《三角形的内角和—五角星的五角度数和的一组变式》教学设计
教学目标：
1、灵活应用“三角形的内角和定理”以及定理的两个推论，会证明五角星的五角度数和及其变式。。
2、通过观察、推理、交流等过程，探索并掌握五角星的五角度数和的一组变式的基本方法，感受转化思想。
3、通过一题多解，一题多变等，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。
4、培养学生爱国主义、乐于助人、团结合作的德育精神。
教学重难点：
重点：五角星的五角度数和的一组变式
难点：归纳总结方法，初步感受转化的思想
教学过程：
一 走进生活
引出课题
师：请看大屏幕，这是我们的五星红旗，仔细观察，五星红旗上都有什么？
生：一颗大星，四颗小星
师：五星红旗：红色象征着革命，五星黄色有象征中国人为黄种人之意，大星代表中国共产党，四颗小星代表工人、农民、知识分子、民族资产阶级。四颗小星环拱于大星之右，象征中国共产党领导下的革命人民大团结和人民对党的拥护。
师：其实，不光我国的国旗有五角星，有些国家的国旗也有五角星，比如美国、智力、缅甸、菲律宾等。五角星是由10条边围起来的图形，共五个角，内角和是180度，成辐射性，正因为五角星这种状况，给人们权威、公正、公平的印象。那么这节课我们就来研究一下五角星。
说明：此环节让学生充分感受数学来源于生活，同时培养学生爱国主义精神。
二 回顾旧知
师：首先请同学们回答我这样两个问题。
1、如图1，∠1、∠2、∠3
有什么等量关系？
2、如图2，∠A、∠B、∠C、∠D有什么等量关系？
生口头回答并简单说明理由。
说明：此环节关键是复习两个知识点：三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角的和。
三
提出问题
探求新知
师：前几天老师遇到了这样一个题目，但一直没想出来该怎么做，你能否想办法帮老师解决一下这个问题呢？
生：能
例、已知：如图，五角星形的顶角分别是∠A,
∠B,
∠C,
∠D,
∠E
求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
学生先独立思考，然后小组展开交流，最后派两位同学上台讲解，并及时对学生肯定和鼓励。
归纳：转化是个很重要的数学思想，本题就是运用这一思想将∠A、∠B、∠C、∠D、∠E这五个角的和转化为一个三角形的三个内角的和，从而使问题得到解决。
说明：此环节的设计重在培养学生的转化思想，以及利用已学知识解决问题的能力。
师：根据刚刚我们总结的方法，你能否解决下面的这些问题？
变式1：当A向下移动到BE上时，如图，五个角的和∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E
有无变化？
变式2：当A向下移动如图所示位置，五个角的和∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E
有无变化？
变式3：将A,C同时移动至如图所示的位置，五个角的和∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E
有无变化？
师：请选择一个自己喜欢的图形进行证明。
学生独立完成，然后请学生上台展示自己所做的题目。
四
提出问题
再索新知
师：感谢大家为我解决了第一个问题，那么我这里还有一个问题，能不能在帮帮老师呢？
生：能
例：如果截去五角星的一个角，如图，请求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
学生独立完成，并请学生上台版书，最后学生总结出：此题是将六个角转化到一个四边形中，再根据四边形的内角和是360度，从而将问题得以解决。
五
小结
畅谈收获：知识、方法、思想……
最后我们再次面对国旗，齐唱国歌，进一步培养学生的爱国主义精神。
六
当堂检测
请选择一个自己喜欢的图形，进行证明。8.6
三角形内角和定理（第一课时）
教学设计
【教材分析】
本节课是鲁教版七年级下册第八章《平行线的有关证明》第6节《三角形内角和定理》第一课时的教学内容.
教材中本节课的内容可以称之为核心内容，关键是它的地位举足轻重，在知识的学习中起到了承上启下的作用.在这之前学生已经学过平行线的性质、平角定义，为这节课中三角形内角和定理的证明起了铺垫的作用，而这节课通过对三角形内角和定理的证明，训练学生的推理证明能力，也为后面学习的多边形内角和、三角形全等的推理证明以及四边形、圆的学习起了一定的奠基作用.
这是一节定理证明教学课，主要学习三角形内角和定理及其证明，以及利用定理解决简单的角度计算问题.本节的核心内容为三角形内角和定理的证明，同时这也是本节课的教学重点.
本节课定理的证明过程为学生建立数学思想方法和逻辑推理能力提供了一个发展提高的平台，其论证过程总体体现为化归思想.本课的基本定位在于，通过三角形内角和定理证明的教学实践，感受几何证明的思想，体会辅助线在几何问题解决中的桥梁作用.同时，引领学生进一步体会辅助线添加方法的多样性，渗透“最优化”思想.
【学情分析】
1、学生已有的知识结构和活动经验基础
本节课是鲁教版七年级下册第八章《平行线的有关证明》第6节《三角形内角和定理》第一课时的教学内容.
是学生刚刚学行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明以后的一节对三角形内角和定理的严格证明．“三角形的内角和是180度”，这一结论学生在小学就已经积累了探索结论的经验，而本学期学生已经学行线的性质与判定的简单几何证明、平角的知识，初步感受了几何推理的结构，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课是在此基础上，进一步地了解“三角形的内角和是180度”这个结论成立的道理.同时引导学生回忆与180°有关的知识，想办法将三角形的三个角拼成一个平角或同旁内角的形式，再利用所学的知识证明三角形内角定理，启发学生正确添加辅助线并证明.
因此，学生具有良好的知识基础．
本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验．
2、学生学习可能遇到的困难
学生知道“三角形的内角和是180度”是正确的，至于为什么是正确的，还没有经历严格地证明得到．要完成定理证明，教学的关键在于辅助线的发现和添加.由于授课学生的认知还未能达到运用平行线移角的水平，不理解实验中的拼角怎么就转变成平行线移角，因此如何获取证明的思路，怎样正确添加辅助线，是学生在学习中的一大困难，如何从拼角实验中引导探索发现辅助线，就成为教学的难点.为此，我设计“实物拼图——留下痕迹——抽象图形——理解图形变化——分析提升”的途径解决这个问题.
【教学目标】
1、知识与技能目标：
（1）掌握“三角形内角和定理”的证明及简单应用.
（2）灵活运用“三角形内角和定理”解决相关问题.
2、过程与方法目标：
通过对三角形内角和定理的探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用.
3、情感态度与价值观目标：
通过一题多解，让学生初步体会思维的多向性，使其在合作与交流中学会肯定自己和倾听他人意见，培养严谨科学的学习态度、勇于探索创新的精神以及乐于合作的意识，促进个性化发展．
【教学重点】三角形内角和定理的探究与证明.
【教学难点】三角形内角和定理的证明方法及辅助线的添加.
【教学方法】实验法、小组讨论法、讲练结合.
【教学准备】多媒体课件、导学案、剪刀、三角形纸片.
【教学过程】
(一)情境引课：
图形王国的国王有两名大将，一位叫“大三角形”，一位叫“小三角形”，有一天他们为一点儿小事吵了起来，大三角形吼道：“小家伙整天和我吵，你说我什么不比你大？”小三角形不服气地说：“你的内角和就不比我的大”
.大三角形理直气壮地说：“我的内角和肯定也比你的大.”两人争执不休，这时国王回来了，听了他们的诉说，有点糊涂地说“我年纪大了，真不记得你们的内角和是怎么一回事了，待我下道圣旨，看谁能解决这个问题，我重重有赏.”同学们，你们同意谁的看法？
设计意图：这样设计主要是一则童话故事引入，利用学生生活经验，寻找学生最易接受问题的突破点，避免纯数学问题的枯燥，调动学生的视觉，激发学生的学习兴趣，提高学生学习主动参与的积极性.
生：小三角形
师：为什么？
生：所有三角形的内角和都是180°.
师：国王可不会赏赐只会动嘴皮子的人，你是这种人吗？
生：不是
师：同学们，你们愿意探其究竟吗？
生：愿意.
师：这节课我们就来学习8.6三角形内角和定理的第一课时，请看学习目标（指一学生读学习目标），同学们要积极主动，互帮互助，争取人人达标.
（二）探究活动一：我们知道三角形三个内角的和等于180°，你还记得这个结论的探索过程吗？利用自己手中的三角形纸片动手操作一下.谁上来给同学们展示一下？
（1）如图,当时我们是把∠A撕下后移到了∠1的位置,推出b与a平行，通过以C为顶点的三个角的和是180°探索出这个结论的.
师：如果不撕下∠A，那么你能通过作图的方法达到移动∠A的效果吗？
生：以点C为顶点，以CA为一边在△ABC外部作∠ACE=∠A，作BC的延长线CD.
师：板书生所说的，并在事先准备的图上画出辅助线.
讲解：这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线，如果需要添加辅助线，需在求解之前说明.
师：还有别的方法吗？
生：过点C作CE∥AB，作BC的延长线CD.
师：说说你的思路.
生：根据CE∥AB可得∠ACE=∠A，∠DCE=∠B，由平角定义知道以点C为顶点的这三个角的和是180°，所以等量代换出∠A、∠B、∠ACB三个角的和是180°.
师：太棒了，这种作图方法能同时转移两个角.
师：下面我们就来证明“三角形三个内角的和等于180°”这个命题，我们一起来写出已知，求证.引导学生说，师板书.
请学生选一种自己喜欢的方法在导学案上完成证明过程，指两生板书.
师生一起订正板书，有问题的步骤提醒学生注意，并及时改错.
设计意图：让学生通过动手操作，直觉感知三角形角的变化与内角和的关系，让学生产生需要，主动去探索，主动去解决问题，充分调动学生，让他们通过观察思考操作验证归纳的过程，主动获取知识，培养个人能力.
（三）探究活动二：议一议，要求学生在导学案上完成，并且通过小组交流汇总不同的方法，准备课堂展示.
（1）在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到顶点A处，他过点A作直线PQ∥BC（如图）.他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？
指生板书（1）的答案，分别呈现用“平角”
证和“两直线平行，
同旁内角互补”
证两种答案.并请板书学生讲解思路.
请学生思考：小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?
引导学生说出：①一题可以多解；②第一种思路是将三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的三个内角化为“一平角等于180°”来说明问题的；第二种思路是将三角形的三个内角化为“两直线平行同旁内角互补”来说明问题的.要证明三角形三个内角的和等于180
°，可以将三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的三个内角化归为：一个平角或两平行线下的同旁内角来说明，运用了数学中的化归思想.
（2）你还能用其他方法证明三角形内角和是180°吗？与同伴进行交流.
请小组展示其他方法，注意掌握时间.
师：我们通过推理证明的方法，得到“三角形三个内角的和等于180°”是真命题，我们称它为三角形内角和定理.
几何语言：△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.你会运用这个定理吗？我们来看例题赏析
（四）探究活动三：例题赏析
如图，在△ABC中，已知∠ABC=38°，∠ACB=62°，AD平分∠BAC，
求∠ADB的度数.
设计思路：让学生先独立审题口述思路，
注意不同的解法
可以补充说明，然后选择自己喜欢的方法完成求解过程.
点拨：本题需要两次分别在两个三角形中运用三角形内角和定理才能求出∠ADB的度数，注意运用定理书写推理时需说明在哪个三角形中，对于不同的方法要能判断简单与复杂，有选择地进行使用.有时间的同学，可以多种方法都尝试一下.
（五）学以致用
设计思路：指3生板书三道题的解题过程，并讲解思路.
1.证明：直角三角形的两个锐角互余.
A
已知：
画图：
求证:
证明:
B
C
说明：本题是命题证明，要注重看学生是否能依据题意画出图形，写出准确的已知、求证，特别强调对于直角三角形要说明哪个角是直角，以便确定两个锐角，给学生足够的时间改错.
进行知识归纳：得到定理直角三角形的两个锐角互余.告诉学生以后可以直接运用.
2.已知：如图，在△ABC中，
DE∥BC，∠A=60°，∠C=70°.
A
求证：∠ADE=50°.
师总结：本题有两种思路：一种是把∠ADE放在△ADE中运用三角形
内角和定理直接求，另一种是通过先求∠ADE的同位角∠B，间接再
B
C
求∠ADE，可以根据自己的喜好，自由选择.
3.已知：如图，四边形ABCD是任意一个四边形.
求证：∠A+∠B+∠C+∠D
=
360°.
师强调：本题运用了数学中的转化思想：将四边形的问题转化为三角形
的问题来解决，我们经常把新知识转化为旧知识来解决.
进行知识归纳：得到结论四边形的内角和等于360°，以后可以直接运用.
师总结：通过刚才的几个练习，我们巩固了对三角形内角和定理的运用，有的同学是从已知条件入手一步步分析推理得出最后的结论，我们把这种探索思路的方法叫做“由因导果”的综合法；有的是从要求证的结论入手，倒着分析探求使它成立的条件，我们把这种探索思路的方法叫做
“执果索因”
的分析法.“由因导果”和
“执果索因”是两种探索证明思路的基本方法.
（六）盘点收获：
知识方面：
数学思想方面：
师：通过这节课的学习你有什么收获？谁愿意与大家分享一下？
生1：学习了三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180°.
生2：学习了定理：直角三角形的两个锐角互余.
生3：三角形内角和的定理的证明方法不止一种.
师：说的好！这也印证了一句哲理“探索事物的正确答案的方法不止一个”.
生4：“执果索因”
“由因导果”是两种探索证明思路的基本方法.
生：本节课运用了数学中的化归思想和转化思想.
（七）当堂检测：
必做：
证明：有两个角互余的三角形是直角三角形
说明：本题考察学生对于命题证明的掌握程度，对于三角形内角和定理的使用是否存在格式错误.
本题通过证明得到定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.以后可以直接运用.
选做：
已知:如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D.
求证：∠A=∠DCB.
说明：本题让学生不仅弄清楚为什么∠A=∠DCB，还要让他们继续
思考图中是否还有其它相等的角（直角除外），以便把这个重要的
图形识透.
（八）教师寄语：
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
相信不论是由“因”导“果”,还是执“果”索“因”，只要掌握了正确的思路和方法，同学们都会成为推理高手.加油！
板书设计：
8.6三角形内角和定理（1）
三角形内角和定理：
议一议：
例题赏析：
学以致用：
三角形三个内角的和等于180°
已知：
证明：
解：
已知：
证明：
证明：
求证：
求证：
证明：
答
：
证明：
B
C
A
B
2
1
A
C
P
Q
A
B
D
C
B
C
B
A
D
C
Q
P
C
B
A
A
A
a
b
D
A
D
D
E三角形内角和定理（第2课时）
学习目标（1）理解三角形外角的定义；
（2)经历三角形外角性质的探索过程；
(3)能熟练地利用三角形的外角性质解决问题。
学习重点：探究三角形外角的性质，利用三角形外角的性质解决相关的问题
学习难点:三角形的外角的识别和应用
学习过程：
1、情境引入
1.王师傅的“神机妙算”：
在一次飞机模型设计大赛上，小明与王师傅在做最后的准备工作，
其中需要一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，
∠B，∠C应分别等于30°和20°，小明量得∠BDC=138°，
话音刚落，王师傅就脱口而出：这零件不合格．你知道王师傅的判断依据是什么吗？
2.上图中，若将边CB反向延长至D，则可以得到一个新角_______，
这个角还是三角形的内角吗？
二、合作探究
探究一：三角形外角的概念
1.外角：三角形内角的
与
组成的角，叫做这个三角形的外角。
2.动手做一做：
（1）△ABC除了刚才的外角∠ACD，还有其他的外角吗？若有，请同学们动手画一画
（2）思考：①一个三角形共有
个外角；
②每个顶点相对应的外角有
个，它们是
。
探究二：三角形外角的性质
课件展示探究过程
（1）外角与相邻内角的关系：三角形的一个外角与它相邻的内角
。
（2）外角与不相邻两个内角的关系：
三角形的一个外角
和它
的两个内角的和；
（3）外角与不相邻每个内角的关系：
三角形的一个外角
任何一个和它
的两个内角；
三、对应训练
1.已知：如图，∠A=30°，∠B=50°,∠E=20°
则∠ACE=_____
,∠ADE=_____。
2.揭示王师傅“神机妙算”的奥秘所在.
已知：∠A=90°，∠B=30°，∠C=20°
求∠BDC的度数
四、精讲点拨
例1：如图D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC=70°
求：（1）∠B的度数；
（2)∠C的度数；
例2.已知:如图在△ABC中，∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.
求证：AD∥BC.
5、总结积累
本节课你学会了什么，和同桌相互说一说。
六、当堂达标
1.如图所示，∠CAB的外角等于120?，
∠B等于40?，则∠C
的度数是_______．
2.如图所示，∠1=_______．
3.如图，x=______。
4.如图,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=_______
A
C
B
D
A
C
B
E
A
A
D
B
C
D
B
C
A
C
D
B
E
A
A
