8.5空间直线、平面的平行 基础练习-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

8.5空间直线、平面的平行 基础练习
一、单选题
1.在空间中，下列命题是真命题的是（??? ）
A.?经过三个点有且只有一个平面
B.?平行于同一平面的两直线相互平行
C.?如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D.?如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面
2.设 α,β,γ 为三个不同的平面，若 α⊥β ，则“ γ//β 是“ α⊥γ ”的（??? ）
A.?充分不必要条件?????????????B.?充要条件?????????????C.?必要不充分条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
3.在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，P为AC上的动点，则 PB1 与平面 DA1C1 的位置关系是（??? ）
A.?线在面内????????????????????????????????B.?平行????????????????????????????????C.?相交????????????????????????????????D.?不能确定
4.m、n是平面 α 外的两条直线，在m∥ α 的前提下，m∥n是n∥ α 的（??? ）
A.?充分而不必要条件?????????B.?必要而不充分条件?????????C.?充分必要条件?????????D.?既不充分也不必要条件
5.设 P 为空间一点， l 、 m 为空间中两条不同的直线， α 、 β 是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（??? ）
A.?若 P∈l ， P∈β ， l?α ，则 α∩β=l????B.?若 P∈α ， P∈l ， l//m ，则 m 与 α 必有公共点
C.?若 l⊥α ， m⊥β ， α//β ，则 l//m????????????D.?若 l 与 m 异面， l?α ， m?β ，则 α//β
6.已知平面 α 、平面 γ 、平面 β 、直线 a 以及直线 b ，则下列命题说法错误的是（??? ）
A.?若 a//α,b⊥α ，则 a⊥b????????????????????????????????B.?若 α//β,α∩γ=a,β∩γ=b ，则 a//b
C.?若 α//β,a⊥α ，则 a⊥β?????????????????????????????????D.?若 α⊥γ,β⊥γ ，则 α//β
7.已知 m?,?l 是两条不同的直线， α?,?β 是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出 m⊥l 的所有序号是（ ??）
① m⊥α?,?l⊥β?,?α⊥β ；② m⊥α?,?l//β?,?α//β ；③ m?α?,?l⊥β?,?α//β ；④ m?α?,?l//β?,?α⊥β
A.?①②③??????????????????????????????????B.?①②??????????????????????????????????C.?②③④??????????????????????????????????D.?③④
8.下列四个正方体图形中， A、B 为正方体的两个顶点， M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB// 平面 MNP 的图形的序号是（ ??）
A.?①③????????????????????????????????????B.?①④????????????????????????????????????C.?①③④????????????????????????????????????D.?②④
9.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出 AB// 平面 MNP 的图形的序号是（??? ）
A.?①③?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?①④?????????????????????????????????????D.?②④
10.如图所示，平面 α∩ 平面 β=l ，点 A,B∈α ，点 C∈β ，直线 AB∩l=R .设过 A,B,C 三点的平面为 γ ，则 β∩γ= （??? ）
A.?直线 AC?????????????????????????B.?直线 BC?????????????????????????C.?直线 CR?????????????????????????D.?以上均不正确
11.如果空间三条直线a, b, c两两成异面直线，那么与a, b, c都相交的直线有（?? ）
A.?0条?????????????????????????????B.?1条?????????????????????????????C.?多于1条但为有限条?????????????????????????????D.?无数条
12.如图，在棱长为1的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，M，N分别是 A1D1 ， A1B1 的中点，过直线 BD 的平面 α∥ 平面 AMN ，则平面 α 截该正方体所得截面的面积为（??? ）
A.?2???????????????????????????????????????B.?98???????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????D.?62
13.已知两条直线 m ， n ，两个平面 α ， β ， m//α ， n⊥β ，则下列正确的是（??? ）
A.?若 α//β ，则 m⊥n?????B.?若 α//β ，则 m//β?????C.?若 α⊥β ，则 n//α?????D.?若 α⊥β ，则 m⊥n
14.设 α 、 β 、 γ 是三个不重合的平面， m 、 n 是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（??? ）
A.?若 α⊥β ， β⊥γ ，则 α//γ
B.?若 α⊥β ， m//β ，则 m//α
C.?若 m⊥α ， m⊥β ，则 α//β
D.?若 m//β ， n//β ，则 m//n
15.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 ，点 P 是棱 CC1 的中点，设直线 AB 为 a ，直线 A1D1 为 b .对于下列两个命题：①过点 P 有且只有一条直线 l 与 a 、 b 都相交；②过点 P 有且只有一条直线 l 与 a 、 b 都成 45° 角.以下判断正确的是（??? ）
A.?①为真命题，②为真命题????????????????????????????????????B.?①为真命题，②为假命题
C.?①为假命题，②为真命题????????????????????????????????????D.?①为假命题，②为假命题
16.已知m，n是不同的直线， α ， β 是不重合的平面，下列命题中正确的有（??? ）
①若 m⊥α ， m⊥β ，则 α//β
②若 m//α ， m?β ， α∩β=n ，则 m//n
③若 m//α ， m//β ，则 α//β
④若 α⊥β ， m?α ， n?β ，则 m⊥n
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①③?????????????????????????????????????C.?②④?????????????????????????????????????D.?③④
17.在空间四边形 ABCD 中，若 AD⊥BC，BD⊥AD ，则有（??? ）
A.?平面 ABC⊥ 平面 ADC???????????????????????????????????B.?平面 ABC⊥ 平面 ADB
C.?平面 ABC⊥ 平面 DBC???????????????????????????????????D.?平面 ADC⊥ 平面 DBC
18.如图，在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，M ， N分别为棱 C1D1,CC1 的中点，以下四个结论：①直线DM与 CC1 是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与 MB1 是异面直线；④直线AM与 DD1 是异面直线．其中正确的个数为（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
19.圆台的所有母线的位置关系是（??? ）
A.?平行??????????????????????????B.?在同一平面内??????????????????????????C.?延长后交于一点??????????????????????????D.?垂直
20.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m，l2:2x+(5+m)y=8，若l1⊥l2 ， 则实数m的值是（ ??）
A.?-1或-7????????????????????????????????????B.?-7????????????????????????????????????C.??133????????????????????????????????????D.?133
二、解答题
21.在如图所示的多面体中， AB//CD ，四边形 ACFE 为矩形， AB=AE=1 ， AD=CD=2 .
（1）求证：平面 ABE// 平面 CDF ；
（2）设平面 BEF∩ 平面 CDF=l ，再从条件①?条件②?条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角 B?l?C 的大小确定，并求此二面角的余弦值.
条件①： AB⊥AD ；条件②： AE⊥ 平面 ABCD ；条件③：平面 AED⊥ 平面 ABCD .
22.如图，已知直线 l// 平面 α ，相异四点 A ， B ， C ， D 满足： A∈l ， C∈l ， B∈α ， D∈α .
（1）判断空间直线 AC 与 BD 的位置关系，并说明理由；
（2）若 AB // CD ，求证： AB=CD .
23.如图，三棱柱 ABC?A1B1C1 的各棱的长均为2， A1 在底面上的射影为 △ABC 的重心 O ．
（1）若 D 为 BC 的中点，求证： A1C// 平面 ADB1 ；
（2）求四棱锥 C?ABB1A1 的体积．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，A不符合题意；
平行于同一平面的两直线可能相交，B不符合题意；
由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，C不符合题意；
如果两个相交平面 α,β 垂直于同一个平面 γ ，且 α∩β=l ，则在平面 α 、 β 内分别存在直线 m,n 垂直于平面 γ ，由线面垂直的性质可知 n//m ，再由线面平行的判定定理得 m//β ，由线面平行的性质得出 m//l ，则 l⊥γ ，D符合题意；
故答案为：D
2.【答案】 A
【解析】因为 α⊥β ， γ//β ，则 α⊥γ ，
所以由 α⊥β ， γ//β 可以得出 α⊥γ ，
若 α⊥β ， α⊥γ ，则 γ 与 β 可能相交或平行，
所以 α⊥β ， α⊥γ ，得不出 γ//β ，
所以若 α⊥β ，则“ γ//β 是“ α⊥γ ”的充分不必要条件，
故答案为：A
3.【答案】 B
【解析】由正方体的性质可得 A1D//B1C ，
A1D? 平面 DA1C1 ， B1C? 平面 DA1C1 ,
所以 B1C// 平面 DA1C1 ，
同理可证 AB1// 平面 DA1C1 ，
因为 AB1∩B1C=B1 ，
所以平面 DA1C1// 平面 AB1C ，
又因为 PB1? 平面 AB1C ，
所以 PB1// 平面 AB1C ，
故答案为：B
4.【答案】 A
【解析】 m//α ，则存在 l?α 有 m//l ．而由 m//n 可得 n//l ，从而有 n//α ．反之则不一定成立， m,n 可能相交，平行或异面．所以 m//n 是 n//α 的充分不必要条件，故答案为：A
5.【答案】 C
【解析】对于A选项，如下图所示：
设 α∩β=m ， l∩m=P ， l?α ，则 P∈l ， P∈β 满足，但 α∩β≠l ，A选项错误；
对于B选项，若 l?α ， P∈l ，则 P∈α 满足条件，若 l//m ，则 m?α 或 m//α ，B选项错误；
对于C选项， ∵l⊥α ， α//β ，可知 l⊥β ，又 m⊥β ， ∴l//m ，C选项正确；
对于D选项，如下图所示， l 与 m 异面， l?α ， m?β ，但 α 与 β 相交，D选项错误.
故答案为：C.
6.【答案】 D
【解析】A项：因为 a//α ， b⊥α ，所以 a⊥b ， a⊥b ，A符合题意；
B项：因为两平面平行，分别与第三个平面相交，交线平行，
所以根据 α//β 、 α∩γ=a 、 β∩γ=b 可证得 a//b ，B符合题意；
C项：因为 a⊥α ，所以 a 垂直于平面 α 内的两条相交直线，
因为 α//β ，所以平面 α 内的两条相交直线必与平面 β 内的两条相交直线对应平行，
所以 a 垂直于平面 β 内的两条相交直线， a⊥β ，C符合题意；
D项：
如图所示，绘出正方体 ABCD?EFGH ，
令平面 ABCD 是平面 α ，平面 ADHE 是平面 γ ，平面 CDHG 是平面 β ，
则满足 α⊥γ ， β⊥γ ，但是 α//β 不成立，D不符合题意，
故答案为：D.
7.【答案】 A
【解析】 ∵m⊥α ， α⊥β ??? ∴m//β 或 m?β ，又 l⊥β ??? ∴m⊥l ，①正确；
∵m⊥α ， α//β ??? ∴m⊥β ，又 l//β ??? ∴m⊥l ，②正确；
∵l⊥β ， α//β ??? ∴l⊥α ，又 m?α ??? ∴m⊥l ，③正确；
在如图所示的正方体中：
A1D1// 平面 ABCD ，平面 ADD1A1⊥ 平面 ABCD ， AD1? 平面 ADD1A1 ，此时 AD1 与 A1D1 不垂直，④错误.
故答案为： A
8.【答案】 B
【解析】解：对于①，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知 BC//AD//MN,BD//NP ，
由于 BC? 平面 MNP ， MN? 平面 MNP ，所以 BC// 平面 MNP ；
由于 BD? 平面 MNP ， NP? 平面 MNP ，所以 BD// 平面 MNP ；
由于 BC∩BD=B ，所以平面 ACBD// 平面 MNP ，所以 AB// 平面 MNP ，所以①正确.
对于②，如图，设 BC 与 DE 相交于 O ，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知 AB//ON ，因为 ON 与平面 MNP 相交，所以 AB 与平面 MNP 不平行，所以②错误.
对于③，如图，设 C 是 AD 的中点，因为 M 是 BD 的中点，所以 AB//CM ，而 CM 与平面 MNP 相交，所以 AB 与平面 MNP 不平行，所以③错误.
对于④，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知 AB//CD//NP ， AB? 平面 MNP ， NP? 平面 MNP ，所以 AB// 平面 MNP ，所以④正确.
综上所述，正确的序号有①④.
故答案为：B.
9.【答案】 C
【解析】对于①，连接 AC 如图所示，由于 MN//AC,NP//BC ，根据面面平行的性质定理可知平面 MNP// 平面 ACB ，所以 AB// 平面 MNP .
对于②，连接 BC 交 MP 于D，由于N是 AC 的中点，D不是 BC 的中点，所以在平面 ABC 内 AB 与 DN 相交，所以直线 AB 与平面 MNP 相交.
对于③，连接 CD ，则 AB//CD ，而 CD 与 PN 相交，即 CD 与平面 PMN 相交，所以 AB 与平面 MNP 相交.
对于④，连接 CD ，则 AB//CD//NP ，由线面平行的判定定理可知 AB// 平面 MNP .
综上所述，能得出 AB// 平面 MNP 的图形的序号是①④.
故答案为：C
10.【答案】 C
【解析】 ∵AB∩l=R ，平面 α∩ 平面 β=l ， ∴R∈l,l?β,R∈AB ， ∴R∈β .又 ∵A,B,C 三点确定的平面为 γ ， ∴C∈γ,AB?γ,∴R∈γ .又 ∵C∈β,∴C,R 是平面 β 和 γ 的公共点， ∴β∩γ=CR .
故答案为：C
11.【答案】 D
【解析】在直线a上任意取一点A,
点A与直线b确定的平面为α，
点A与直线c确定的平面为β，
∵A∈平面α∩平面β，
∴设平面α与平面β的交线为d，
此交线与a,b,c皆有公共点，
由A的任意性得证。
故答案为：D
12.【答案】 B
【解析】取 C1D1，B1C1 的中点为 P,Q .
易知 MN//B1D1//BD ， AD//NP.AD=NP ，所以四边形 ANPD 为平行四边形，所以 AN//DP .
又 BD 和 DP 为平面 DBQP 的两条相交直线，所以平面 DBQP/ 平面 AMN ，即 DBQP 的面积即为所求.
由 PQ//DB ， PQ=12BD=22 ，所以四边形 DBQP 为梯形，高为 h=12+(12)2?(24)2=342 .
所以面积为： 12(PQ+BD)?=98 .
故答案为：B.
13.【答案】 A
【解析】对于A选项，当 α//β 时，画出图象如下图所示，由图可知， m⊥n ，A选项正确.
对于B选项，当 α//β 时，可能 m?β ，如下图所示，所以B选项错误.
对于CD选项，当 α⊥β 时，可能 n?α ， m//n 如下图所示，所以CD选项错误.
故答案为：A
14.【答案】 C
【解析】对于A，若 α⊥β ， β⊥γ ，则 α//γ 或 α 与 γ 相交，即A不符合题意；
对于B，若 α⊥β ， m//β ，则 m//α 或 m?α 或 m 与 α 相交，即B不符合题意；
对于C，若 m⊥α ， m⊥β ，由线面垂直的性质定理可知， α//β ，即C符合题意；
对于D，若 m//β ， n//β ，则 m//n 或 m 与 n 相交或异面，即D不符合题意.
故答案为：C.
15.【答案】 B
【解析】解：直线AB与A1D1 是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1 ， 且 PQ＝A1D1 ， 设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，
直线EP必与A1D1 相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；
分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．
∴①为真命题，②为假命题．
故答案为：B．
16.【答案】 A
【解析】①若 α∩β=l ，则此时过 l 有两个平面 α,β 与已知直线 m 垂直，与实际矛盾，所以假设不成立，所以命题正确；
②由线面平行的性质定理内容可知命题正确；
③当 α∩β=l 时，若 m//l,m?α,m?β ，此时 m//α,m//β ，所以命题不正确；
④取正方体任意相邻的两个面 α,β ， m 是 α 的一条面对角线， n 是 β 的一条面对角线，此时 m⊥n 显然不成立，所以命题错误.
所以只有①②正确.
故答案为：A.
17.【答案】 D
【解析】由题意，知 AD⊥BC，BD⊥AD ，又由 BC∩BD=B ，可得 AD⊥ 平面 DBC ，又由 AD? 平面 ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面 ADC⊥ 平面 DBC .
故答案为：D
18.【答案】 C
【解析】①： CC1 与 DM 是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；
②：若 AM、BN 平行，又 AD、BC 平行且 AM∩AD=A,BN∩BC=B ，所以平面 BNC ∥ 平面 ADM ，明显不正确，故错误；
③： BN、MB1 不共面，所以是异面直线，故正确；
④： AM、DD1 不共面，所以是异面直线，故正确；
故答案为：C.
19.【答案】 C
【解析】∵用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台，
∴圆台的所有母线延长后交于一点，这一点就是圆锥的顶点，
故答案为：C.
20.【答案】 C
【解析】解：∵ l1⊥l2∴A1A2+B1B2=0,即2×（3+m）+4×(5+m)=0.m=?133.
故答案为：C
二、解答题
21.【答案】 （1）证明：因为四边形 ACFE 为矩形，所以 AE//CF ，
又 AE? 平面 CDF ； CF? 平面 CDF ；
所以 AE// 平面 CDF ；
又 AB//CD ， AB? 平面 CDF ； CD? 平面 CDF ；
所以 AB// 平面 CDF ；
又 AB∩AE=A ，
所以平面 ABE// 平面 CDF ；
（2）解：选条件①： AB⊥AD ；条件②： AE⊥ 平面 ABCD ；
以A为原点，以AB，AD，AE分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
则 A(0,0,0),B(1,0,0),E(1,0,0),F(2,2,1),D(0,2,0),C(2,2,0) ，
所以 EB=(1,0?1),EF=(2,2?1) ，
设平面CDF的一个法向量为 n=(x,y,z) ，即 n=(0,1,0) ，
设平面EBF的一个法向量为 m=(x,y,z) ，
则 {EB?m=0EF?m=0 ，即 {x?z=02x+2y=0 ，
令 x=1 ，则 y=?1,z=1 ，则 m=(1,?1,1) ，
设二面角 B?l?C 为 θ ，
所以 cosθ=n?m|n|?|m|=?13=?33
选条件①： AB⊥AD ；条件③：平面 AED⊥ 平面 ABCD .
因为 AB⊥AD ，平面 AED⊥ 平面 ABCD .
所以 AB⊥ 平面 AED
因为 AB//CD ，
所以 CD⊥ 平面 AED ，
所以 CD⊥DE
因为 CD=2,EC=AE2+AC2=3 ，
所以 ED=EC2?CD2=5 ，即 AE2+AD2=ED2 ，
所以 AE⊥AD ，
因为平面 AED⊥ 平面 ABCD .
所以 AE⊥ 平面 ABCD ，
以A为原点，以AB，AD，AE分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
则 A(0,0,0),B(1,0,0),E(1,0,0),F(2,2,1),D(0,2,0),C(2,2,0) ，
所以 EB=(1,0?1),EF=(2,2?1) ，
设平面CDF的一个法向量为 n=(x,y,z) ，即 n=(0,1,0) ，
设平面EBF的一个法向量为 m=(x,y,z) ，
则 {EB?m=0EF?m=0 ，即 {x?z=02x+2y=0 ，
令 x=1 ，则 y=?1,z=1 ，则 m=(1,?1,1) ，
设二面角 B?l?C 为 θ ，
所以 cosθ=n?m|n|?|m|=?13=?33
【解析】(1)根据题意首先由矩形的性质即可得出线线平行，再由线面平行以及面面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意 选条件①： AB⊥AD ；条件②： AE⊥ 平面 ABCD ， 建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面CDF法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面CDF的法向量的坐标，同理即可求出平面EBF的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角 B?l?C 的余弦值。
选条件①： AB⊥AD ；条件③：平面 AED⊥ 平面 ABCD ，由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由勾股定理计算出边的大小，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面CDF法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面CDF的法向量的坐标，同理即可求出平面AEBF的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角 B?l?C 的余弦值即可。
?
22.【答案】 （1）解： AC 与 BD 的位置关系是平行或异面.说明如下：
∵ A∈l ， C∈l ， B∈α ， D∈α ，∴ AC?l ， BD?α ，
∵直线 l //平面 α ，∴直线 l 与平面 α 无公共点，
∴ AC 与 BD 也无公共点，
∴ AC 与 BD 平行或异面
（2）证明：∵ AB // CD ，∴过 AB ， CD 可作平面 γ ，且 α∩γ=BD ， l?γ ，
如图
∵直线 l //平面 α ，∴ l // BD ，即 AC // BD ，
∴四边形 ABDC 是平行四边形，
∴ AB=CD .
【解析】（1）利用已知条件结合线面平行的性质定理，从而判断出空间直线 AC 与 BD 的位置关系。
（2） ∵ AB // CD ，∴过 AB ， CD 可作平面 γ ，且 α∩γ=BD ， l?γ ， 再利用线面平行的性质定理推出线线平行， ∴ l // BD ，即 AC // BD ， 再利用平行四边形的定义判断出四边形 ABDC 是平行四边形，从而证出 AB=CD 。
?
23.【答案】 （1）证明：连接 A1B 交 AB1 于点 E ，连接 DE ，则 E 为 A1B 的中点，
又∵ D 为 BC 的中点，∴ DE 为 △A1BC 的中位线，
∴ DE//A1C ，
又 A1C? 平面 ADB1 ， DE? 平面 ADB1 ，
∴ A1C// 平面 ADB1
（2）解：在 △ABC 中， O 为重心，则 AO=23AD=233 ，
在 Rt△AOA1 中， A1O=AA12?AO2=263 ，
则 VC?ABB1A1=23VABC?A1B1C1=23×34×22×263=423
【解析】（1） 连接?A1B?交?AB1?于点?E?，连接?DE?，易知 DE?为?△A1BC?的中位线，?再根据线面平行的判定定理即可证明结果；
（2）由重心的性质可知， AO=23AD=233?，由勾股定理可得 A1O=263 ， 再根据 VC?ABB1A1=23VABC?A1B1C1 和柱体体积公式，即可求出结果。