《等腰三角形（2）》教学设计
【学习目标】
1.经历“探索—发现—猜想—证明”过程，用三角形全等证明等腰三角形的一些线段相等。
2.借助等腰三角形的三线合一推论解决实际问题。
【学习重难点】
重点：证明等腰三角形的一些线段相等。
难点：能够用综合法证明等腰三角形的有关性质和定理。
【教学过程】
一、设计实验，回顾旧知
师：中国剪纸文化博大精深，请大家欣赏几幅剪纸图片，老师也会剪一些简单的图形（剪）。
师：在剪纸过程中，我们首先体会了等腰三角形是一个什么图形？
生：轴对称图形。
师：那利用它的对称性能知道左右两个三角形是什么关系？
生：全等。
（设计意图：让学生借助已有的几何知识从现实生活中发现数学问题，从实物形象给出等腰三角形的图形，建立直观形象的数学模型,调动学生的主动性.）
师：非常棒，那么利用这个小实验我们可知，等腰三角形的两底角（相等）折痕处在什么位置？
生：顶角的角平分线，底边的高，底边上的中线（合称三线合一）。
师：而我们知道最直接证明等腰三角形的方法是定义，除去定义外等角对等边也是证明的方法，它的用法上节课我们也强调过。
∵∠B=∠C
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
（设计意图：利用小实验，让学生更直观的回顾知识点）
看来同学们对上节所学掌握都很扎实，那就以几个小题检测一下，要求：说出答案的同时，需说明它所考查的知识点。
1、若AB=AC，∠B=70°，∠C=
.
2、若∠B=∠C，AB=5，AC=
.
3、已知：AB=AC，AD⊥BC，若BD=3，则CD=
，若
∠BAC=40°，则∠BAD=
.
师：三线是哪三线呢？
生：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高。
二、生疑——提出猜想
师：既然顶角的这三线有如此不凡的关系，那么等腰三角形的底角上这些线又有怎样的关系呢？
牛顿说：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现。”同学们就这三个图形，你的猜想是怎样的呢？
（设计意图：利用图形引发学生思考，利用名人名言，激励学生大胆给出假设。）
三、寻疑——给出猜想
生：我通过观察图形发现底角的角平分线，腰上的高，腰上的中线分别相等。
师：你们同意它的观点吗？
生：同意。
师：一个猜想提出后，在没有加以证明前，它永远只是一个猜想，所以针对以上猜想，我们得要证明。
四、释疑——证明猜想
师：针对文字语言叙述的几何证明题，做题步骤是怎样的呢？
（设计意图：让学生明确证明过程）
生：画出图形，写出已知，求证和证明（单个学生回答）。
师：作答思路清晰，语言表达流畅，在这个过程的基础上，老师给出了证明两底角的角平分线相等这一命题的图形和已知求证，请分析已知条件思考根据条件如何证明结论？
生；可以利用三角形全等证明。
师：方法找到后我们就要去寻求证明的条件，已知中可用的条件有哪些？
生：利用等腰三角形的性质，等边对等角结合角平分线利用ASA证全等。
师：思路清晰，作答准确，请把做题方法整理在学案上。
（设计意图：培养学生正确运用所学知识的应用能力.并能综合运用所学知识解决问题.此外,在一题多解的题目中,开阔学生解题的视野,并能选取好的方法.激发学生学习数学的兴趣.）
师：对于余下两个命题的证明我们采用PK制，要求：
（1）全班分成两组，每组只做对应一题，书写完整步骤.
（2）每组各推选一人上台板演、讲解,优胜者获评为今天的“讲题小明星”.
请小组推选代表上台。
生：迅速投入到各自组内，代表上台板书讲解。
师：你写的非常快请自查一下，如无需改正，请回到座位。
（生生评价）。
师：通过结论的得出过程我们可知全等是证明线段相等的常用方法。
五、答疑——给出结论
师：由此我们可以得出结论
1、等腰三角形两底角的平分线相等.
2、等腰三角形两条腰上的中线相等.
3
、等腰三角形两条腰上的高相等.
（设计意图：通过学生动手实践和理论证明得出结论的正确性.并在此基础上.得出其它相应的结论,培养学生的发散思维.）
师：在解答猜想和结合上节所学这一基础上，我们进行小组合作探究，要求：
1、2分钟独立思考，分析思路。
2、小组讨论，组长收集组内的不同做法，哪个小组方法又多又好，评为今日的“明星组合”。
（设计意图：在一题多解的题目中,开阔学生解题的视野,并能选取好的方法.激发学生学习数学的兴趣.。）
本题采用实投讲解。
生：我们小组有两种做题方法，分别是证明全等和利用角平分线的性质。
师：看来你们小组讨论的非常到位，还有哪个小组有不同解法。
生：我们组除了一组那两种方法外还有证明△ABE≌△ACD。
师：另辟蹊径也是一个好方法，老师将利用三线合一证明本题的方法打在了多媒体上，请同学们仔细观察你能告诉我三线合一应用的条件吗？
1
两边相等。
2
知一推二
（设计意图：在证明猜想和合作探究的过程中，进一步体会证明的必要性。）
六、一路采撷，一路收获
我的收获……
我的不足……
我努力的方向……
（设计意图：总结回顾学习内容，学会总结、反思）
师：看来大家的收获都是满满当当的，带着我们的收获，
我们来检测一下。
七、检测提升
☆(1)如图,∠C=40°,CD=BD,AB=AD,则∠A=(
)
A.40°
B.20°
C.25°
D.30°
☆☆(2)已知等腰△ABC,点D为BC的中点，
AB=5,BC=6,则AD=_______
☆☆☆(3)如图，AB=AC，点D为BC的中点，
DE⊥AB,
DF⊥AC，求证：△DEF是等腰三角形等腰三角形第三课时
教学设计
教学内容：第十章
第二节
等腰三角形第三课时
教学目标
1．知识与技能
（1）.学会等边三角形的判定方法。
（2）.探索并掌握“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”性质定理。
2．过程与方法
经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，通过学生观察、猜想、类比等，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系进一步培养和提高学生的识图能力和动手操作的能力，认识类比的数学思想方法．
3．情感态度与价值观
会运用有一个角为30°的直角三角形的性质解决问题，培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力。
重、难点
重点：有关性质、判定方法的学习。
难点：性质和判定的应用。
教具准备
三角板、多媒体设备．
教学过程
一、1.出示学习目标（课件展示）
回顾：如何判定一个三角形是等腰三角形？
2.自主预习：
创设教学情境：
同学们，想一想满足什么条件的三角形是等边三角形？
思考：问题:等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？
思考1 一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？
思考2 一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？
3.学生自主学习，完成思考题，并加以证明：
二、展示交流：
4．小组汇报交流纠正错误
讲解例1 ：如图，△ABC
是等边三角形，DE∥BC,
分别
交AB，AC
于点D，E．求证：△ADE
是等边三角形.
追问 本题还有其他证法吗？
注意：变式1.2根据课堂时间决定课上做还是课后做
探究新知：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边
等于斜边的一半
【教师活动】提问：将两个含有板有30°的三角尺如图摆放在一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
【学生活动】30°角所对的直角边是斜边的一半
【教师活动】∵△ABC与△ADC关于AC轴对称∴AB＝AD，
∠B=
60°显然△ABD是等边三角形又∵AC⊥BD∴BC＝DC＝
AB你还能用其他方法证明吗?
【学生活动】通过本章知识的学习，学生写出已知、求证。通过分析法和综合法
能发现需要添加辅助线才能完成证明
【教师活动】小组讨论。哪个组有思路的请举手。谁来尝试一下？
【学生活动】延长
BC到点D，使BC=CD,连接AD。辅助性的目的，构造一对全等三角形，转化AB，∠B=60°可证明△ABD是等边三角形，AB=AD.就可证明BC=AB
【学生活动】类比第一种方法，对定理进行第二种方法的证明。
5.教师精讲点拨
典例精析：
已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为2a.
求:腰上的高.
【学生活动】让学生在白板墙书写展示时重点交流分析思路，
【设计意图】图形中15°角不能直接运用，如何通过已知条件来找到30°条件，从而应用性质定理。
【问题应对】学生一般只会从求进行分析,添加辅助线，做出一腰上的高。利用外角顺利找到30°角从而解决问题。
三、反馈拓展
6.课堂巩固训练
小试身手：
1.在△ABC中，∠C=90°,
∠B=60°,BC=7,则∠A
=
----------,AB=----------
2.在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:2:3,若AB=10,则BC=----------
3.如图Rt△ABC中，CD是斜边AB
上的高，若∠A=30°，BD=1cm,
那么∠BCD=_____,
BC=_____.
【学生活动】独立完成，抽学生交流，展示自己的做题思路。
【设计意图】
让学生通过简单图形找到定理应用的基本图形，加强对定理的认识。
【问题应对】个别学生第二题找不到直角三角形，引导学生设份求出30°及90°角，从而应用定理。
巩固提升：
1.如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°,
CD⊥AB于D,
∠A=30°,且AB=8cm,
则BC=
----------
,
∠BCD=----------,
BD=
----------
,AD=
----------
,
2.如图△ABC是等边三角形，
AB=5cm,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,
垂足分别为D、E、F点，
则∠ADF
=______,
BD=______，
BE=_______.
【学生活动】独立完成,集体展示，重点讲解第二题。
【教师活动】观察发现两个双垂型的直角三角形，多个定理应用的基本图形。
【设计意图】检查学生能否灵活运用“直角三角形30°角”的性质进行证明。让学生通过对复杂图形的研究，透过现象看本质，复杂图形就是多个基本图形的组合。
我能行！
在Rt△ABC
中，
如果∠BＣＡ＝
９0°
，
∠A＝
30
°，CD是高，
求证：BD=
=
=
【学生活动】独立完成,抽一生到大屏幕书写，注重步骤书写规范。
【设计意图】复杂图形如何书写规范步骤，如何找到不同直角三角形中的两边关系。
勇攀高峰：
如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD=
3，∠ADB=30°，求BE的长．
【学生活动】独立思考，集体交流。
【教师活动】提问：你是利用哪些条件找到全等三角形的？
第二问是如何找到定理基本图形的？
【设计意图】综合运用了全等三角形、等腰三角形、直角三角形30°角的性质及勾股定理的知识，让学生体会三边之间的关系，为下节课做铺垫。
7.实践运用：
下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、
DE
垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°，立柱BC
、
DE要多长?
（思考 图中BC、DE
分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是
多少度？）
8.教学小结提升
知识：
方法：
自我评价本节课的表现：【设计意图】学生能对自己本节课的表现客观的打分，能表达出来的就是学生自己学会的。鼓励学生说出自己的收获及不足，让每一个学生都对本节课的知识进行梳理，加深印象。
9.课堂达标检测
(1).
如图5,
等边△ABC,延长BC至D,使AC=CD,连结AD,则∠BAD的度数是……（
）
A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
(2).
如图6,正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于……………（
）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
(3)．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（
）
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④
(4).
如图7，是等边三角形，=90°，BD=BC,
则的度数是________.
10、布置作业：
选做题:
.如图11，△ABC是一个等边三角形，点D、E分别在AB、AC上，F是BE和CD的交点，已知∠BFC＝120°．则AD＝CE．请说明理由.
板书设计：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角为60°的等腰三角形
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都
等于60°.
在直角三角形中，30°所对直角边是斜边的一半
A
B
C
D
E
A
C
B
15°
15°
C
D
B
A
C
D
B
A
A
C
E
B
F
D
C
D
B
A
C
E
D
A
B
图11
图5
图7《等腰三角形》第一课时教学设计
教学目标：
1.知识与技能?
（1）经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的性质定理；?
（2）掌握等腰三角形的性质，能灵活地运用他们进行论证和计算。?
2.过程与方法
通过对等腰三角形性质定理的证明，掌握综合法证明问题的方法，并提高分析问题、解决问题的能力，体会分类讨论和方程的思想。
3.情感态度与价值观
通过合作探索、自主学习、小组讨论等学习活动，体验数学学习活动充满探索性、创造性和趣味性，培养学习数学的热情和自信心。
教学重难点：等腰三角形性质定理的证明过程，特别是证明等腰三角形性质时辅助线的作法。
教学环节：
情景引入：
让学生观察教师手中的三角形，让学生回答、思考回顾等腰三角形的定义、腰、底边、顶角以及底角的概念，引导学生回答等腰三角形的对称性。
有两条边相等的三角形叫做______。
相等的两条边叫做______；另一条边叫做______边。
两腰所夹的角叫做______；底边与腰的夹角叫做______。
师提出问题，生回答，其余生补充。点题，引入课题。
设计目的：激起学生的兴趣，激发学生的学习欲望，复习回顾等腰三角形的有关概念。建立本节知识的生长点，为证明性质奠定基础。
学习过程：
自主学习
已知：在△ABC中，AB=AC。
求证：∠B=∠C；
小组讨论思考：
（1）通常如何证明两个角相等？
（2）如何构造两个全等的三角形?
学生小组内合作交流.师巡视，适时指导。分组展示交流结果，学生学案上完成，学生上台讲解学生作品。（若学生只找出两种方法，教师补充作底边上的高，利用勾股定理证明的方法）
课件展示两种证法的详细过程，生核对答案。
师生总结：性质定理1等边对等角
文字语言：等腰三角形的两个底角相等。
符号语言：
设计目的：让学生自主学习，充分发挥学生的主体性。启发学生寻找添加辅助线的方法，多种方法展示，拓宽视野。数学符号语言的书写，为解题规范打好基础。
证明性质2：三线合一
思考：由△ABD
≌
△ACD，除了可以得到∠
B=∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
师生总结：性质定理2“三线合一”
等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。
用几何画板演示等腰三角形三线合一。
设计目的：让学生直观感知三线合一，结合学生的发现，更有利于学生理解。
利用等腰三角形的“三线合一”填空：
如图，在ABC中，AB=AC
（1）∵AB=AC,AD⊥BC
∴∠______
=
∠_____；
______
=
______
（2）∵AB=AC,AD是中线
∴_____
⊥_____；∠_____=
∠_____
（3）∵AB=AC,AD平分∠BAC
∴____
⊥
____；____=
____
牛刀小试：
在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AD=AE,∠B=
80°,求∠CDE的度数.
设计目的：通过问题串，层层递进，得出结论。
能使每个学生都积极的参与到课堂之中，同时体现了利用几何逻辑推理的形式充分的把等腰三角形的性质进行再现,再一次体现了性质的重要性。
【畅谈收获】
互讲本节课所学的内容，总结本节课所学的知识和应注意的问题，然后请一位同学总结，若小组内不能解决的困惑可举手提问.
设计目的：通过谈收获，梳理本节课的知识，形成知识体系，同时渗透方法指导，“举一反三”。
【基础闯关】
1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出其它两个角的度数。
2.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
___________.
3.已知等腰三角形的两边长为5和6，则它的周长为?
___________.
4.
如图，在△ABC
中，
AB=AC，
∠BAC的平分线交
BC边于点D
，AB=5
，BC=6
，则AD=
??
?
?
?
?
??。
5.如图所示，已知△ABC的周长是24，且AB=AC,又AD⊥BC，D为垂足，若△ABD的周长是20，则AD的长为（
）
A、6
B、8
C、10
D、12
设计目的：检测学生的学习效果，发动学生帮助教师批改，扩大了批改范围，提高了教师对学生掌握程度的了解，以便于及时查缺补漏.
满足不同程度学生的需求，让不同层次的学生都能体会到成功的快乐.
A
B
C
A
B
C
图形语言：
A
B
C
第1题图
第4题图
第2题图
PAGE
