10.1随机事件与概率-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

10.1随机事件与概率 基础练习
一、单选题
1.割补法在我国古代数学著作中称为“出人相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现.如图，揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法，在三角形 ABC 内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（??? ）
?14??????????????????????????????????????????B.?13?????????????????????????????????????????
?C.?15??????????????????????????????????????D.?12
2.袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（? ?）
A.?至少有一个白球；全部都是红球?????????????????????????
B.?至少有一个白球；至少有一个红球
C.?恰有一个白球；恰有一个红球?????????????????????????????
D.?恰有一个白球；全部都是红球
3.袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P（ξ≥8）等于（??? ）
A.?16????????????????????????????????????????B.?56????????????????????????????????????????
C.?512??????????????????????????????????????D.?712
4.下列叙述正确的是（??? ）
A.?频率是稳定的，概率是随机的
B.?互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C.?5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
D.?若事件A发生的概率为P(A)，则 0≤P(A)≤1
5.如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（??? ）
?25?????????????????????????B.?12???????????????????????????C.?37???????????????????????????D.?38
6.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，那么摸出黑球的概率是（?? ?）
A.?0.42?????????????????????????B.?0.28??????????????????????????C.?0.3??????????????????????????????????????D.?0.7
7.下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的是（???? ）
（1）在大量随机试验中，事件 A 出现的频率与其概率很接近；（2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；（3）计算频率通常是为了估计概率．
A.?（1）（2）???????????????????B.?（1）（3）??????????????????
C.?（2）（3）???????????????????D.?（1）（2）（3）
8.设 M,N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若 M,N 为互斥事件，且 P(M)=15 ， P(N)=14 ，则 P(M∪N)=920 ；（2）若 P(M)=12 ， P(N)=13 ， P(MN)=16 ，则 M,N 为相互独立事件；（3）若 P(M)=12 ， P(N)=13 ， P(MN)=16 ，则 M,N 为相互独立事件；（4）若 P(M)=12 ， P(N)=13 ， P(MN)=16 ，则 M,N 为相互独立事件；（5）若 P(M)=12 ， P(N)=13 ， P(MN)=56 ，则 M,N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????
?C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
9.甲、乙两人下棋，和棋概率为 12 ，乙获胜概率为 13 ，甲获胜概率是（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????
C.??????????????????????????????????????????D.?
10.学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为 12 ，则这周能进行决赛的概率为（ ??）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????
C.??????????????????????????????????????????D.?
11.从高二某班级中抽出三名学生。设事件甲为“三名学生全不是男生”，事件乙为“三名学生全是男生”，事件丙为“三名学生至少有一名是男生”，则（?? ）
A.?甲与丙互斥?????????????????B.?任何两个均互斥?????????????????
C.?乙与丙互斥?????????????????D.?任何两个均不互斥
12.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动卡”的概率是 310 ，那么概率是 710 的事件是(?? )

A.?至多有一张移动卡????????????B.?恰有一张移动卡???????????
?C.?都不是移动卡????????? ???D.?至少有一张移动卡
13.每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是 14 ，我每题都选择第一个选项，则一定有3道题选择结果正确”这句话(?? )
A.?正确?????????????????????????????????B.?错误?????????????????????????????????
C.?不一定????????????????????????????D.?无法解释
14.袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（??? ）
A.?至少有一个白球；都是白球???????????????????????????????
B.?至少有一个白球；红、黑球各一个
C.?恰有一个白球；一个白球一个黑球?????????????????????
?D.?至少有一个白球；至少有一个红球
15.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为 13 ??,乙、丙去北京旅游的概率分别为 14,15 .假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( ??)
A.?5960????????????????????????????????????????B.?35???????????????????????????????????????
?C.?12????????????????????????????????????????D.?160
16.如图，在半径为4的大圆中有三个小半圆 O1 ， O2 ， O3 ，其半径分别为1，2，1，若在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（??? ）
?716?????????????????????????????????????????B.?58????????????????????????????????????????
?C.?38???????????????????????????????????????D.?14
17.某人在打靶中，连续射击2次，至多有1次中靶的对立事件是（?? ）
A.?两次都不中靶??????????????????B.?至多有一次中靶?????????????????
?C.?两次都中靶??????????????? ???D.?只有一次中靶
18.给出下列三个命题，其中正确命题的个数是(?? )
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是 37 ?；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
?0?????????????????????B.?1???????????????????????C.?2???????????????????????D.?3
19.抛掷一枚硬币 5 次，若正面向上用随机数 0 表示，反面向上用随机数 1 表示，下面表示 5 次抛掷恰有 3 次正面向上的是(?? )
A.?1 ? 0 ? 0 ? 1 ? 1????????????
?B.?1 ???? 1 ? 0 ???? 0 ? 1????????????
?C.?0 ???? 0 ? 1 ???? 1 ? 0????????????
?D.?1 ? 0 ? 1 ? 1 ? 1
20.抛掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝ 12 ，P(B)＝ 16 ，“出现奇数点或出现2点”的概率为( ??)
A.?12??????????????????????????????????????????B.?56?????????????????????????????????????????
?C.?16??????????????????????????????????????????D.?23
二、解答题
21.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为 m 、 13 、 n ，己知三个社团他都能进入的概率为 124 ，至少进入一个社团的概率为 34 ，且 m>n .
（1）求 m 与 n 的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．

22.如图是某单位职工的月收入情况画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息，解答下列问题．
（1）为了分析职工的收入与年龄、学历等方面的关系，必须从样本中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500,2 000)的这组中应抽取多少人？
（2）试估计样本数据的中位数与平均数．
23.高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.
（1）求射击一次，命中10环或9环的概率；
（2）求射击一次，至少命中8环的概率；
（3）求射击一次，命中环数小于9环的概率．
答案解析
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】易知，“盈”的面积等于“虚”的面积，从而三角形面积等于矩形面积，而“虚”占矩形面积的百分数即“盈”占三角形的百分数.“盈”与“虚”的交界点在三角形腰的中点上，易知，“虚”占矩形面积的四分之一，故“盈”占三角形面积的四分之一.
故答案为：A.
2.【答案】 D
【解析】袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个.
对于A选项，事件“至少有一个白球”包含：“2个白球”、“1红1白”，
所以，A选项中的两个事件为对立事件；
对于B选项，事件“至少有一个红球”包含：“2个红球”、“1红1白”，
所以，B选项中的两个事件有交事件，这两个事件不是互斥事件；
对于C选项，事件“恰有一个白球”和“恰有一个红球”为同一事件；
对于D选项，事件“恰有一个白球”与“全部都是红球”是互斥事件，但不是对立事件.
故答案为：D.
3.【答案】 B
【解析】袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，
取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，
由题意得得分小于8分的只有两种情况：
取到1红3黑，计6分，取到4黑，计4分，
根据互斥事件概率得：则ξ≥8的概率 P(ξ?8)=1?[P(ξ=6)+P(ξ=4)]=1?C51C43+C44C94=56 .
故答案为：B.
4.【答案】 D
【解析】频率是随机变化的，概率是频率的稳定值，A不符合题意；
互斥事件也可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，B不符合题意；
5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙、甲抽到有奖奖券的可能性一样大，都是 15 ，C不符合题意；
由概率的定义，随机事件的概率在 [0,1] 上，D符合题意．
故答案为：D．
5.【答案】 D
【解析】设中心圆的半径为 r ，所以中心圆的面积为 πr2 ，
8环面积为 9πr2?4πr2=5πr2 ，
射击靶的面积为 16πr2 ，
所以命中深色部分的概率为 6πr216πr2=38 .
故答案为：D
6.【答案】 C
【解析】∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，
在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，
摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，
∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，
∴摸出黑球的概率是 1?0.38?0.32=0.3 .
故答案为：C.
7.【答案】 D
【解析】（1）在大量随机试验中，事件 A 出现的频率与其他概率很接近，所以该命题是真命题；（2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限，所以该命题是真命题；（3）计算频率通常是为了估计概率，所以该命题是真命题.
故答案为：D
8.【答案】 D
【解析】若 M,N 为互斥事件，且 P(M)=15,P(N)=14 ，
则 P(M∪N)=15+14=920 ，
故（1）正确；
若 P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16
则由相互独立事件乘法公式知 M,N 为相互独立事件，
故（2）正确；
若 P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16 ，
则 P(M)=1?P(M)=12,P(MN)=P(M)?P(N)
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 M,N 为相互独立事件，
故（3）正确；
若 P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16 ，
当 M,N 为相互独立事件时， P(N)=1?P(N)=12,P(MN)=12×23=13
故（4）错误；
若 P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=56
则 P(MN)=P(M)?P(N)=16,P(MN)=1?P(MN)
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 M,N 为相互独立事件，
故（5）正确.
故答案为：D.
9.【答案】 C
【解析】因为和棋概率为 12 ，乙获胜概率为 13 ，所以甲获胜概率是 1?12?13=16 ，
故答案为：C.
10.【答案】 D
【解析】设在这周能进行决赛为事件 A ，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件 A3 ， A4 ， A5 ，则 A=A3A4A5 ，
又事件 A3 ， A4 ， A5 两两互斥，
则有 P(A)=P(A3)+P(A4)+P(A5)=12+(1?12)×12+(1?12)×(1?12)×12=78 ，
故答案为：D．
11.【答案】 A
【解析】不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，
则事件甲“三名学生全不是男生”与事件丙“三名学生至少有一名是男生”为互斥事件
故答案为： A
12.【答案】 A
【解析】解：由于 310+710=1 ，结合对立事件的定义可知所求事件是“2张全是移动卡”的对立事件，即“至多有一张移动卡”．
故答案为：A.
13.【答案】 B
【解析】解：解答一个选择题作为一次试验，每次选择的正确与否都是随机的.经过大量的试验，其结果呈随机性，即选择正确的概率是 14 .做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的选择结果都正确，但有3题选择结果正确的可能性比较大.同时也有可能都选错，亦或有2题，4题，甚至12道题都选择正确.
故答案为：B.
14.【答案】 B
【解析】因为至少有一个白球包括1个白球1个黑球、1个白球1个红球，两个白球三种情况，恰有一个白球包括1个白球1个黑球、1个白球1个红球两种情况，至少有一个红球包括1个红球1个黑球、1个白球1个红球，两个红球三种情况，所以“至少有一个白球”与“红、黑球各一个”是互斥而不对立的两个事件，
故答案为：B.
15.【答案】 B
【解析】解：由题得甲乙丙不去北京的概率分别为 23,34,45 ，
所以甲乙丙都不去北京旅游的概率为 23×34×45=25 ，
所以这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 1?25=35 .
故答案为：B.
16.【答案】 A
【解析】解： S阴=12?π?42?12?π?22+π?12=7π .S大圆=π?42=16π ，
∴ 在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 P=7π16π=716 .故答案为：A.
17.【答案】 C
【解析】解：“至多有1次”的对立事件是“至少有2次”，即两次都中靶．
故答案为：C．
18.【答案】 A
【解析】对于①，次品率描述的是次品的可能情况，错误;对于②概率应该是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率，描述不符，错误;对于③，同②解释;
故答案为：A
19.【答案】 C
【解析】 0 代表正面向上，恰有 3 次正面向上，应是由 3 个 0 ， 2 个 1 组成的结果，
故答案为：C.
20.【答案】 D
【解析】记“出现奇数点或2点”为事件C，因为事件A与事件B互斥，所以
P(C)＝P(A)＋P(B)＝ 12 ＋ 16 ＝ 23 .故选D.
二、解答题
21.【答案】 （1）解：依题 {13mn=1241?(1?m)(1?13)(1?n)=34m>n ，解得 {m=12n=14
（2）解：由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为 Xi ，
获得本选修课学分分数不低于4分为事件 A ，
则 P(X4)=12×23×14=112 ； P(X5)=12×13×14=124 ； P(X6)=12×13×14=124 .
故 P(A)=112+124+124=16 .
【解析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为 m 、 13 、 n ，已知三个社团都能进入的概率为 124 ，至少进入一个社团的概率为 34 ，且 m>n ，利用相关公式建立方程组，即可求得 m 与 n 的值；（2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果.
22.【答案】 （1）解：由题知，月收入在[1000,1500)的频率为0.0008×500＝0.4，
又月收入在[1000,1500)的有4 000人，故样本容量n =40000.4= 10000.
又月收入在[1500,2000)的频率为0.000 4×500＝0.2，
月收入在[1 500,2 000)的人数为0.2×10000＝2 000，
从10 000人中用分层抽样的方法抽出100人，
则月收入在[1500,2000)的这组中应抽取100× 200010000 ＝20(人)．
（2）解：月收入在[1000,2000)的频率为0.4＋0.2＝0.6＞0.5，
故样本数据的中位数为1500＋ 0.5?0.40.0004 ＝1500＋250＝1750.??????
由频率分布直方图可知， 月收入在[3000,3500)的频率为
1?(0.0008+0.0004+0.0003+0.00025+0.0001)×500=0.075
故样本数据的平均数为
1250×0.4+1750×0.2+2250×0.15+2750×0.125+3250×0.075+3750×0.05=1962.5
【解析】（1）先求得月收入在[1000,1500)的频率，即可得到样本容量，求得月收入在[1 500,2 000)的人数，根据分层抽样求得答案；（2）利用中位数的公式求得中位数，再根据概率和为1求得月收入在[3000,3500)的频率，再利用平均数公式求得结果.
23.【答案】 （1）解：设事件“射击一次，命中i环”为事件Ai(0≤i≤10，且i∈N)，且Ai两两互斥．
由题意知P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31.
记“射击一次，命中10环或9环”的事件为A，那么P(A)＝P(A10)＋P(A9)＝0.13＋0.28＝0.41.
（2）解：记“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么P(B)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.
（3）解：“射击一次，命中环数小于9环”的事件为C，则C与A是对立事件，
∴P(C)＝1－P(A)＝1－0.41＝0.59.
【解析】 （1）利用互斥事件概率加法公式求解．
（2）利用互斥事件概率加法公式求解．
（3）利用对立事件概率公式求解．