8.3简单几何体的表面积与体积 基础练习-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

8.3简单几何体的表面积与体积 基础练习
一、单选题
1.某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为 3 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（ ??）
A.?144????????????????????????????????????????B.?72????????????????????????????????????????C.?36????????????????????????????????????????D.?24
2.已知长方体 ABCD?A1B1C1D1 的底面是边长为2的正方形，高为4，E是 DD1 的中点，则三棱锥 B1?C1EC 的外接球的表面积为（??? ）
A.?12π?????????????????????????????????????B.?20π?????????????????????????????????????C.?24π?????????????????????????????????????D.?32π
3.如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为 45° ，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（??? ）
A.?32??????????????????????????????????????B.?22??????????????????????????????????????C.?33??????????????????????????????????????D.?34
4.用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为 8π3 ，则球的表面积为（??? ）
A.?16π?????????????????????????????????????B.?32π?????????????????????????????????????C.?36π?????????????????????????????????????D.?48π
5.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径 2.0cm ，外径 2.4cm ，筒高 6.0cm ，方高 4.0cm ，则其体积约为（单位： cm3 ）（?? ）
A.?23.04?3.92π?????????????B.?34.56?3.92π?????????????C.?34.56?3.12π?????????????D.?23.04?3.12π
6.将长、宽分别为 4 和 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，得到四面体 A?BCD ，则四面体 A?BCD 的外接球的表面积为（??? ）
A.?25π??????????????????????????????????????B.?50π??????????????????????????????????????C.?5π??????????????????????????????????????D.?10π
7.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（??? ）
A.?16π?????????????????????????????????????B.?20π?????????????????????????????????????C.?24π?????????????????????????????????????D.?32π
8.已知正四棱锥 P?ABCD 的高为 7 ，且 AB=2 ，则正四棱锥 P?ABCD 的侧面积为（??? ）
A.?22??????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????C.?62??????????????????????????????????????D.?82
9.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱 ABC?A1B1C1 为一个“堑堵”，底面 △ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形且 AB=5 ， AC=3 ，点 P 在棱 BB1 上，且 PC⊥PC1 ，当 △APC1 的面积取最小值时，三棱锥 P?ABC 的外接球表面积为（??? ）
A.?45π2??????????????????????????????????B.?455π2??????????????????????????????????C.?30π??????????????????????????????????D.?45π
10.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线 AC1 被平面 A1BD 和平面 B1CD1 、三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为 1:2:3 ；③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是 16 ；④正方体与以 A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是 π6 ．其中正确的序号是（??? ）
A.?①②??????????????????????????????????B.?②④??????????????????????????????????C.?①②③??????????????????????????????????D.?①②④
11.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为(??? )
A.?41π?????????????????????????????????????B.?42π?????????????????????????????????????C.?43π?????????????????????????????????????D.?44π
12.圆锥和圆柱的底面半径?高都是 R ，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为（??? ）
A.?(2+1):4?????????????????????????????B.?2:2?????????????????????????????C.?1:2?????????????????????????????D.?(2+1):2
13.已知 A,B,C 为球O的球面上的三个点，⊙ O1 为 △ABC 的外接圆，若⊙ O1 的面积为 4π ， AB=BC=AC=OO1 ，则球O的表面积为（?? ?）
A.?64π?????????????????????????????????????B.?48π?????????????????????????????????????C.?36π?????????????????????????????????????D.?32π
14.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（??? ）．

A.?6+3?????????????????????????????B.?6+23?????????????????????????????C.?12+3?????????????????????????????D.?12+23
15.如图，在四棱锥 P?ABCD 中， PA=PB=PC=PD=2 ，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 E 是 PC 的中点，过点 A ， E 作棱锥的截面，分别与侧棱 PB ， PD 交于M，N两点，则四棱锥 P?AMEN 体积的最小值为（??? ）
A.?223??????????????????????????????????B.?233??????????????????????????????????C.?229??????????????????????????????????D.?239
16.已知三棱锥 P?ABC 中， PA⊥ 平面 ABC ， BC⊥ 平面 PAB ，若 AB=BC=1 ， PA=2 则此三棱锥的外接球的表面积为（??? ）
A.?24π???????????????????????????????????????B.?8π???????????????????????????????????????C.?6π???????????????????????????????????????D.?8π3
17.半径为2的球 O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（??? ）
A.?93???????????????????????????????????B.?123???????????????????????????????????C.?163???????????????????????????????????D.?183
18.已知正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 的底面边长为1，高为2，M为 B1C1 的中点，过M作平面 α ，使得平面 α// 平面 A1BD ，若平面 α 把 ABC?A1B1C1 分成的两个几何体中，体积较小的几何体的体积为（???? ）
A.?148???????????????????????????????????????B.?124???????????????????????????????????????C.?112???????????????????????????????????????D.?18
19.如图，长方体 ABCD?A1B1C1D1 的体积是36，点E在棱 CC1 上，且 CE=2EC1 ，则三棱锥E-BCD的体积是（??? ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?12
20.已知三棱锥A﹣BCD内接于球O,且AD=BC=3,AC=BD=4,AB=CD =13 ,则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（??? ）
A.?38π??????????????????????????????????????B.?9π??????????????????????????????????????C.?76π??????????????????????????????????????D.?19π
二、解答题
21.如图，已知四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为 20?cm 和 10?cm ，侧面积为 780?cm2 ，求其体积
22.如图，将棱长为2的正方体 ABCD?A1B1C1D1 沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体 A?CB1D1 ．
（1）求该四面体的表面积；
（2）求该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比．
23.已知 A ， B ， C 是球 O 的球面上三点，且 AB=AC=3 ， BC=33 ， D 为该球面上的动点，球心 O 到平面 ABC 的距离为球半径的一半.
（1）求三角形 ABC 外接圆的面积；
（2）求三棱锥 D?ABC 体积的最大值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】如图：由正六边形的每个内角为 2π3 ，
按虚线处折成高为 3 的正六棱柱，即 BF=3 ，
所以 BE=BFtan60?=1
可得正六棱柱底边边长 AB=6?2×1=4 ，
所以正六棱柱体积： V=6×12×4×4×32×3=72 .
故答案为：B
2.【答案】 B
【解析】如图，O为 B1C 中点，M为 C1C 中点，
由题可得 C1E=CE=22，C1C=4，∴CE2+C1E2=C1C2 ，所以 △C1EC 为直角三角形，
∴C1M=EM=CM ，
又因为在三棱锥 B1?C1EC 中， B1C1⊥ 平面 C1EC ， ∴OM⊥ 平面 C1EC ，
所以外接球球心是 B1C 的中点O，
设球的半径为R，则 2R=B1C=4+16=20=25 ，
所以球的表面积 S=4πR2=20π 。
故答案为：B．
3.【答案】 D
【解析】塔顶是正四棱锥 P?ABCD ，如图， PO 是正四棱锥的高，

设底面边长为 a ，底面积为 S1=a2 ，
AO=22a ， ∠PAO=45° ，∴ PA=2×22a=a ， △PAB 是正三角形，面积为 S2=34a2 ，
所以 S2S1=34 。
故答案为：D．
4.【答案】 C
【解析】设球的半径为 R ，圆锥的底面半径为 r ，因为球心到截面的距离为1，
所以有： r2=R2?1 ，
则题中圆锥体积 V=13×1×(R2?1)π=8π3 ，解得 R=3 ，故球的表面积为 4πR2=36π 。
故答案为：C
5.【答案】 D
【解析】由图可知，组合体由圆柱、长方体构成，
组合体的体积为 V=2×π×(2.42)2×1+4×2.4×2.4?π×12×6=23.04?3.12π ，
故答案为：D
6.【答案】 A
【解析】取 AC 的中点，连接 OB 、 OD ，如下图所示：
由题意 AC=32+42=5 ，
因为 ∠ABC=∠ADC=90? ， O 为 AC 的中点，所以OB=OD=12AC=OA=OC=52 ，所以 O 为四面体 A?BCD 的外接球的球心，且球 O 的半径为 R=52 ，
因此，四面体 A?BCD 的外接球的表面积为 4πR2=25π 。
故答案为：A.
7.【答案】 C
【解析】依题意正四棱柱的体对角线 BD1 是其外接球的直径, BD1 的中点 O 是球心,
如图:
依题意设 AB=BC= x ,则正四棱柱的体积为: 4x2 =16 ,解得 x=2 ,
所以外接球的直径 2R=x2+x2+42=4+4+16=24=26 ,
所以外接球的半径 R=6 ,则这个球的表面积是 4πR2=24π .
故答案为：C.
8.【答案】 D
【解析】正四棱锥的底面边长为 2 ，高为 7 ，
则侧面的高为 ?=(7)2+12=22 ，
所以侧面积为 S=4×12×2×22=82 .
故答案为：D
9.【答案】 D
【解析】解法一：由“堑堵”的定义可知， △ABC 为直角三角形，
故 BC=AB2?AC2=4 ，
易知 AC⊥PC1 ，又 PC⊥PC1 ， PC1∩PC=P ，
所以 PC1⊥ 平面 APC ，而 AP? 平面 APC ，于是得 AP⊥PC1 ．
设 BB1=z ， BP=t ，则 B1P=z?t ，
则 AP=AB2+BP2=25+t2 ， PC1=B1C22+B1P2=16+(z?t)2 ， AC1=AC2+CC12=9+z2 ，
由 AP⊥PC1 ，得 9+z2=25+t2+16+(z?1)2 ，整理得 z=t+16t ，
所以 PC12=16+(z?t)2=16+162x2 ，
所以 S△APC1=12AP?PC1=12(16+162t2)(25+t2)=241+(t2+400t2)
≥241+2t2?100t2=18 ，
当且仅当 t2=400t2 ，即 t=25 时 △APC1 的面积取得最小值18．
此时 AP=252+(25)2=35 ．
设三棱锥 P?ABC 的外接球半径为 R ，
因为 AC⊥CP ， AB⊥BP ，故线段 AP 为外接球的直径，
故所求外接球的表面积 S=4π×454=45π ．
故答案为：D．
解法二：令 ∠PCB=θ=∠C1PB1 ，则 C1P=4sinθ ， CP=4cosθ ， AP=9+(4cosθ)2=9+16cos2θ ，
又因为 AC⊥ 平面 CBB1C1 ，所以 AC⊥C1P ，又 CP⊥C1P ．
所以 C1P⊥ 平面 ACP ，所以 ∠C1PA=90° ．
△APC1 的面积 S△APC1=12C1P?AP=12?4sinθ?9+16cos2θ=4sin2θ?9+16cos2θ =4(sin2θ+cos2θ)sin2θ?[9+16(sin2θ+cos2θ)cos2θ]
=(4+4tan2θ)(25+16tan2θ)=164+100tan2θ+64tan2θ
当且仅当 100tan2θ=64tan2θ 时， S△APC1 取最小值，
此时 tanθ=52 ， AP=9+16cos2θ=25+16tan2θ=35 ．
在三棱锥 P?ABC 中，因为 ∠ACP=∠ABP=90° ，取 AP 中点为 O ，
则 OC=OB=12AP=OA=OP ，
故 O 为三棱锥 P?ABC 的外接球的球心，
所以 AP 为外接球直径， S球O=4πR2=πAP2=45π ．
故答案为：D．
10.【答案】 D
【解析】①如图所示，假设对角线 AC 与平面 A1BD 相交于点 M ，
可得 AM⊥ 平面 A1BD ，所以 13AM×34×(2)2=13×12×12×1 ，
解得 AM=33=13AC1 ，因此对角线 AC 被平面 A1BD 和平面 B1CD1 三等分，正确；
②易得正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径分别为 12 ， 22 ，
32 ，因此表面积之比为 4π(12)2：4π(22)2：4π(32)2=1:2:3 ，正确；
③ VC1?A1BD=2VC1?B1CD1 =13 ≠16 ，不正确；
④正方体与以 A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积 V=18×4π3×13=π6 ，正确，
故答案为：D．
11.【答案】 A
【解析】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，
即为 12×36+4+1=412 ，
∴该球形容器体积的最小值为：4 π×(412)2= 41π.
故答案为：A.
12.【答案】 A
【解析】由题意圆锥的全面积为： πR2+12×2R×2πR=(1+2)πR2
圆柱的全面积为： 2πR2+π×2R×R=4πR2
所以，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为： 1+24
故答案为：A
13.【答案】 A
【解析】设圆 O1 半径为r，球的半径为R，依题意，
得 πr2=4π,∴r=2 ，
由正弦定理可得 AB=2rsin60°=23 ，
∴OO1=AB=23 ，根据圆截面性质 OO1⊥ 平面 ABC ，
∴OO1⊥O1A,R=OA=OO12+O1A2=OO12+r2=4 ，
∴ 球 O 的表面积 S=4πR2=64π .
故答案为：A
14.【答案】 D
【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，
则其表面积为： S=3×(2×2)+2×(12×2×2×sin60°)=12+23 .
故答案为：D.
15.【答案】 D
【解析】如图所示，设 ∠PHN=α ,则 ∠PHM=180??α ,设三棱锥 M?PAE 的高为 ?1 ，三棱锥 N?PAE 的高为 ?2 ，
由题得 AC=2+2=2 , PA=2,PE=1,∴AE=3,
所以 S△PAE=12×1×3=32,
由题得 VP?AMEN=VM?PAE+VN?PAE=13×32(?1+?2)=36(?1+?2) ，
因为 PB=PD=2,OB=OD=1,PO⊥ 平面 ABCD ,
所以 ∠DPO=∠BPO=30? ,所以 ?1=12PM,?2=12PN ,所以 ?1+?2=12(PM+PN) .
在△ PHN 中，由正弦定理得 PN=sinα×PHsin(150??α) ,
在△ PHM 中，由正弦定理得 PM=sinα×PHsin(α?30?) ,
所以 ?1+?2=12 (sinα×PHsin(150??α) +sinα×PHsin(α?30?)) =12PH (sinαsin(150??α) +sinαsin(α?30?))
在△ PHE 中， PEPH=1PH=sin60?=32,∴PH=233 .
所以 ?1+?2 =33 (sinαsin(150??α) +sinαsin(α?30?)) =33×3sin2αsin2α?14=11?14sin2α ，
当 α=90? 时， ?1+?2 取最小值 43 ，所以 VP?AMEN 取最小值 36×43=293 .
故答案为：D.
16.【答案】 C
【解析】由题，可将三棱锥 P?ABC 补成一个长方体，那么三棱锥外接球的直径为长方体的体对角线，即直径为 PC=12+22+12=6 ，则外接球的表面积 S=4π(62)2=6π .
故答案为：C
17.【答案】 B
【解析】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为 O1，O2 ，底面边长与高分别为 x,? ，则 O2A=33x ，
在 RtΔOAO2 中， ?24+x23=4 ，化为 ?2=16?43x2 ，
∵S=3x? ，
∴S2=9x2?2=12x2(12?x2)?12(x2+12?x22)2=432 ，
当且仅当 x=6 时取等号，此时 S=123 .
故答案为：B.
18.【答案】 B
【解析】
取 C1D1 的中点G， C1C 中点N， MG 中点Q，里那个AC，BD交于O点，并且连接MG，MN，GN，NQ， B1D1 ，
故 MG//B1D1 ，又在正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中， BD//B1D1∴MG//BD
又 MG? 平面 A1BD,BD? 平面 A1BD
∴MG// 平面 A1BD ，同理 MN// 平面 A1BD
∴ 平面 MQN// 平面 A1BO
∴ 平面 MQN 即为平面 α ，体积较小的几何体为三棱锥 N?MQC1
由题意： MC1=GC1=12,NC1=1
所以三棱锥 N?MQC1 的体积为： 13×12×12×12×1=124
故答案为：B
19.【答案】 B
【解析】因为长方体 ABCD?A1B1C1D1 的体积是36，点E在棱 CC1 上，且 CE=2EC1 ，
所以 BC?CD?CC1=36 ，
三棱锥E-BCD的体积是 13×(12×BC?CD)?EC
=13×(12×BC?CD)?23CC1=19BC?CD?CC1=19×36=4 ?
故答案为：B.
20.【答案】 D
【解析】由三棱锥对棱相等，在长方体中可构造三棱锥，如图：
设长方体的长宽高分别为 a,b,c ，外接球的半径为 R ，
则 (2R)2=a2+b2+c2 ，
由已知得 {a2+b2=32=9a2+c2=42=16b2+c2=(13)2=13 ，
∴a2+b2+c2=19 ，
∴S=4πR2=19π ，
故选：D
二、解答题
21.【答案】 解：取 A1B1 的中点 E1 ， AB 的中点 E ，上、下底面的中心 O1O ，则 E1E 为斜高，四边形 EOO1E1 为直角梯形,
∵ s侧=4×12×(10+20)×EE1=780 ，
∴ EE1=13?cm ，
在直角梯形 EOO1E1 中，
O1E1=12A1B1=5?cm ， OE=12AB=10?cm ，
∴ O1O=132?(10?5)2=12?cm ，
故该四棱台的体积为 V=13×12×(102+202+10×20)=2800?cm2
【解析】取 A1B1 的中点 E1 ， AB 的中点 E ，上、下底面的中心 O1O ，根据侧面积求出 EE1 ，再求出棱台的高，即可求出体积.
22.【答案】 （1）解：由已知可知四面体是正四面体，正方体的棱长为2，其对角线长为 22 ，也即正四面体的棱长为 22 ，所以表面积为 4×12×(22)2×sin60°=83
（2）解：∵正方体的棱长为2，
∴正方体的体对角线长为 23 ，
∵该四面体外接球即为正方体的外接球，而正方体的外接球直径为其体对角线
∴外接球直径 2R=23 ，半径 R=3 ，
正四面体的棱切球也即正方体的内切球，所以正四面体的棱切球的半径 r=1 ，
所以 Rr=3 ，所以该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比为 (Rr)3=(3)3=33 .
所以该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比为 33:1
【解析】（1）根据已知条件判断出四面体是正四面体，由正方体的对角线长，求得正四面体的表面积.（2）根据正方体的体对角线长求得正四面体外接球的半径R，正四面体的棱切球也即正方体的内切球，由此求得的棱切球的半径 r ，进而求得正四面体外接球的体积与棱切球的体积之比.
23.【答案】 （1）解：根据题意，作图如下：
在 △ABC 中， ∵AB=AC=3 ， BC=33 ，
∴由余弦定理可得 cosA=32+32?(33)22×3×3=?12 ，
∴sinA=32 .
设 △ABC 外接圆 O' 的半径为 r ，由正弦定理则 3332=2r ，得 r=3 ，
故所求面积为 9π .
（2）解：设球的半径为 R ，连接 OO' ， BO' ， OB ，
则 R2=(R2)2+32 ，解得 R=23 .
由图可知，当点 D 到平面 ABC 的距离为 32R 时，三棱锥 D?ABC 的体积最大，
∵S△ABC=12×3×3×32=934 ，
∴三棱锥 D?ABC 体积的最大值为 13×934×33=274 .
【解析】（1）利用已知条件结合余弦定理，进而求出角A的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式，进而求出角A的正弦值， 设 △ABC 外接圆 O' 的半径为 r ，再由正弦定理的性质，进而求出外接圆的半径的长，再利用圆的面积公式，进而求出三角形? △ABC 的外接圆的面积 。
（2） 设球的半径为 R ，连接 OO' ， BO' ， OB ， 再利用勾股定理结合三棱锥与外接球的位置关系，进而求出外接球的半径， 由图可知，当点 D 到平面 ABC 的距离为 32R 时，三棱锥 D?ABC 的体积最大， 再利用三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 D?ABC 体积的最大值。