8.6空间直线、平面的垂直 基础练习-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

8.6空间直线、平面的垂直 基础练习
一、单选题
1.在棱长为 2 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， O 为正方形 A1B1C1D1 的中心， P ， M ， N 分别为 DD1 ， AB ， BC 的中点，则四面体 OPMN 的体积为（??? ）
A.?512??????????????????????????????????????B.?56??????????????????????????????????????C.?5212??????????????????????????????????????D.?526
2.已知两条不同的直线 l，m 和不重合的两个平面 α,β ，且 l⊥β ，有下面四个命题：①若 m⊥β ，则 l//m ；②若 α//β ，则 l⊥a ；③若 α⊥β ，则 l//α ；④若 l⊥m ，则 m//β ．其中真命题的序号是（??? ）
A.?①②????????????????????????????????????B.?②③????????????????????????????????????C.?②③④????????????????????????????????????D.?①④
3.三棱锥 P?ABC 的高为 PH ，若三个侧面两两垂直，则 H 一定为△ ABC 的（?? ）
A.?垂心?????????????????????????????????????B.?外心?????????????????????????????????????C.?内心?????????????????????????????????????D.?重心
4.设 m ， n 为两条不同的直线， α ， β 为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ??）
A.?若 m ， n 与 α 所成的角相等，则 m//n??????????????B.?若 α⊥β ， m//α ，则 m⊥β
C.?若 m⊥α ， m//β ，则 α⊥β???????????????????????????D.?若 m//α ， n//β ，则 m//n
5.下列有关命题的说法正确的是（??? ）
A.?若命题 p ： ?x0∈R ， ex0<1 ，则命题 ?p ： ?x∈R ， ex≥1
B.?“ sinx=32 ”的一个必要不充分条件是“ x=π3 ”
C.?若 |a+b|=|a|?|b| ，则 a⊥b
D.?α ， β 是两个平面， m ， n 是两条直线，如果 m⊥n ， m⊥α ， n//β ，那么 α⊥β
6.在三棱锥 P?ABC 中，已知 ∠APC=π4 ， ∠BPC=π3 ， PA⊥AC ， PB⊥BC ，且平面 PAC⊥ 平面 PBC ，三棱锥 P?ABC 的体积为 36 ，若点 P,A,B,C 都在球O的球面上，则球O的表面积为(?? )
A.?4π???????????????????????????????????????B.?8π???????????????????????????????????????C.?12π???????????????????????????????????????D.?16π
7.如图，在以下四个正方体中，使得直线 AB 与平面 CDE 垂直的个数是(??? )
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
8.已知四棱锥 P?ABCD ，底面 ABCD 为矩形，侧面 PCD⊥ 平面 ABCD ， BC=23 . CD=PC=PD=26 ，若点M为 PC 的中点，则下列说法正确的个数为（??? ）
（1）PC⊥ 平面 ADM （2）四棱锥 M?ABCD 的体积为12（3） BM// 平面 PAD （4）四棱锥 M?ABCD 外接球的表面积为 36π
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
9.设 l 是直线， α ， β 是两个不同的平面(??? )
A.?若 l//α ， l//β ，则 α//β?????????????????????????????B.?若 l//α ， l⊥β ，则 α⊥β
C.?若 α⊥β ， l⊥α ，则 l⊥β????????????????????????????D.?若 α⊥β ， l//α ，则 l⊥β
10.如图所示的正方形 SG1G2G3 中， E?，??F 分别是 G1G2 ， G2G3 的中点，现沿 SE ， SF ， EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1 ， G2 ， G3 重合为点 G ，则有（???? ）
A.?SG⊥ 平面 EFG??????B.?EG⊥ 平面 SEF??????C.?GF⊥ 平面 SEF??????D.?SG⊥ 平面 SEF
11.棱长为1的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，P，Q分别为 C1D1 ， BC 的中点，现有下列结论：① PQ//BD1 ；② PQ// 平面 BB1D1D ；③ PQ⊥ 平面 AB1C ；④四面体 D1?PQB 的体积等于 124 .其中正确的是（?? ）
A.?①③?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?②④?????????????????????????????????????D.?③④
12.设 l 、 m 、 n 是三条不同的直线， α 、 β 、 γ 是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若 l//α ， l?β ， α∩β=m ， n?α ， m//n ，则 l//n ；②若 α⊥γ ， β⊥γ ，则 α//β ；③若 m ， n 是两条异面直线， l⊥m ， l⊥n ， n?α ， m?β 且 α//β ，则 l⊥α ；④若 l?α ， m?β ， n?β ， l⊥m ， l⊥n ，则 α⊥β .
其中正确命题的序号是（?? ）
A.?①③?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
13.已知a，b为两条不同的直线， α ， β ， γ 为三个不同的平面，则下列说法中正确的是（??? ）
①若 a//α ， α//β ，则 a//β ??????????????? ②若 α//β ， β//γ ，则 α//γ
③若 a⊥α ， b⊥α ，则 a//b ?????????????? ④若 α⊥γ ， β⊥γ ，则 α⊥β
A.?①③??????????????????????????????????B.?②③??????????????????????????????????C.?①②③??????????????????????????????????D.?②③④
14.在三棱锥 P?ABC 中， PC⊥ 平面 ABC ， ∠BAC=90° ， AB=3 ， AC=4 ， ∠PBC=60° ，则三棱锥 P?ABC 外接球的体积为(?? )
A.?100π??????????????????????????????????B.?500π3??????????????????????????????????C.?125π??????????????????????????????????D.?125π3
15.已知如图，六棱锥 P?ABCDEF 的底面是正六边形， PA⊥ 平面 ABCDEF .则下列结论不正确的是（??? ）
A.?CD// 平面 PAF??????????B.?DF⊥ 平面 PAF??????????C.?CF// 平面 PAB??????????D.?CF⊥ 平面 PAD
16.正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1 ，点 E 为棱 CC1 的中点.下列结论:①线段 BD 上存在点 F ，使得 CF// 平面 AD1E ；②线段 BD 上存在点 F ，使 CF⊥ 得平面 AD1E ；③平面 AD1E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为 724 ，其中所有正确的序号是（??? ）
A.?①??????????????????????????????????????B.?③??????????????????????????????????????C.?①③??????????????????????????????????????D.?①②③
17.已知直线 l⊥ 平面 α ，直线 m? 平面 β ，有下列四个命题：
①若 α//β ，则 l⊥m ；②若 α⊥β ，则 l//m ；③若 l//m ，则 α⊥β ；④若 l⊥m ，则 α//β ．其中正确命题的序号是（??? ）．
A.?①②?????????????????????????????????????B.?③④?????????????????????????????????????C.?①③?????????????????????????????????????D.?②④
18.已知长方体 ABCD?A1B1C1D1 中， AB=2BC=2AA1=2 ， E ， F 分别是线段 A1D1 ， CC1 的中点，若 E' 是 E 在平面 BDD1B1 上的射影，点 F' 在线段 BB1 上， FF' // BC ，则 |E'F'|= （??? ）
A.?21515?????????????????????????????????B.?21510?????????????????????????????????C.?43015?????????????????????????????????D.?43010
19.如图，在正方形 ABCD 中， E,F 分别是 BC,CD 的中点，沿 AE,AF,EF 把正方形折成一个四面体，
使 B,C,D 三点重合，重合后的点记为 P,P 点在△AEF 内的射影为 O ，则下列说法正确的是(??????? )
A.?O 是 ΔAEF 的垂心???????????????????????????????????????????B.?O 是 ΔAEF 的内心
C.?O 是 ΔAEF 的外心???????????????????????????????????????????D.?O 是 ΔAEF 的重心
20.设 α ， β 为两个不同的平面， m ， n 为两条不同的直线，则下列判断正确的是（?? ）
A.?若 n⊥α ， m⊥α ，则 m⊥n??????????????????????????B.?若 α∥β ， m⊥α ，则 m⊥β
C.?若 α⊥β ， α∩β=l ， m⊥l ，则 m⊥β??????D.?若 m∥n ， m∥α ，则 n∥α
二、解答题
21.已知四棱锥 P?ABCD 中底面 ABCD 为菱形， PA=PC ．
（1）求证： BC// 平面 PAD ；
（2）求证： PB⊥AC ．
22.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．
23.如图，将直角边长为 2 的等腰直角三角形 ABC ，沿斜边上的高 AD 翻折，使二面角 B?AD?C 的大小为 π3 ，翻折后 BC 的中点为 M .
（Ⅰ）证明 BC⊥ 平面 ADM ；
（Ⅱ）求点 D 到平面 ABC 的距离.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】如图所示，连接 BD 交 MN 于点 Q ，连接 PQ ，连接 OD1 ,
由正方体的特点可知， MN⊥BD ， MN⊥DD1 ,则根据线面垂直的判定定理可知 MN⊥ 平面 BDD1O ，则 VO?PMN=VM?OPQ+VN?OPQ=13S△OPQ?MN ，
SΔOPQ=S梯D1OQD?SΔOD1P?SΔODP=12(2+322)×2?12×1×2?12×1×322=524 ,故 VO?PMN=VM?OPQ+VN?OPQ=13S△OPQ?MN=13×524×2=56 。
故答案为：B.
2.【答案】 A
【解析】解：因为两条不同的直线 l，m 和不重合的两个平面 α,β ，且 l⊥β ，
对于①，由 l⊥β,m⊥β ，可得 l//m ，故①正确；
对于②，若 l⊥β,α//β ，可得 l⊥α ，故②正确；
对于③，若 l⊥β,α⊥β ，则有可能 l?α ，故③错误；
对于④，当 l⊥β,l⊥m 时，则有可能 m?β ，故④错误．
综上，真命题的序号是①②．
故答案为：A．
3.【答案】 A
【解析】因为三个侧面两两垂直，所以 PA⊥PB⊥PC ．连结AＨ并延长交BC于点D．由 PA⊥PB⊥PC 知， PA⊥BC ①，由 PH 是三棱锥 P?ABC 的高得， PH⊥BC ②．由①②得， AD⊥BC ．同理：连结BＨ并延长交AC于点E、连结CＨ并延长交AB于点F，则 BE⊥AC ， CF⊥AB ．所以，点H是三角形三边上高的交点，即H是三角形的垂心．
故答案为：A
4.【答案】 C
【解析】若 m ， n 与 α 所成的角相等，则 m//n 或 m ， n 相交或 m ， n 异面；A不符合题意.
若 α⊥β ， m//α ，则 m⊥β 或 m//β ，B不符合题意. 若 m⊥α ， m//β ，则 α⊥β ，所以C正确. D．若 m//α ， n//β ，则 m//n m ， n 相交或 m ， n 异面，D不符合题意
故答案为：C
5.【答案】 A
【解析】对于A，命题 p ： ?x0∈R ， ex0<1 ，则命题 ?p ： ?x∈R ， ex≥1 ，A符合题意；
对于B，当 x=π3 时， sinx=32 成立，
所以“ x=π3 ”是“ sinx=32 ”的充分条件，所以B不符合题意；
对于C， |a|>|b| 且两向量反向时 |a+b|=|a|?|b| 成立， a⊥b 不成立C不符合题意；
对于D，若 m⊥n ， m⊥α ， n//β ，则 α ， β 的位置关系无法确定，D不符合题意.
故答案为：A.
6.【答案】 A
【解析】解：取 PC 中点O，连接 AO,BO ，设球半径为R，因为 ∠BPC=π3 ， PA⊥AC ， PB⊥BC ，
所以 AO=BO=R ， PC=2R ， PB=R ， BC=3R ，
因为 ∠APC=π4 ， PA⊥AC ，所以 PA=AC ，则 AO⊥PC ,
因为平面 PAC⊥ 平面 PBC ，所以 AO⊥ 平面 PBC ，即 VP?ABC=13S△PBC?AO=36 ，
所以 36R3=36 ， ∴R=1 ， ∴ 球的表面积为 4πR2=4π .
故答案为：A.
7.【答案】 B
【解析】①因为 △ABC 是正三角形，所以AB与AC的夹角为 60? ，又因为 AC//ED ，所以AB与ED的夹角为 60? ，故错误；
②因为正方形对角线相互垂直，所以 AB⊥CE ， AB⊥ED,ED∩CE=E ， AB⊥ 平面 CDE ，故正确；
③由①知AB与CE的夹角为 60? ，故错误；
④因为 CE⊥AD,CE⊥BD,BD∩AD=D ，所以 CE⊥ 平面 ABD ，则 AB⊥CE ，同理 AB⊥ED ，又 ED∩CE=E ，所以 AB⊥ 平面 CDE ，故正确.
故答案为：B
8.【答案】 C
【解析】作出图象，如图所示：
，
对于（1），因为侧面 PCD⊥ 平面 ABCD ，而底面 ABCD 为矩形，所以 AD⊥ 平面 PCD ，即有 AD⊥PC ，而 CD=PC=PD ，点M为 PC 的中点，所以 DM⊥PC ，故 PC⊥ 平面 ADM ，（1）正确；
对于（2），因为侧面 PCD⊥ 平面 ABCD ， CD=PC=PD=26 ，所以点 P 到平面 ABCD 的距离为 26sin60?=32 ，而点M为 PC 的中点，所以点 P 到平面 ABCD 的距离为 322 ，故四棱锥 M?ABCD 的体积为 13×322×26×23=12 ，（2）正确；
对于（3），取 PD 中点 N ，连接 MN ，所以 MN//DC ，且 MN=12DC ，而 DC=AB ，
故 MN//AB ，且 MN=12AB ，因此四边形 ABMN 为梯形，所以 BM 与 AN 的延长线交于一点，故直线 BM 与平面 PAD 相交，所以（3）不正确；
对于（4），根据四棱锥 M?ABCD 的侧面 CDM 为直角三角形，底面 ABCD 为矩形，结合球的几何特征可知，四棱锥 M?ABCD 的外接球的球心在过底面 ABCD 的外心 O 且与底面垂直的直线上，同样，四棱锥 M?ABCD 的外接球的球心在过侧面 CDM 的外心( CD 的中点)且与侧面 CDM 垂直的直线上，所以四棱锥 M?ABCD 的外接球的球心即是底面 ABCD 的外心 O ，外接球半径为 OA=12(26)2+(23)2=3 ，故四棱锥 M?ABCD 外接球的表面积为 36π ，（4）正确．
故答案为：C．
9.【答案】 B
【解析】由 l 是直线， α ， β 是两个不同的平面，可知：
A选项中，若 l//α ， l//β ，则 α ， β 可能平行也可能相交，错误；
B选项中，若 l//α ， l⊥β ，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知 α⊥β ，正确；
C选项中，若 α⊥β ， l⊥α ，由面面垂直、线面垂直的性质可知 l//β 或 l?β ，错误；
D选项中，若 α⊥β ， l//α ，则 l ， β 可能平行也可能相交，错误.
故答案为：B.
10.【答案】 A
【解析】由题意： SG⊥FG ， SG⊥EG ，
FG∩EG=G ， FG，EG? 平面 EFG
所以 SG⊥ 平面 EFG 正确，D不正确；.
又若 EG⊥ 平面 SEF ，则 EG⊥ EF ，由平面图形可知显然不成立；
同理 GF⊥ 平面 SEF 不正确；
故答案为：A
11.【答案】 C
【解析】如图1，取 AD 中点M，连接 MD1 与 MQ ，则 MQ∥D1C1 ， BD1? 平面 MQC1D1 ，则 PQ 与 BD1 异面，矛盾，故①错误；
如图2，取 CD 中点R，易得平面 PQR// 平面 BB1D1D ，故②正确；
若③正确，则 PQ⊥B1C ，则 C1Q⊥B1C ，矛盾，故③错误；
（另解：由结论 BD1⊥ 平面 AB1C 和①知 PQ ， BD1 不平行也可判断错误）.
V三棱锥D1?PQB=V三棱锥C1?PQB=V三棱锥P?C1QB=13×(12×12×1)×12=124 ，故④正确
（④也可以这样判断：如图3，过点B作 C1Q 的垂线，垂足为H， BH⊥C1D1 ，
因此， BH⊥ 平面 D1PQ ， BH=55 ， C1Q=52 ，
VD1?PQB=13S△D1PQ?BH=13×12×12×52×55=124 .
或者 VD1?PQB=VD1?C1QB=VP?C1QB=13S△C1QB?PD1=13×14×12=124 ）.
故答案为：C.
12.【答案】 A
【解析】对于命题①， l//α ， l?β ， α∩β=m ，由直线与平面平行的性质定理可得 l//m ，
∵n?α ， m//n ，由平行线的传递性可知 l//n ，命题①正确；
对于命题②， α⊥γ ， β⊥γ ，则平面 α 与平面 β 平行或相交，命题②错误；
对于命题③，过直线 m 作平面 γ ，使得 γ∩α=a ， ∵m?β ， α//β ， ∴m//α ，
∵m?γ ， γ∩α=a ， ∴a//m ，若 a//n ，根据平行线的传递性可得 m//n ，这与题意矛盾，
又 ∵a 、 n?α ， ∴a∩n≠? ， ∵l⊥m ， ∴l⊥a ，又 ∵l⊥n ， a 、 n?α ， ∴l⊥α ，
命题③正确；
对于命题④， ∵m?β ， n?β ， l⊥m ， l⊥n ，但 m 、 n 不一定垂直，则 l 与 β 不一定垂直，所以 α 与 β 也不一定垂直，命题④错误.
因此，正确的命题序号为①③.
故答案为：A.
13.【答案】 B
【解析】若a∥α，α∥β，得a ? β或 a//β ；所以①不正确；
若α∥β，β∥γ，则α∥γ；所以②正确；
若a⊥α，b⊥α，则a∥b；所以③正确；
若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β或相交；所以④不正确；
故答案为：B
14.【答案】 B
【解析】由题意知，在三棱锥 P?ABC 中， ∠BAC=90? ， AB=3 ， AC=4 ，所以 BC=5 ,又由 PC⊥ 底面 ABC ，所以 PC⊥BC ,
在直角 ΔPBC 中， BC=5,∠PBC=600 ，所以 PC=10 ,
根据球的性质，可得三棱锥 P?ABC 外接球的直径为 2R=PC=10 ，即 R=5 ，
所以球的体积为 V=43πR3=43π×53=500π3 ，
故答案为：B.
15.【答案】 D
【解析】A. 因为 CD//AF,AF? 平面 PAF ，所以 CD// 平面 PAF ，故正确；
B. PA⊥ 平面 ABCDEF ， DF? 平面 ABCDEF ，所以 PA⊥DF ，又 DF⊥AF,AF∩PA=A ，所以 DF⊥ 平面 PAF ，故正确；
C. 因为 CF//BA,BA? 平面 PAB ，所以 CF// 平面 PAB ，故正确；
D. 因为 CF 与 AD 成 60? 角，所以 CF 与平面 PAD 不垂直，故错误；
故答案为：D
16.【答案】 C
【解析】设 A1D 交 AD1 于 P ，过 P 作 PQ⊥AD ，交 AD 于 Q ，连接 CQ 交 BD 于 F ，由于 PQ//CE,PQ=CE ，所以四边形 PQCE 为平行四边形，所以 CQ//EP ，所以 CQ// 平面 AED1 .故线段 BD 上存在点 F ，使得 CF// 平面 AD1E ，即①正确.
若 CF⊥ 平面 AD1E ， CF? 平面 ABCD ，则平面 AD1E⊥ 平面 ABCD ，这不成立，所以②错误.
延展平面 AD1E 为 AMED1 如图所示，其中 M 是 BC 的中点.根据正方体的几何性质可知， D1E,AM,DC 相交于一点， ΔCEM?ΔDD1A ,所以多面体 CEM?DD1A 是棱台.且体积为 13?(SΔCEM+SΔDD1A+SΔCEM?SΔDD1A)?CD =13?(18+12+18?12)?1=724 .故③正确.
综上所述，正确的序号为①③.
故答案为：C
17.【答案】 C
【解析】已知直线 l⊥ 平面 α ，直线 m? 平面 β ，
对于①中，若 α//β ，得到直线 l⊥ 平面 β ，所以 l⊥m ，所以是正确的；
对于②中，若 α⊥β ，直线 l 在 β 内或者 l//β ，则 l 与 m 的位置关系不确定，所以不正确；
对于③中，若 l//m ，则直线 m⊥α ，由面面垂直的性质定理，可得 α⊥β ，所以是正确；
对于④中，若 l⊥m ，则 α 与 β 可能相交，所以不正确．
故答案为：C.
18.【答案】 D
【解析】过点 E 作 EE'⊥B1D1 ，垂足为 E' ，
取 BB1 的中点 F' ，连接 FF' ，如图
则 EF'=B1E'2+B1F'2
由 AB=2BC=2AA1=2
所以 B1F'=12 ， D1E=12 ， B1D1=5
且 cos∠A1D1B1=A1D1B1D1=55
所以 D1E'=D1E·cos∠A1D1B1=510
故 B1E'=B1D1?D1E'=9510
所以 EF'=(9510)2+(12)2=43010 ，
故答案为：D.
19.【答案】 A
【解析】由题意得，可知 PA,PE,PF 两两垂直，由 PA⊥ 平面 PEF ，从而 PA⊥EF ，
?而 PO⊥ 平面 PEF ，从而 PO⊥EF ，
?所以 EF⊥ 平面 PAO ，
所以 EF⊥AO ，同理可知 AE⊥FO,AF⊥EO ，
所以 O 为 ΔAEF 的垂心，
故答案为：A.
20.【答案】 B
【解析】A选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得 m∥n ；B选项正确，若 α∥β ，则存在 a?α,b?α,a∩b ，在平面 β 内存在 a'∥a,b'∥b,a'∩b' ，由 m⊥α ，可得 m⊥a,m⊥b?m⊥a',m⊥b' ，由线面垂直的判定定理可得 m⊥β ；C选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“ m 在平面 α 内或者平行于 α ”这个条件，才能判定 m⊥β ；D选项不正确，直线 n 可能在平面 α 上．
故答案为：B
.
二、解答题
21.【答案】 （1）证明： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴BC//AD ,
又 ∵AD? 平面 PAD ， BC? 平面 PAD ， ∴BC// 平面 PAD
（2）证明：连接 AC 交 BD 于 O ，连接 PO .
∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD 且 BO=OD ， OA=OC
又 PA=PC ， ∴PO⊥AC
又 PO∩BD=O ， ∴AC⊥ 平面 PBD ，
又 BD? 平面 PBD ， ∴PB⊥AC .
【解析】（1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴BC//AD , 再利用线线平行证出线面平行。
（2） 连接 AC 交 BD 于 O ，连接 PO ，∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD 且 BO=OD ， OA=OC ， 又 PA=PC ， 再利用等腰三角形三线合一，∴PO⊥AC ， 再利用线线垂直证出线面垂直， ∴AC⊥ 平面 PBD ， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直。
?
22.【答案】 （1）证明：因为 PA⊥AB ， PA⊥BC ，所以 PA⊥ 平面 ABC ，
又因为 BD? 平面 ABC ，所以 PA⊥BD .
（2）证明：因为 AB=BC ， D 为 AC 中点，所以 BD⊥AC ，
由（I）知， PA⊥BD ，所以 BD⊥ 平面 PAC .
所以平面 BDE⊥ 平面 PAC .
（3）解：因为 PA∥ 平面 BDE ，平面 PAC∩ 平面 BDE=DE ，
所以 PA∥DE .
因为 D 为 AC 的中点，所以 DE=12PA=1 ， BD=DC=2 .
由（I）知， PA⊥ 平面 ABC ，所以 DE⊥ 平面 PAC .
所以三棱锥 E?BCD 的体积 V=16BD?DC?DE=13 .
【解析】（1） 因为 PA⊥AB ， PA⊥BC ， 再利用线面垂直的判定定理，从而推出线面垂直，即 PA⊥ 平面 ABC ， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 PA⊥BD。
（2） 因为 AB=BC ， D 为 AC 中点，所以 BD⊥AC ，由（I）知， PA⊥BD ，从而由线面垂直的判定定理，从而证出线面垂直，再利用面面垂直的判定定理，从而证出面面垂直，即平面BDE⊥平面PAC。
（3）利用线面平行的性质定理证出线线平行，即 PA∥DE ，因为 D 为 AC 的中点，所以 DE=12PA=1 ， BD=DC=2 ，由（I）知， PA⊥ 平面 ABC ，所以 DE⊥ 平面 PAC ，再利用三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥E－BCD的体积。
?
23.【答案】 解：（Ⅰ）∵折叠前 AB=AC ， AD 是斜边上的高，
∴ D 是 BC 的中点，∴ BD=CD ，
又因为折叠后 M 是 BC 的中点，
∴ DM⊥BC ，折叠后 AB=AC ，
∴ AM⊥BC ， AM∩DM=M ，
∴ BC⊥ 平面 ADM ；
（Ⅱ）设点 D 到平面 ABC 的距离为 d ，
由题意得 VA?BCD=VD?ABC ，
∵ VA?BCD=13×34×1=312 ，
∴ VD?ABC=13×74×d=312 ，
∴ d=217 .
【解析】（Ⅰ） 由折叠的性质即可得出BD=CD ， DM⊥BC由线面垂直的判定定理即可得出结论。
(1)利用等体积法代入数值计算出结果即可。