10.2事件的相互独立性 基础练习-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

10.2事件的相互独立性 基础练习
一、单选题
1.某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为 a,b,12 ，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为 15 ，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为（??? ）
A.?12?????????????????????????????????????????B.?35????????????????????????????????????????
C.?34?????????????????????????????????????????D.?310
2.甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1.则甲以3:1取得胜利的概率为(??? )
A.?0.162???????????????????????????????????B.?0.18??????????????????????????????????
C.?0.168???????????????????????????????????D.?0.174
3.概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（??? ）
A.?甲48枚，乙48枚????????????
B.?甲64枚，乙32枚????????????
C.?甲72枚，乙24枚????????????
D.?甲80枚，乙16枚
4.在某段时间内，甲地不下雨的概率为 P1 （ 0A.?P1P2??????????????????????? ?B.?1?P1P2????????????????????????
?C.?P1(1?P2)?????????????????????????D.?(1?P1)(1?P2)
5.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为 23、13 ，则小球落入 A 袋中的概率为 （??? ）
A.?34???????????????????????????B.?14??????????????????????????????C.?13????????????????????????????D.?23
6.在一次数学测试中，某同学有两道单选题（即四个答案选一个）不会做，他随意选了两个答案，则这两道单选题都答对的概率为（?? ）
A.?12????????????????????????????B.?14??????????????????????????????C.?18???????????????????????????D.?116
7.电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则三个灯泡在1000小时以后最多有一个坏了的概率是（?? ）
A.?0.401??????????????????????????????????B.?0.104??????????????????????????????????
C.?0.410??????????????????????????????????D.?0.014
8.甲、乙两人参加一次射击游戏，规则规定，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分．已知甲、乙两人射击的命中率分别为 35 和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率是 920 ．假设甲、乙两人射击是相互独立的，则p的值为（?? ）
A.?14????????????????????????B.?13?????????????????????????C.?23???????????????????????D.?34
9.如图，用A，B，C，D四类不同的元件连接成系统（A，B，C，D是否正常工作是相互独立的），当元件A，B至少有一个正常工作，且C，D至少有一个正常的工作时，系统正常工作．已知元件A，B，C，D正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，0.70，则系统正常工作的概率为（? ）
?0.9994???????????????????????????????B.?0.9506???????????????????????????????
C.?0.4536???????????????????????????D.?0.5464
10.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数
均为偶数”，则P（B|A）=（? ）
A.?18????????????????????????????B.?14???????????????????????????C.?25?????????????????????????????D.?12
11.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1 ， A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．给出下列结论：
①P（B）=25；
②P（B|A1）=511；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1 ， A2 ， A3是两两互斥的事件；
⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1 ， A2 ， A3中究竟哪一个发生有关；
其中正确的有（　　）
?②④?????????????????????????????? ???B.?①③????????????????????????????????
?C.?②④⑤?????????????????????????????????D.?②③④⑤
12.抛掷3枚质地均匀的硬币，A={既有正面向上又有反面向上}，B={至多有一个反面向上}，则A与B关系是（　　）
?互斥事件???????????????????? ???????B.?对立事件???????????????????
C.?相互独立事件???????????????????D.?不相互独立事件
13.周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为（　　）
A.?0.80??????????????????????B.?0.75?????????????????????C.?0.60???????????????????????D.?0.48
14.甲乙两队进行排球比赛，已知每一局比赛中甲队获胜的概率是23，没有平局．采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（　　）
?2027????????????????????????????????????? ???B.?49??????????????????????????????????????
??C.?827????????????????????????????????????????D.?1627
15.甲、乙两同学投篮进球的概率分别是34和45 ， 现甲、乙各投篮一次，都不进球的概率是（　　）
?35???????????????????????????????? ????????B.?25????????????????????????????????????????
C.?320???????????????????????????????????????? D.?120
16.一件产品要经过2道独立的加工工序，第一道工序的次品率为ａ，第二道工序的次品率为ｂ，则产品的正品率为（?????）
?1?a?b????????????????????? ?B.?1?a·b??????????????????????
C.?1?a1?b??????????????????????D.?1?1?a1?b
17.袋中有大小、形状相同的白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球, 若摸到白球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为４的概率是（??）
A.?14????????????????????????????B.?12???????????????????????????????C.?38???????????????????????????????D.?49
18.一个口袋内有带标号的7个白球，3个黑球，作有放回抽样，连摸2次，每次任意摸出1球，则2次摸出的球为一白一黑的概率是（???）
A.?2×710×310????????????????????????????????????????????B.?17×13+13×17
C.?2×17×13?????????????????????????????????????????????????D.?710×310+310×710
19.大熊猫活到十岁的概率是0.8，活到十五岁的概率是0.6，若现有一只大熊猫已经十岁了，则他活到十五岁的概率是(??????? )
A.?0.8??????????????????????B.?0.75??????????????????????????C.?0.6??????????????????????????D.?0.48
20.在5月4日的数学考试中，考试时间为120分钟，为了严肃考风考纪，学校安排3名巡视人员．姜远才助理、李志强主任、王春娇主任在A考场巡视的累计时间分别为30分钟、40分钟、60分钟，何时巡视彼此相互独立．则A考场的某同学在某时刻作弊恰好被巡视人员发现的概率为???? (????? )
A.?124??????????????????? ???B.?34????????????????????????????????C.?14???????????????????????????????D.?1
二、解答题
21.生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:
（1）至少有1件废品的概率;
（2）恰有1件废品的概率.
22.在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：
（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为 12 ，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为 25 ，乙发球时甲赢1分的概率为 35 ，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了 x(x≤4) 个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率p（x）.
23.设 z∈C .
（1）若 z=3+i1+2i ,且 z 是实系数一元二次方程 x2+bx+c=0 的一根,求b和c的值；
（2）若 zz?4 是纯虚数,已知 z=z0 时, |z+23i| 取得最大值,求 z0 ；
（3）肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题,己知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9,求该题能被正确解答的概率.
答案解析
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】解：由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为 15 ，则 ab?(1?12)+12a(1?b)+12b(1?a)=15 ，所以 12(a+b)?12ab=15 ，所以 a+b?ab=25 ，所以该同学一个社团都不进入的概率 P=(1?a)(1?b)?(1?12)=12[1?(a+b)+ab]=12{1?[(a+b)?ab]}=12×(1?25)=310 ．
故答案为：D．

2.【答案】 D
【解析】解：设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件 A1,A2,A3,A4 ，
由题意，甲要以3:1取得胜利可能是 A1A2A3A4 ， A1A2A3A4 ， A1A2A3A4 ，
∴由概率得，甲以3:1取得胜利的概率
P=P(A1A2A3A4) +P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)
=0.5×0.6×0.3×0.6 +0.5×0.4×0.5×0.6 +0.5×0.4×0.5×0.6
=0.174 ，
故答案为：D．
3.【答案】 C
【解析】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为 12 ，
假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率 P1=12+12×12=34 ，
乙获取96枚金币的概率 P2=12×12=14 ，
则甲应该获得 96×34=72 枚金币；乙应该获得 96×14=24 枚金币；
故答案为：C．
4.【答案】 D
【解析】因为甲地不下雨的概率为 P1 ，乙地不下雨的概率为 P2 ，且在这段时间内两地下雨相互独立，
所以这段时间内两地都下雨的概率为 P=(1?P1)(1?P2) .
故答案为：D
5.【答案】 D
【解析】因为小球每次遇到障碍物时有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以 P(A)=C31?23?(13)2+C32?(23)2?13=23 ；
故答案为：D.
6.【答案】D
【解析】解：由题意，可得 该同学不会做时，在四个答案任意选一个，做对这道题的概率为 14
而他连续做了两道题，做对这两道题的概率分别为 14 ，且相互之间没有影响
∴该同学这两道单选题都答对的概率为P= 14 × 14 = 116
故选：D
7.【答案】B
【解析】解：∵灯泡的耐用时间超过1000小时的概率为0.8， 3个相互独立的灯泡使用的时间能否超过1000小时，
可以看做一个做了3次独立重复试验的概率，
∴最多只有1个损坏的概率是0.83+C31×0.2×0.82=0.096+0.008=0.896，
故选：B
8.【答案】D
【解析】解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B， 则“甲射击一次，未击中目标”为事件 A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件 B ，
则P（A）= 35 ，P（ A ）=1﹣ 35 = 25 ，P（B）=P，P（ B ）=1﹣P，
依题意得： 35 ×（1﹣p）+ 25 ×p= 920 ，
解可得，p= 34 ，
故选：D．
．
9.【答案】 B
【解析】解：由题意知当A，B同时不能正常工作或C，D同时不能正常工作时，
系统不能正常工作，
∴系统正常工作的概率为：
p=[1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.9）]×[1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.7）]=0.9506．
故选：B．
10.【答案】 B
【解析】解：P（A）= C32?C22C52 = 25 ，P（AB）= C22C52 = 110 ．
由条件概率公式得P（B|A）= P(AB)P(A) = 14 ．
故选：B．
11.【答案】 A

【解析】解：由题意A1 ， A2 ， A3是两两互斥的事件，P（A1）=510 ， P（A2）=210 ， P（A3）=310
P（B|A1）=， 由此知，②正确
P（B|A2）=411 ， P（B|A3）=411
而P（B）=P（B|A1）+P（B|A2）+P（B|A3）= ． 由此知③不正确，⑤不正确
A1 ， A2 ， A3是两两互斥的事件，由此知④正确
对照四个命题知②④正确
故选A
12.【答案】 C
【解析】解：由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B是相互独立的，
故选C．
13.【答案】 B
【解析】解：设事件Ai（i=1，2）表示“做对第i道题”，A1 ， A2相互独立，
由已知得P（A1）=0.8，P（A1A2）=0.6，
∴P（A1A2）=P（A1）P（A2）=0.8P（A2）=0.6，
解得P（A2）= 0.60.8=0.75．
故选：B．
14.【答案】 A
【解析】比赛两局甲获胜：；比赛3局甲获胜,则前两句甲胜其中一局，第三局甲胜：， 所以甲获胜的概率,选A。
15.【答案】 D
【解析】根据题意，由于甲乙所进球相互之间没有影响，那么可知她们各投篮一次，是独立事件的概率求解，那么甲不进球的概率为1-， 乙不进球的概率为1-， 那么事件同时发生的概率为（1-)（1-)=， 选D.
16.【答案】 C
【解析】根据分步原理知，产品为正品时需要这两道工序都为正品，∴产品的正品率为（1-ａ)·（1-ｂ)，故选C
17.【答案】 C
【解析】由于袋中有大小、形状相同的白、黑球各一个，那么每次摸到白球的概率为,摸到黑球的概率为， 那么三次摸球得分为4=2+1+1,说明了一次摸到白球，两次摸到黑球，则根据独立重复试验的概率公式可知,选C.
18.【答案】 D
【解析】口袋中有7个白球，3个黑球，摸一次球，摸到白球的概率是摸到黑球的概率是
两次摸出的球为一白一黑 包括两种情况，这两种情况是互斥的，摸出一黑一白是相互独立事件，根据概率公式可以得到P=， 故选D．
19.【答案】B
【解析】这道题主要考查概论的知识。若设事件A为大熊猫十岁，设事件B为大熊猫活到十五岁。
则由题意可知：p=0.8????????????=0.6
所以由??=?
可得??????=0.75 故选B
20.【答案】 B
【解析】姜远才助理、李志强主任、王春娇主任在A考场巡视的累计时间分别为30分钟、40分钟、60分钟，所以某个时刻姜远才助理、李志强主任、王春娇主任在A考场巡视的概率分别为， 考场的某同学在某时刻作弊恰好被巡视人员发现的对立事件是三个巡视人员都没有出现， 则A考场的某同学在某时刻作弊恰好被巡视人员发现的概率为， 故选择B
二、解答题
21.【答案】 （1）解：从甲?乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A?B,则事件A,B相互独立,且 P(A)=0.04 , P(B)=0.05 .
设“至少有1件废品”为事件C,则 P(C)=1?P(AB)=1?P(A)P(B)=1?(1?0.04)×(1?0.05)=0.088 .
（2）解：设“恰有1件废品”为事件D,则 P(D)=P(AB)+P(AB)=0.04×(1?0.05)+(1?0.04)×0.05=0.086 .
【解析】（1）用 1 减去两个都是正品的概率，由此求得所求概率.（2）利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
22.【答案】 （1）解：甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，
所以甲队最后赢得整场比赛的概率为 12+12×12=34 ，
（2）解：根据比赛规则，x的取值只能为2或4,对应比分为 16:14,17:15.
两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为 p(2)=25×25=425 ；
两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为 p(4)=25×35×35×25+35×35×25×25=72625 .
【解析】（1）先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；（2）先根据比赛规则确定x的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.
23.【答案】 （1）解： z=3+i1+2i=(3+i)?(1?2i)(1+2i)?(1?2i)=1?i .因为 z 是实系数一元二次方程 x2+bx+c=0 的一根,所以 1+i 也是实系数一元二次方程 x2+bx+c=0 的一根,因此由根与系数关系可知：
{(1+i)(1?i)=c(1+i)+(1?i)=?b?{b=?2c=2 ,所以 b 和 c 的值分别为 ?2,2 ；
（2）解：设 z=x+yi(x,y∈R) .
zz?4=x+yix+yi?4=(x+yi)?(x?4?yi)(x+yi?4)?(x?4?yi)=x(x?4)+y2?4yi(x?4)2+y2 是纯虚数,所以有
x(x?4)+y2=0,y≠0?(x?2)2+y2=4,y≠0 ,它表示以 A(2,0) 为圆心，2为半径的圆, |z+23i| 的几何意义是圆上的点 P(x,y) 到点 B(0,?23) 是距离. P,A,B 在同一条直线上且 PA,PB 同向时, |z+23i| 取得最大值, 因为 |PA|=2,|PB|=6 ,所以
PA=13PB 所以 (2?x,?y)=13(?x,?23?y) ,因此 {2?x=13(?x)(?y)=13(?23?y)?{x=3y=3
所以 z0=3+3i
（3）解：该题不能被正确解答的概率为 (1?0.9)×(1?0.8)=0.02 ,因此能被正确解答的概率为： 1?0.02=0.98 .
【解析】(1)利用复数除法的运算法则化简 z=3+i1+2i ,再根据实系数一元二次方程的性质和根与系数关系可以求出 b 和 c 的值；(2)设出复数 z 的代数形式,利用复数的除法法则和 zz?4 是纯虚数,可得出复数 z 的实问部和虚部之间的关系,再由 z=z0 时, |z+23i| 取得最大值,这样可以求出 z0 ；(3)求出该题不能被正确解答的概率,然后运用对立事件概率公式求出该题能被正确解答的概率.