过b的任何平面.
A.?①②??????????????????????????????????????B.?①③??????????????????????????????????????C.?②③??????????????????????????????????????D.?①
18.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ， 则直线EF是平面ACD1与( ??)
A.?平面BDB1的交线???????????B.?平面BDC1的交线???????????C.?平面ACB1的交线???????????D.?平面ACC1的交线
19.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为 ( ??)
A.?0????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?0或1????????????????????????????????????????D.?1或3
20.空间四点 的位置关系式（ ??）
A.?共线?????????????????????????????????B.?共面?????????????????????????????????C.?不共面?????????????????????????????????D.?无法确定
二、解答题
21.???
（1）已知某圆柱的体积为 3π ，侧面积为 6π ，求该圆柱的高与表面积；
（2）如图， l1//l2 ， l3 与 l1 、 l2 分别交于A、B两点， l4 与 l1 、 l2 分别交于C、D两点， E∈AD ，证明：A、B、C、D、E五点共面.
22.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F分别是 AA1 、 AB 的中点，
（1）证明点E、F、C、 D1 共面
（2）证明 D1E 、 DA 、 CF 三线交于一点
23.在四面体ABCD中，过棱AB的上一点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H

（1）求证：截面EFGH为平行四边形
（2）若P、Q在线段BD、AC上， DPBD=AQAC=14 ，且P、F不重合，证明：PQ∥截面EFGH
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】对于A，若 m//α ， n//α ，则 m,n 可能平行，相交或者异面，所以不正确；
对于B，若 m//α ， m//n ，则 n//α 或者 n?α ，所以不正确；
对于C，若 m//n ， n?α ，则 m//α 或者 m?α ，所以不正确；
对于D，垂直于同一平面的两直线平行，所以正确.
故答案为：D
2.【答案】 A
【解析】若l垂直于 α 内的两条相交直线，则 l⊥α ，A错误，符合题意；C正确，不符合题意；
若l平行于 α 内的一条直线，则 l//α ，B正确，不符合题意；
若l平行于 α 内的无数条直线，则 l//α ，D正确，不符合题意.
故答案为：A.
3.【答案】 B
【解析】用“属于”和“不属于”表示点与直线的关系；用“包含”和“不包含”表示直线与平面的关系.故点 Α 在直线 l 上用属于符号 ∈ ， l 在平面 α 外用不包含 ? ．
故答案为：B．
4.【答案】 A
【解析】由题意可得：动点 M(a,a,0) 且 0即动点M在线段 OB1 （除端点O）上的动点，
N(0,b,1) 且 0≤b≤1 ，
即动点N在线段 DC 上的动点，
所以任意点M，由M，N，O三点确定的平面截该正方体的截面为E都过直线 OB1 ，
当N点与C重合时，截面E为三角形，因此A选项正确；
当点N与D重合时，截面E为矩形，
当点N不与端点C、D重合时，截面E为等腰梯形，
所以 B,C 选项错误；
只有当点N与D重合时，截面E为矩形，所以D选项错误；
故答案为：A
5.【答案】 D
【解析】有定义易知梯形，菱形，平行四边形都是平面图形，
四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形.
故答案为：D.
6.【答案】 D
【解析】在A图中：分别连接PS，QR，
则PS∥QR，∴P，S，R，Q共面．
在B图中：过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面．
在C图中：分别连接PQ，RS，则PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．
在D图中：PS与RQ为异面直线，∴P，Q，R，S四点不共面．
故答案为：D．
7.【答案】 A
【解析】①③中直线有可能含于 α ；②中直线可能和平面相交； 所以只有④是正确的，
故答案为：A.
8.【答案】 B
【解析】如下图所示，分别取 AB 、 CC1 、 A1D1 的中点 E 、 F 、 G ，连接 AC 、 A1C1 、 PF .
在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， AA1//__CC1 ，又 P 、 F 分别为 AA1 、 CC1 的中点， ∴PA1//__C1F ，
所以，四边形 A1C1FP 为平行四边形，
又 ∵G 、 R 分别为 A1D1 、 C1D1 的中点， ∴GR//A1C1 ，且 GR=12A1C1=2 ，
∴GR=12PF ，则四边形 PFRG 为梯形，则 P 、 F 、 R 、 G 四点共面，
若 E? 平面 PFRG ，易证 PE//RF ，且 PE? 平面 PFRG ， RF? 平面 PFRG ，
可得出 PE// 平面 PFRG ，这与 PE∩ 平面 PFRG=P 矛盾，则 E∈ 平面 PFRG ，
同理可证 Q∈ 平面 PFRG ，所以平面 α 截正方体 ABCD?A1B1C1D1 所得截面图形为六边形 EQFRGP ，易知该六边形的边长均为正方体 ABCD?A1B1C1D1 的面对角线长度的一半，则其边长为 2 ，因此，该截面图形的周长为 62 .
故答案为：B.
9.【答案】 A
【解析】∵线段AB在平面α内,
∴.直线AB上所有的点都在平面α内，
∴直线AB与平面a的位置关系:直线在平面a内,用符号表示为: AB?α，
故答案为：A
10.【答案】 D
【解析】A．如果平面 α⊥ 平面 γ ，平面 β⊥ 平面 γ ， α∩β=l ，那么 l⊥γ 。正确；
B．如果平面 α⊥ 平面 β ，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β 。正确；
C．如果平面 α 不垂直于平面 β ，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β 。
正确；
D. 如果平面 α⊥ 平面 β ，过 α 内任意一点作交线的垂线，此垂线不一定垂直于 β ，如图所示，错误.
故答案为：D
11.【答案】 A
【解析】由线面垂直的性质，易知①②正确；
当 a⊥α 且 a⊥b 时，有 b∥α 或 b?α ，③不正确；
当 a∥α，a⊥b 时，有 b 与 a 相交或 b∥α 或 b?α ，④不正确.
故答案为：A
12.【答案】 B
【解析】由题意，设 BM=x ， MC=y ，则 BC=AD=x+y .
因为 PA⊥ 平面 ABCD ， MD? 平面 ABCD ，
所以 PA⊥MD ，又 AM⊥MD ， PAAM=A ，所以 MD⊥ 平面 PAM ，则 PM⊥MD .
易知 AM=x2+1 ， MD=y2+1 ，
在 RtΔAMD 中， AM2+MD2=AD2 ，即 x2+1+y2+1=(x+y)2 ，化简得 xy=1 .
在 RtΔPMD 中， PM=x2+4 ， MD=y2+1=1x2+1 ，
所以 SΔPMD=12x2+4x2+5≥32 ，
当且仅当 x2=4x2 时，取等号，此时 BC=x+y=322 .
13.【答案】 A
【解析】因为过EF做垂直于CD（AB）的平面 α 垂直平分CD，所以该平面与过AB中点并与AB垂直的平面 β 平行，平面 β 和正方体的4个侧面相交，由于EF和正方体的侧棱不平行，所以它与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.同理与CE相交的平面有4个，共8个.
故答案为：A.
14.【答案】 B
【解析】对于A，由于特称命题的否定是特称命题，所以命题“ ?x0∈R ， x02+1>3x0 ”的否定是“ ?x∈R ， x2+1≤3x ”，是正确的.
对于B, 若 p∧q 是假命题，则 p ， q 至少有一个是假命题，所以命题是假命题.
对于C, 双曲线 x22?y23=1 的焦距为2c=2 2+3 ? =25 ,所以是真命题.
对于D, 设 a ， b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面 α ，使得 a?α ，且 b∥a ,是真命题.
故答案为：B
15.【答案】 C
【解析】A,空间任意三点，当三点共线时能确定一条直线而不是平面，故不正确；B. 空间两条直线，当两条直线重合时，过这条直线的平面有无数个，故不正确；C. 空间两条平行直线，根据课本中的判定得到是正确的；D. 一条直线和一个点，当这个点在直线上时，过这条直线的平面有无数个，故不正确.
故答案为：C.
16.【答案】 B
【解析】在空间取一点P，经过点P分别作a∥a′，b∥b′，
设直线a′、b′确定平面α，
当直线PM满足它的射影PQ在a′、b′所成角的平分线上时，
PM与a′所成的角等于PM与b′所成的角．
因为直线a，b所成的角为70°，得a′、b′所成锐角等于70°．
所以当PM的射影PQ在a′、b′所成锐角的平分线上时，
PM与a′、b′所成角的范围是[35°，90°）．
这种情况下，过点P有两条直线与a′、b′所成的角都是50°．
当PM的射影PQ在a′、b′所成钝角的平分线上时，PM与a′、b′所成角的范围是[55°，90°）．
这种情况下，过点P有0条直线（即PM?α时）与a′、b′所成的角都是50°．
综上所述，过空间任意一点P可作与a，b所成的角都是50°的直线有2条．
故答案为：B．
17.【答案】 D
【解析】①正确，若在α内存在一条直线b，使a∥b，则a∥α与“a与平面α相交”矛盾，故①正确；②错误，反例如图(1)所示；③错误，反例如图(2)所示，a，b可能在同一平面内.
故答案为：D
18.【答案】 B
【解析】连接BC1.因为E∈DC1 ， F∈BD，所以EF?平面BDC1 ， 故EF=平面ACD1∩平面BDC1.
故答案为：B.
19.【答案】 D
【解析】当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面．选D.
【分析】分情况讨论，确定确定的平面个数。注意两条平行直线确定一个平面，但第三条直线不一定在该平面内。
20.【答案】 C
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】设平面方程为ax+by+cz+d=0，
代入A、B、C、D 四点的坐标，得：
,
解得a=b=c=d=0，
∴A，B，C，D四点不共面．
故答案为：C．
二、解答题
21.【答案】 （1）解：设圆柱的底面半径为 r ，高为 ? ，则 {πr2?=3π2πr?=6π ，解得 {r=1?=3 .
故该圆柱的表面积为 6π+2πr2=8π
（2）解：因为 l1//l2 ，所以 l1 ， l2 可以确定一个平面 α .
因为 A∈l1 ， D∈l2 ，所以 A∈α ， D∈α ，所以 AD?α ，又 E∈AD ，所以 E∈α .
因为 C∈l1 ， B∈l2 ，所以 C∈α ， B∈α ，
从而A、B、C、D、E五点都在平面 α 内，即A、B、C、D、E五点共面.
【解析】（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，根据题意建立关于r、h的方程组，解出这两个量，即可计算出圆柱的表面积；（2）由两平行直线确定一个平面，可得出A、B、C、D共面，然后证明 E 也在这个平面内，即可证明出A、B、C、D、E五点共面.
22.【答案】 （1）解：连接 A1B ，根据正方体的几何性质可知 A1B//CD1 .由于 E,F 分别是 AA1,AB 的中点，所以 EF//A1B ，所以 EF//CD1 ，所以 E,F,C,D1 四点共面.
（2）解：由于 EF//CD1,EF≠CD1 ，所以 D1E 与 CF 延长后必相交，设交点为 P ，由于 P∈D1E? 平面 ADD1A1 ， P∈CF? 平面 ABCD ，根据公理3可知， P 在平面 ADD1A1 与平面 ABCD 的交线 DA 上，所以 D1E 、 DA 、 CF 三线交于一点
【解析】（1）通过证明 EF//CD1 ，证得 E,F,C,D1 四点共面.（2）根据公理 3 ，证得 D1E 、 DA 、 CF 三线交于一点.
23.【答案】 （1）证明：∵AD∥平面EFGH，平面ADB 平面EHGH=EF，AD ? 平面ABD，
∴AD∥EF? ∵AD∥平面EHGH，平面ADC 平面EHGH=GH，AD ? 平面ADC，. ∴AD∥GH
由平行公理可得EF∥GH
同理可得EH∥FG

∴四边形EFGH为平行四边形
（2）解：如图在CD上取点M，使 DPBD=DMDC=14 ，连接MQ
则PM∥BC∥FG， AQAC=DMDC=14 ，则QM∥AD∥HG
PM QM=M∴平面PMQ∥平面EHGH
∵PQ ? 平面PMQ
∴PQ∥截面EFGH
【解析】（1）根据题意得出 AD∥EF ， AD∥GH 进而得出 EF∥GH ，同理也可得出 EH∥FG ，根据平行四边形的判定即证。
（2）首先 在CD上取点M，使 DPBD=DMDC=14 ，连接MQ ，故有 PM∥BC∥FG ，结合已知条件得出 QM∥AD∥HG ，进而得出 平面PMQ∥平面EHGH ，即证。