江苏省扬州市邗江区高级中学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

江苏省邗江中学2020-2021学年度第二学期期中试卷
高一数学
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 若false是纯虚数(false为虚数单位)，则实数false的值为
A．false B． false C．false D. 以上都不对
2． 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若false，则△ABC的
形状为
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
3． 已知空间互不重合的三条直线false，false，false，则“false，false，false在同一平面内”是“false，false，false 两两相交”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知向量false，false满足false，false，false，则false，false的夹角为
A．false B．false C．false D. false
5． 已知false，则false
A．1 B．false C．false D. false
6. 已知正方形ABCD的边长为1，则false
A．5 B．false C．25 D． 41
7．已知长方体false中，false，false，点P为false的中点，设平面false，平面false，则线段false的长度为
A．false B． false C． false D．false
8．在△ABC中，falsefalse，false，垂足为false，且false，则当false取最大值时，△ABC的周长为
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列各式中，值为false的是
A．false B．cos2false－sin2false，
C． false D．false
10．已知false，false为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是
A．若false，则a与b是异面直线
B．若AB与CD是异面直线，则AC与BD也是异面直线
C．若a∥b，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线
D．若a, b不同在任何一个平面内，则a与b是异面直线
11．设false，false是两个非零向量，下列结论中正确的是
A．若false，则false B．若false，则false或false
C． 若false，则false D．若false，则存在实数λ，使得false
12．已知函数false，则下列说法正确的是
A．当false时，直线false是false图象的一条对称轴
B．当false时，函数false的最小正周期为false
C．当false时，函数false在false上单调递减
D．当false时，若false，则函数false的值域为false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13． 已知向量false，false为实数，且false∥false，则false ．
14．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东false的方向航行，B船沿正北方向航行．若A船的航行速度为15 n mile/h，2 h后，B船测得A船位于B船的北偏东false的方向上，则此时A，B两船相距 n mile .
15．已知false，则false .
16．已知复数false对应的点在复平面第四象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数false的陈述如下（false 为虚数单位）：甲：false；乙：false；丙：false；丁：false，在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数false .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知false为虚数单位．
（1）计算：false；
（2）若false，求复数false.
18．（本小题满分12分）
已知向量false，false，设函数false．
（1）若false，求函数false的最大值和最小值；
（2）若false，且false，求false的值．
19． （本小题满分12分）
4121150633730如图，在直三棱柱false中，侧棱与底面所有直线均垂直，底面△ABC是边长为4的正三角形，侧棱长为3，D，E分别为棱false和false的中点．
（1）试判断直线AD和BE的位置关系，并说明理由；
（2）求异面直线AB和CE所成角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
在①false；②false；③false这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求false的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且false，
， ？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
21．（本小题满分12分）
如图，风景区的形状是如图所示的扇形ABC区域，其半径为2千米，圆心角为false，点P在弧BC上．现欲在风景区中规划三条商业街道false，要求街道PQ与AB垂直（垂足Q在AB上），街道PR与AB平行，交AC于点R．
（1）如果P为弧BC的中点，求三条商业街道围成的△PQR的面积；
（2）试求街道RQ长度的最小值.
22．（本小题满分12分）
已知函数false，false，false是常数，false，false，false.
（1）若false，判断false的奇偶性；
若false，判别false的奇偶性；
（2）若false，false是偶函数，求false；
（3）请仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例.（不必证明命题）
2020-2021学年度第二学期期中高一数学
试 题 参 考 答 案 及 评 分 标 准
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
D
B
A
B
C
C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号
9
10
11
12
答案
ACD
BD
D
ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．4 14．false
15．false 16．false
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
【解】（1）false.
------------------------------------5分
（2）设false，
则由false，得false， -----------------------------------7分
则 false 解得false或false
则false或false.
------------------------------------10分
18．（本小题满分12分）
【解】（1）因为向量false，
则函数false
false，
------------------------------------3分
若false，则false，
所以当false，即false时，false；
当false，即false时，false．
------------------------------------6分
（2） 由false，得false，
因为false，则false，又false，
所以false， ------------------------------------8分
则false，
------------------------------------9分
所以falsefalse．
------------------------------------12分
19．（本小题满分12分）
【解】（1）连接DE．
在△A1B1C1中，D，E分别为棱false和false的中点，
所以DE∥A1B1，且DEfalseA1B1， ------------------------------------2分
又在直三棱柱false中，AB∥A1B1，且ABfalseA1B1，
所以DE∥AB，且DEfalseAB，
所以四边形ABED为梯形，所以直线AD和BE为相交直线．
------------------------------------5分
（2） 因为DE∥AB，所以false（或其补角）为异面直线AB和CE所成角．
------------------------------------7分
因为△ABC是边长为4的正三角形，则DEfalseABfalse，
在△CC1E中，false，false，则false，
同理false， ------------------------------------10分
在△CDE中，false，false，DEfalse，解得false，
所以异面直线AB和CE所成角的余弦值为false．
------------------------------------12分
20．（本小题满分12分）
【解】若选①，②，
则由①false，可知false；
---------------------------------3分
由②false，可得false，即false，
解得false，或false，又因为false，所以false；
---------------------------------6分
又false，false，余弦函数false在false上单调递减，所以false，
---------------------------------10分
此时false，不能构成三角形．
---------------------------------12分
若选①，③，
由①false，可知false；
---------------------------------3分
由③false，得false，
又由正弦定理false可知，false，
展开得false，即false，
又false，则false，故false，false，所以false．
---------------------------------6分
由①得false，
false，余弦函数false在false上单调递减，
所以false，
此时false，能构成三角形． ---------------------------------8分
此时false，又false，
由正弦定理false，得false，解得false．
---------------------------------12分
若选②，③，由②得false； ---------------------------------3分
由③得false； ---------------------------------6分
此时此时false，能构成三角形． ---------------------------------8分
所以false，
则false，
由正弦定理false，得false，解得false．
---------------------------------12分
21．（本小题满分12分）
【解】连接AP，过R作false，垂足为D．
（1）当P为弧BC的中点时，false，
在△APQ中，false，false，故false，
---------------------------------2分
在△ARD中，false,false，所以false，则false,
所以false, ---------------------------------4分
在直角三角形PRQ中，△PQR的面积false．
---------------------------------5分
（2）设false，则falsefalse，
---------------------------------6分
又false，则false，所以false,
---------------------------------7分
在直角三角形PRQ中，false
false，其中false
---------------------------------10分
因为false，所以false，又false，
所以当false时，false有最小值为false，即false．
综上，街道RQ长度的最小值为false千米．
---------------------------------12分
22．（本小题满分12分）
【解】由题意可知false，
false， ---------------------------------1分
（1）当false时，false
false，
所以false是偶函数； ---------------------------------2分
当false时，false
falsefalsefalse，
---------------------------------3分
所以false，
因为false，所以false不是奇函数，
因为false，所以false不是偶函数
所以false是非奇非偶函数； ---------------------------------4分
（2）当false时，false是偶函数，
所以false对一切false恒成立，
所以false，即false，
也即false，
则false，因为false，所以false，
---------------------------------6分
当false时，false，
则false false
所以false对一切false恒成立，所以false为偶函数.
综上所述：false. ---------------------------------8分
（3）第一层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1、false是偶函数；
2、false是奇函数；
3、false是非奇非偶函数；
4、false是既奇又偶函数；---------------------------------10分
第二层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1、false是偶函数（数字不分奇偶）；
2、false是奇函数（数字只能同奇数）；
false是偶函数（数字只能同偶数）；
3、false是非奇非偶函数（数字不分奇偶，但需相同）；
4、false是既奇又偶函数（数字只能奇数）；
false是非奇非偶函数；
---------------------------------11分
第三层次，写出逆命题任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1、false是偶函数（数字不分奇偶，但相同），则false；
2、false是奇函数（数字只能正奇数），则 false；
false是偶函数（数字只能正偶数），则 false；
3、false是偶函数（数字只能正奇数），则false；
第四层次，写出充要条件中的任何一种均可以，
1、false的充要条件是false是偶函数，
2、false是奇函数（数字只能正奇数）的充要条件是false；
false是偶函数（数字只能正偶数）的充要条件是false；
3、false是偶函数（数字只能正奇数）的充要条件是 则false；
第五层次，写出任何一种均可以（逆命题，充要条件等均可以），
1、false时，false都是偶函数；
2、false时，false是正奇数，false是奇函数；
false时，false是正偶数，false是偶函数；
3、false，false是奇数，false既奇又偶函数；
4、false，false是偶数，false是非奇非偶函数.
---------------------------------12分
（注：写出第一层次中的任意一个得2分，写出第二层次中的任意一个得3分，写出后面三个层次中的任意一个得4分）