8.1基本立体图形 基础练习-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

8.1基本立体图形 基础练习
一、单选题
1.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，葛之长”意思是：今有2丈长的圆木，其横截面周长3尺，葛藤从圆木底端绕圆木7周至顶端，问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：1丈=10尺）（??? ）
A.?29尺????????????????????????????????????B.?27尺????????????????????????????????????C.?23尺????????????????????????????????????D.?21尺
2.在正四棱锥 P?ABCD 中， PA=PB=PC=PD=AB=1 ，点 Q ， R 分别在棱 AB ， PC 上运动，当 |QR| 达到最小值时， |PQ||CQ| 的值为（??? ）
A.?7010?????????????????????????????????B.?355?????????????????????????????????C.?3510?????????????????????????????????D.?705
3.正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为2， E 是棱 DD1 的中点，则平面 AC1E 截该正方体所得的截面面积为（??? ）
A.?25??????????????????????????????????????B.?26??????????????????????????????????????C.?46??????????????????????????????????????D.?5
4.设三棱锥 P?ABC 的顶点 P 在底面 ABC 上的射影是 H ，给出以下命题，其中错误命题的是（??? ）.
A.?若 PA ， PB ， PC 两两互相垂直，则 H 是 △ABC 的垂心
B.?若 H 是 △ABC 的垂心，则 PA ， PB ， PC 两两互相垂直
C.?若 ∠ABC=90° ， H 是斜边 AC 的中点，则 PA=PB=PC
D.?若 PA=PB=PC ，则 H 是 △ABC 的外心
5.下列几何体中是棱柱的有(?? )
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
6.设棱锥 M?ABCD 的底面是正方形，且 MA=MD,MA⊥AB , △AMD 的面积为 1 ，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为（?? ）
A.?2?3??????????????????????????????B.?2?1??????????????????????????????C.?1?22??????????????????????????????D.?1?33
7.已知圆锥的顶点为 P ，母线 PA 、 PB 所成角的余弦值为 78 ， PA 与圆锥底面所成角为 45° ，若 ΔPAB 的面积为 515 ，则该圆锥的侧面积为（?? ）
A.?40(2+1)π??????????????????????????B.?402π??????????????????????????C.?8(10+5)π??????????????????????????D.?810π
8.下列说法不正确的是（?? ）
A.?三角形一定是平面图形?????????????????????????B.?若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形
C.?圆心和圆上两点可确定一个平面???????????D.?三条平行线最多可确定三个平面
9.下列说法正确的是（?? ）
A.?在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
B.?底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
C.?棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
D.?以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥．
10.下列说法中正确的是(? )
A.?圆锥的轴截面是等边三角形
B.?用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台
C.?将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成
D.?有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
11.如图，棱长为2的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， M 是棱 AA1 的中点，点 P 在侧面 ABB1A1 内，若 D1P⊥CM ，则 ΔPBC 的面积的最小值为（?? ）
A.?255????????????????????????????????????????B.?55????????????????????????????????????????C.?45????????????????????????????????????????D.?1
12.棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则此棱锥的高被分成的两段之比为（? ）
A.?1∶2?????????????????????????B.?1∶4?????????????????????????C.?1∶（ 2 －1）?????????????????????????D.?1∶（ 2 ＋1）
13.下列命题是真命题的是（??? ）
A.?有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱????????????????????????????????????????B.?正四面体是特殊的正四棱锥
C.?有一个面是多边形，其余各个面都是三角形的多面体叫做棱锥?????D.?正四棱柱是平行六面休
14.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟.那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）（?? ）
A.?1:2?????????????????????????????B.?(2+1):1?????????????????????????????C.?1:2?????????????????????????????D.?1:(32?1)
15.下图是由哪个平面图形旋转得到的（???? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
16.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设 AA1 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以 AA1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ??）

A.?4??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????????D.?16
17.已知三棱锥 P?ABC 的所有棱长为 1.M 是底面 △ABC 内部一个动点 ( 包括边界 ) ，且 M 到三个侧面 PAB ， PBC ， PAC 的距离 ?1 ， ?2 ， ?3 成单调递增的等差数列，记 PM 与 AB ， BC ， AC 所成的角分别为 α ， β ， γ ，则下列正确的是 ( ? )

A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
18.如图,正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1 ,线段 B1D1 上有两个动点 E、F ,且 EF=12 ．则下列结论中正确的个数为（????? ）

① AC⊥BE ;② EF// 平面 ABCD ;③三棱锥 A?BEF 的体积为定值;④ ΔAEF 的面积与 ΔBEF 的面积相等.
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
19.已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ， SB 互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为 30° ．若 ΔSAB 的面积为 8 ，则该圆锥的体积为(?? )
A.?8π??????????????????????????????????????B.?16π??????????????????????????????????????C.?24π??????????????????????????????????????D.?32π
20.正方体的边长为 a ，则该正方体的外接球的直径长（??? ）
A.?a???????????????????????????????????????B.?2a???????????????????????????????????????C.?2a???????????????????????????????????????D.?3a
二、解答题
21.如图，在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中， AB=AA1=12BC=2 ，P，Q分别为 B1C1 与 BB1 中点.
???
??????
（1）经过P，Q作平面 α ，平面 α 与长方体 ABCD?A1B1C1D1 六个表面所截的截面可能是n边形，请根据 n 的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如 n=3 只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；
（2）若R为直线 AD 上的一点，且 AR=2 ，求过 PQR 截面图形的周长.
22.如图所示，有一块矩形铁皮 ABCD ， AB=4 ，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面.试求：
（1）矩形铁皮 AD 的长度；
（2）做成的圆锥体的体积.
23.若一圆锥的底面半径为4，体积是 16π .
（1）求该圆锥的母线长；
（2）已知该圆锥的顶点为O，并且 OA 、 OB 为圆锥的两个母线，求线段 AB 长度为何值时，△ OAB 的面积取得最大值？
答案解析
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，
矩形的高（即木棍的高）为20尺，矩形的底边长为 7×3=21 （尺），
因此葛藤长 202+212=29 （尺）.
故答案为：A.
2.【答案】 A
【解析】以P在底面的投影O为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设 Q(12,a,0) ， R(m,n,q)
因为 P(0，0,22),C(?12，12,0), PC=(?12，12,?22),
又因为R在PC上， PR=λPC
所以 (m，m,q?22)= (?12λ，12λ,?22λ),
所以 R =(?12λ，12λ,?22λ+22),
所以 |QR|2=(?12λ?12)2+(12λ?a)2+(?22λ+22)2 =a2+λ2?λa+12λ+34
因为 a∈[?12,12],λ∈[0,1]
设 f(a)=a2+λ2?λa+12λ+34 ， g(λ)=a2+λ2?λa+12λ+34
对其求导 f'(a)=2a?λ ， g'(λ)=2λ?a+12
当二个导数同时为0时，取最小值，即 2a?λ=0 ， 2λ?a+12=0
所以 λ=13,a=16 时取最小值，
所以 |PQ|=(12,16,?22),|CQ|=(1,?13,0)
所以 |PQ||CQ|= (12)2+(16)2+(?22)212+(?13)2 = 7010 ，
所以当 |QR| 达到最小值时， |PQ||CQ| 的值为 7010 .
故答案为：A.
3.【答案】 B
【解析】如图所示，设 F 为 BB1 的中点，连接 AF,FC1 ，设 G 为 CC1 的中点，连接 EG,GB ，
由 EG//AB 且 EG=AB ，得 ABGE 是平行四边形，则 AE//BG 且 AE=BG ，
又 BG//C1F 且 BG=C1F ，得 AE//C1F 且 AE=C1F ，则 A,E,C1,F 共面，
故平面 AC1E 截该正方体所得的截面为 AFC1E .
又 AF=FC1=EC1=EA ， AC1=23 ， EF=22 ， EF⊥AC1 ，
故 AFC1E 的面积为 S=12×22×23=26 .
故答案为：B.
4.【答案】 B
【解析】对于A：因为 PA⊥PB ， PA⊥PC ， PB∩PC=P ，所以 PA⊥ 平面 PBC ，所以 PA⊥BC ，又因为 PH⊥ 平面 ABC ，
所以 PH⊥BC ，又因为 PA∩PH=P ，所以 BC⊥ 平面 PAH ，所以 AH⊥BC ，同理可证明 CH⊥AB ，所以 H 是 △ABC 的垂心，A符合题意；
对于B：若 H 是 △ABC 的垂心，则 AH⊥BC ，又因为 PH⊥ 平面 ABC ，所以 PH⊥BC ， PH∩AH=H ，所以 BC⊥ 平面 PAH ，所以 AP⊥BC ，得不出 PA ， PB ， PC 两两互相垂直， B不正确；
对于C：若 ∠ABC=90° H 是斜边 AC 的中点，则可得 AH=BH=CH ， PH⊥HA,PH⊥HB,PH⊥HC ，所以 Rt△PHA?Rt△PHB?Rt△PHC ，所以 PA=PB=PC ，C符合题意；
对于D：若 PA=PB=PC ， PH⊥ 平面 ABC ，所以 Rt△PHA?Rt△PHB?Rt△PHC ，所以 AH=BH=CH ，所以 H 是 △ABC 的外心，D符合题意.
故答案为：B
5.【答案】 C
【解析】棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，观察图形满足棱柱概念的几何体有：①③⑤，共三个．
故答案为：C．
6.【答案】 B
【解析】解： ∵AB⊥AD ， AB⊥MA ，
∴AB⊥ 平面 MAD ，
由此，面 MAD⊥ 面 ABCD ．
记 E 是 AD 的中点，从而 ME⊥AD ．
∴ME⊥ 平面 ABCD ， ME⊥EF ．
设球 O 是与平面 MAD 、平面 ABCD 、平面 MBC 都相切的球．
不妨设 O∈ 平面 MEF ，于是 O 是 △MEF 的内心．
设球 O 的半径为 r ，则 r=2S△MEFEF+EM+MF
设 AD=EF=a ，
∵S△AMD=1
所以 ∴ME=2a ， MF=a2+(2a)2
所以 r=2a+2a+a2+(2a)2≤22+22=2?1 .
当且仅当 a=2a ，即 a=2 时，等号成立.
∴ 当 AD=ME=2 时，满足条件的最大半径为 2?1 .
故答案为：B
7.【答案】 B
【解析】设 O 为圆锥底面圆的圆心,设底面圆的半径为 r .
PA 与圆锥底面所成角为 45° ,即 ∠PAO= 45° .
所以 PA=2r .
母线 PA 、 PB 所成角的余弦值为 78 ,即 cos∠APB=78 .
则 sin∠APB=1?cos2∠APB=1?(78)2=158 .
由 S△PAB=12|PA|?|PB|sin∠APB=122r2158=515 .
得： r2=40 .
又底面圆的周长为： 2πr .
圆锥的侧面积为: 12(2πr)?(2r)=2πr2=402π .
故选：B.
8.【答案】 C
【解析】由定义可知，三角形一定是平面图形，A不符合题意；
由相交直线确定一个平面可知，若四边形两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形，B不符合题意；
当圆心和圆上两点构成直径时，此时可有无数平面经过此三点，C错误，符合题意；
三条平行线可确定三个平面，正确，如三棱柱的三条侧棱，D不符合题意
故答案为：C
9.【答案】 B
【解析】对A，只有两点连线平行于轴时，两点连线是母线，A不符合题意；
对B，因为底面是正多边形，当相邻两侧面和底面垂直时，可推出所有侧面和底面都垂直，故为正棱柱，B符合题意；
对C，根据棱台的定义，上下底面应为相似形且侧棱的长不一定相等；
对D，若旋转的边为斜边，则旋转体为两个圆锥的组合体
故答案为：B
10.【答案】 D
【解析】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A不符合题意；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B不符合题意；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，C不符合题意；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，D符合题意．
故答案为：D
11.【答案】 A
【解析】以 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，依题意有 M(2,0,1),C(0,2,0),D1(0,0,2),P(2,a,b) ， MC=(?2,2,?1),D1P=(2,a,b?2) ，由于 CM⊥D1P ，故 (?2,2,?1)?(2,a,b?2)=?4+2a?b+2=0 ，解得 b=2a?2 .根据正方体的性质可知， BC⊥BP ，故三角形 PBC 为直角三角形，而 B(2,2,0) ，故 |PB|=|(0,2?a,?b)|=(2?a)2+b2 ，三角形 PBC 的面积为 12×|BC|×|PB|=(2?a)2+b2=5a2?12a+8 ，当 a=1210=65 时，面积取得最小值为 5×(65)2?12×65+8=255 ，
故答案为：A.
12.【答案】 C
【解析】设截后棱锥的高为h,原棱锥的高为H,由于截面与底面相似,所以截面面积与底面面积的比等于相似比的平方,所以有 (?H)2=12??H=12??:(H??)=1:(2?1) ,
故答案为：C.
13.【答案】 D
【解析】A．当两个侧面是矩形且相邻时，四棱柱是直四棱柱；当两个侧面是矩形且不相邻时，四棱柱不是直四棱柱；故 A不正确；
B．正四面体是三棱锥，故B错误，
C．棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，故C错误，
D．正四棱柱是平行六面体，正确，
故答案为：D．
14.【答案】 D
【解析】由于时间刚好是5分钟，是总时间的一半，而沙子漏下来的速度是恒定的，
所以漏下来的沙子是全部沙子的一半，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，所以可以单独研究下方圆锥，下方圆锥被沙子的上表面分成体积相等的两部分，
所以 V上V全=12=(?上?全)3 ，所以 ?上?全=132 ，所以 ?上?下=132?1 .
故答案为：D
15.【答案】 A
【解析】根据下面是圆台，上方是圆锥，可知应选A.
故答案为：A
16.【答案】 D
【解析】根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1 ， D1﹣A1AFF1满足题意，
而C1 ， E1 ， C，D，E，和D1一样，有2×4=8，
当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，
当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，
故有8+4+4=16
故答案为：D．
17.【答案】 D
【解析】依题意知正四面体 P?ABC 的顶点 P 在底面 ABC 的射影是正三角形 ABC 的中心 O ，
则 cosα=cos∠PMO?cos ，其中 表示直线 MO 、 AB 的夹角，
cosβ=cos∠PMO?cos ，其中 表示直线 MO 、 BC 的夹角，
cosγ=cos∠PMO?cos ，其中 表示直线 MO、AC 的夹角，
由于 ∠PMO 是公共的，因此题意即比较 MO 与 AB ， BC ， AC 夹角的大小，
设 M 到 AB ， BC ， AC 的距离为 d1 ， d2 ， d3 ?则 d1=?1sinθ ，其中 θ 是正四面体相邻两个面所成角 sinθ=223 ，
所以 d1 ， d2 ， d3 成单调递增的等差数列，然后在 △ABC 中解决问题
由于 d1从图中可以看出， MO 、 BC 所成角小于 MO、AC 所成角，所以 β<γ ，
故答案为：D．
18.【答案】 C
【解析】连结BD,则AC ⊥ 平面BB1D1D,BD//B1D1,
∴AC⊥BE,EF// 平面ABCD,从而①②正确，
又 ΔBEF 面积为定值，A到平面BB1D1D距离为定值，所以三棱锥 A?BEF 的体积为定值，
从而③正确，
因为A到B1D1的距离不等于BB1 ， 所以 ΔAEF 的面积与 ΔBEF 的面积不相等，④错误.
故答案为：C.
19.【答案】 A
【解析】解：圆锥的顶点为 S ，母线 SA ， SB 互相垂直， △SAB 的面积为8，可得 12SA2=8 ，解得 SA=4 ， SA 与圆锥底面所成角为 30° ，可得圆锥的底面半径为 23 ，圆锥的高为2，
则该圆锥的体积为 V=13×π×(23)2×2=8π ，
故答案为：A．
20.【答案】 D
【解析】外接球的直径为 a2+a2+a2=3a ，
故答案为：D.
二、解答题
21.【答案】 （1）解：
（2）解：如图所示：
M,N,H 分别为 AB,DD1,D1C1 的中点，易知 RN//PQ ，确定平面 α ，
易知 RM//NQ//HP ， NQ?α ， P∈α ， N∈α ， Q∈α ， R∈α ，故 H∈α ， M∈α .
PQ=NR=RM=HP=5 ， MQ=NH=2 ，故周长为 45+22 .
【解析】（1）画出截面图得到答案.（2）画出截面图，计算线段长度得到周长.
22.【答案】 （1）解：如图所示：取半圆的圆心记作 O 点，圆面的圆心记作 O' ，作 O'E⊥AD 交 AD 于点 E ，设圆锥底面半径为 r=AB2=2 ，圆锥母线长为 l=AB=4 ，则： OO'=l+r=6 ， EO'=r=2
在 RtΔOO'E 中，由勾股定理可得： EO=42
∴AD=DO+OE+EA=4+42+2=6+42
（2）解：由（1）可得：圆锥的母线长 l=4 ，底面半径 r=2 ，
则圆锥的高为： ?=l2?r2=23
∴ 圆锥的体积为： V=13(πr2)??=833π
【解析】（1）取半圆的圆心记作 O 点，圆面的圆心记作 O' ，作 O'E⊥AD 交 AD 于点 E ，求出圆锥底面半径 r 和母线长 l ，利用勾股定理，结合图形求出 AD 的值；（2）由圆锥的母线长和底面半径求得圆锥的高，再计算圆锥的体积．
23.【答案】 （1）解：因为圆锥的底面半径为4，体积是 16π ，所以 16π=13??π?42∴?=3
因此母线长为 32+42=5 ；
（2）解：△ OAB 的面积 S=12OA?OB?sin∠AOB=252sin∠AOB
因为 ∠AOB∈(0,2arcsin35] ，所以当 ∠AOB=π2 时，△ OAB 的面积取最大值，此时 AB=52
【解析】（1）先根据体积求高，再根据母线与高的关系求结果；（2）先确定△ OAB 的面积最大值何时取得，再根据勾股定理求 AB 长度.