2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第一章正弦函数、余弦函数的对称性学案

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正弦函数、余弦函数的对称性
【问题探究】
问题1 因为函数和为奇函数，所以它们的图像关于对称，若将它们的图像向右平移1个长度单位，得到函数和的图像，那么函数和的图像关于对称。试讨论和满足吗？若函数满足，则函数的图像关于对称吗？
结论1若函数满足下列之一：
，，，
则函数的图像关于点对称。
规律：（自变量）和定（值），（函数）值反（相反数），中心对称，
对称中心的横坐标为定值的一半。
问题2 已知函数和的图像关于直线对称，试讨论函数和满足吗？若函数满足，则函数的图像关于直线对称吗？
结论2若函数满足下列之一：
，，，
则函数的图像关于直线对称。
规律：（自变量）和定（值），（函数）值等（相等），轴对称，
对称轴为定值的一半。
问题3 正弦函数是奇函数，图像关于原点对称，正弦函数图像有没有其它对称中心？若有，对称中心如何表示？正弦函数图像有没有对称轴？若有，对称轴如何表示？
分析：由诱导公式，，，得，所以正弦函数关于对称，即对称中心是；
由诱导公式，，得，所以正弦函数关于对称，即对称轴是。
结论3 正弦函数图像既有中心对称，又有轴对称，
对称中心：；对称轴：。
问题4 余弦函数是偶函数，图像关于轴对称，余弦函数图像有没有其它对称轴？若有，对称轴如何表示？余弦函数图像有没有对称中心？若有，对称中心如何表示？
分析：由诱导公式，，，得，所以余弦函数关于对称，即对称轴是；
由诱导公式，，得，所以余弦函数关于对称，即对称中心是。
结论4 余弦函数图像既有轴对称，又有中心对称，
对称轴：；对称中心：。
【抽象概括】正弦函数和余弦函数的对称性
对称轴 对称中心
， ，
， ，
注：正弦函数和余弦函数图像的对称轴是过最值点作轴的垂线；
正弦函数和余弦函数图像的对称中心是图像与轴的交点。
【典例讲解】
例1已知函数，求函数图像的对称轴方程及对称中心坐标。
解：由，得，所以图像关于直线对称；
由，得，所以图像关于点对称。
例2已知函数，求函数图像的对称轴方程及对称中心坐标。
解：由，得，所以图像关于直线对称；
由，得，所以图像关于点对称。
【练习巩固】
1、已知函数，则有关其图像的下列结论正确的是（ ）。
A．向左平移个单位长度后得到奇函数
B．向左平移个单位长度后得到偶函数
C．关于点中心对称
D．关于直线轴对称
2、（多选）若函数对任意都有，则（ ）。
A． B． C． D．
3、关于函数，有下列命题：
①由可得最小值是；
②的表达式可以写成；
③的图像关于对称；
④的图像关于对称。
其中正确命题的序号为 。
4、若函数是偶函数，则的值可以是（ ）。
A． B． C． D．
第1页（共3页）——第一章 三角函数