《数学广角---鸽巢问题》教学设计
【教学目标】：
1．知识与能力目标：
经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。
2．过程与方法目标：
经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3．情感、态度与价值观目标：
通过“鸽巢原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。
【教学重点】：
经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。
【教学难点】：
理解“鸽巢原理”，解决简单的实际问题。
【教学过程】：
一、游戏激趣，初步体验。
（新课前，我们点5名同学每个人从除去大小王剩下52张扑克牌中随意抽取一张。）
师：同学们，今天我们来玩扑克牌游戏！
师：一副扑克牌，除去大小王，还有几种花色？
预设：四种，红黑梅方。（右边黑板板书，便于统计）
师：请5个学生来任意抽一张，你来，你来，你来，你来，你来。
师：老师敢肯定至少有2个学生抽取的花色是相同的，来我们一起验证一下（依次请五个学生报出花色，教师及时在黑板上统计）
师：其实在刚刚的游戏中蕴藏着一个数学原理：鸽巢原理。今天我们就来学习一下第五单元数学广角中的鸽巢问题。
【设计意图：通过扑克牌游戏，引出课题：鸽巢问题；简单的介绍该内容的出处，让学生有一个整体的感知。】
二、自主学习，初步感知
1、出示例1：
把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么?
师：请同学们看大屏幕，齐声将例1读一遍。
师：“总有”你怎么理解？“至少”又是什么意思？
预设：总有就是一定有，比如，至少2支，就是最少是2支，也可以是3支，4支等。
师：情况真的是这样吗？来，我们小组内一起研究一下。
环节一：【设计意图：先进行小组合作，然后让学生边说边摆放，在老师的引导下，验证是否符合题目中的要求，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。】
师：出示小组合作的要求。
师：哪个小组来汇报，你们有哪几种摆法？
预设：一个笔筒放4支，另外2个笔筒不放。
预设：一个笔筒放3支，另一个笔筒放1支，剩下的1个笔筒不放。
预设：一个笔筒放2支，另一个笔筒也放2支，剩下的1个笔筒不放。
预设：一个笔筒放2支，另外2个笔筒个放一支。
师：还有其他的摆法吗？
预设：没有！
师：来，我们验证一下这四种摆法。观察第一种摆法，这样的笔筒你找到了吗？
预设：第一种摆法中的第一个笔筒，放了4支，符合总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。
师：第二种摆法呢？
预设：有一个笔筒放了3支，符合总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。
师：那第三种摆法呢？
预设：前面两个笔筒都放了2支，也是符合总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。
师：第四种摆法呢?
预设：第一个笔筒放了2支，符合总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。
环节二：【设计意图：借助四种摆法，让学生观察进一步的分析，并理解重点研究第四种摆法，也就是考虑最少的情况就可以直接说明不管怎么放总有一个笔筒里至少有2支铅笔】
师：还真的都符合，不管怎么放，总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。
师：大家观察一下哪一种摆法得到的结论中的铅笔数是最少的？
预设：第四种摆法。
师：前面三种和第四种摆法有什么区别？
预设1：其他三种摆法都出现了笔筒空着的情况。
预设2：第四种摆法中每个笔筒都放了笔。
师：想一想，怎样放可以保证，笔筒都不空着？
预设：先每个笔筒中，各放1支笔，然后在考虑剩下1支,不管放进哪一个笔筒,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
环节三：【设计意图：通过教师引导，让学生理解平均分的含义】
师：刚才这个同学每个笔筒首先各分1支，其实就是怎么分？
预设：平均分。
师：对，平均分。
【设计意图：通过列举、观察、分析等活动，让学生意识到，只有尽可能的平均分，才能够保证不管怎么放，总有一个笔筒至少放进了2支铅笔，】
三、感受规律，规范描述。
1、先画一画,再说理由。
师：如果把5支铅笔放入4个笔筒中，总有一个笔筒里至少放2支铅笔。为什么？
预设：首先在每个笔筒里各放1支笔，这样一共放了4支笔，剩下的1支笔，不管怎么放，总有一个笔筒至少放了2支笔。
师：如果把6支铅笔放入4个笔筒中，总有一个笔筒里至少放2支铅笔。为什么？
预设：首先在每个笔筒里各放1支笔，这样一共放了4支笔，剩下的2支笔放进四个笔筒中的任意两个，所以，不管怎么放，总有一个笔筒至少放了2支笔。
师：和第1小题比较一下，为什么铅笔的支数变了,结论却还是一样？
预设：我发现第一次平均分过后，不管剩下1支还是剩下2支,都要再一次尽量的平均分,这样才能保证是最少的情况,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
师：真不错，看来你已经真正理解了为什么要平均分。
师：其实刚刚我们研究的就是著名的鸽巢原理，请大家看大屏幕。
2、介绍“鸽巢原理”。
你知道吗？抽屉原理是组合数学中的一个重要原理，它最早是由德国数学家狄利克雷（Dirichlet）提出并运用于解决数论中的问题，所以该原理又称“狄利克雷原理”。抽屉原理有两个经典案例，一个是把10个苹果放进9个抽屉里，总有一个抽屉里至少放了2个苹果，所以这个原理又称为“抽屉原理”；另一个是6只鸽子飞进5个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子，所以也称为“鸽巢原理”。
师：回到例题，那今天这节课与鸽巢原理有什么联系呢？
预设：例题中的铅笔就可以看作鸽子，笔筒就可以看作鸽巢。（板书：鸽子数
鸽巢数）
师：同学们学会了吗？想不想挑战一下。
【设计意图：通过变式的练习说理由，进一步规范描述，感受“鸽巢原理”的数学魅力】
四、巩固练习。
（1）出示例2：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么？如果有8本书呢?
10本书呢？
师：问题太多了，你能用数学的知识来解答吗？
预设：7÷3=2……1
2+1=3
预设：8÷3=2……2
2+1=3
预设：10÷3=3……1
3+1=4
师：请同学们观察一下这些算式，你有什么发现？
预设：我发现，至少放进的几本书，就等于除法算式中的商加上1.
师：真不错，是的，以后对于这种求鸽巢问题，我们可以总结出这样的一个关系式子，即：（方法）鸽子数÷鸽巢数=商……余数
（结论）总有一个鸽巢里至少飞进“商+1”只鸽子。
（2）随意找13位学生，他们中至少有2个人的属相相同。为什么?
预设：13÷12=1……1,
1+1=2
所以，他们中至少有2个人的属相相同。
（3）练一练：张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于几环？
预设:
41÷5=8……1
8+1=9
张叔叔至少有一镖不低于9环。
【设计意图：将鸽巢问题由具体到抽象，让学生经历求鸽巢问题的建模过程，学会运用鸽巢原理，解释生活中的问题】《数学广角——鸽巢问题》教学设计
设计理念：
《鸽巢问题》既鸽巢原理又称抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。
首先，用具体的操作，将抽象变为直观。“总有一个筒至少放进2支笔”这句话对于学生而言，不仅说起来生涩拗口，而且抽象难以理解。怎样让学生理解这句话呢?我觉得要让学生充分的操作，一在具体操作中理解“总有”和“至少”;二在操作中理解“平均分”是保证“至少”的最好方法。通过操作，最直观地呈现“总有一个筒至少放进2支笔”这种现象，让学生理解这句话。
其次，充分发挥学生主动性，让学生在证明结论的过程中探究方法，总结规律。学生是学习的主动者，特别是这种原理的初步认识，不应该是教师牵着学生去认识，而是创造条件，让学生自己去探索，发现。所以我认为应该提出问题，让学生在具体的操作中来证明他们的结论是否正确，让学生初步经历“数学证明”的过程，逐步提高学生的逻辑思维能力。
最后，适当把握教学要求。我认为，在本节课的教学中只需要求学生将其中的道理说明白，不需要学生确定过于抽象的“鸽巢”和“物体”，更不需要将解决鸽巢原理问题的数学模型强加于学生。
教材分析：本教学设计是《鸽巢问题》的第一课时，主要通过第一个例题教学，介绍了较简单的“鸽巢问题”：只要物体数比鸽巢数多，总有一个鸽巢至少放进2个物体。它意图让学生发现这样的一种存在现象：不管怎样放，总有一个筒至少放进2支笔。呈现两种思维方法：一是枚举法，罗列了摆放的所有情况。二是假设法，用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。通过前一个例题的两个层次的探究，让学生理解“平均分”的方法能保证“至少”的情况，能用这种方法在简单的具体问题中解释证明。
教学内容：
人教版《义务教育教科书——数学》六年级下册第68页例1及做一做。
教学目标：
1．通过数学活动让学生了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法，并能够解决简单的实际问题。
2．结合具体的实际问题，通过实验、观察、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。
3．在主动参与数学活动的过程中，让学生切实体会到探索的乐趣，让学生切实体会到数学与生活的紧密结合。
教学重点：
初步了解鸽巢原理,
掌握先“平均分”，再调整的方法。
教学难点：
理解“总有”“至少”的意义，初步建立鸽巢原理问题的数学模型。
教学准备：
多媒体课件，小棒，杯子，合作探究作业纸。
教学过程：
一、游戏激趣，初步感知
1.游戏：请5名学生，从一副去掉大小王的52张扑克牌中，每人任意抽取1张。
师：下面见证奇迹的时候到了，老师猜这5张牌中，至少有2张是同花色的。
学生亮牌，验证猜想。
2.揭示课题：其实在刚才这个游戏中，蕴含着一个非常有趣的数学问题，今天这节课我们就一起走进数学广角，研究这个问题。（板书：数学广角）
[设计意图：联系学生的生活实际，激发学习兴趣，使学生积极投入到后面问题的研究中。]
二、合作探究，发现规律
1.提出问题，寻找结论。
师：要想弄明白这个问题，我们从简单的问题入手。
（1）课件出示：把4支铅笔放进3个笔筒中，可以怎么放？有几种不同的放法呢？
（2）学生动手操作，小组内合作完成，并将不同的放法用记录下来。
合作要求：①4人小组分工合作，用小棒当铅笔，杯子当笔筒，摆一摆。
②用比较简洁的方法将摆放的所有情况记录在合作学习报告单上，不重复，不遗漏。注意：不考虑笔筒的摆放顺序。
学生动手操作，记录。
（3）反馈交流，展示枚举法。
根据学生回答，板书四种放法。
师：我们把所有的摆放情况一一列举出来的方法，在数学里叫做“枚举法”。（板书：枚举法）
（4）得出总结：不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
师：通过4种不同的放法，能得出一个什么样的结论呢？这个结论就是：不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
师：说得对吗？（学生表示置疑）
课件再现四种放法。
（5）引导学生验证，理解“总有”和“至少”的含义。
师：为什么“不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”？这里的“总有”、“至少”是什么意思？
学生在小组内讨论、交流。
师：“总有”是什么意思呢？
生1：一定有。
生2：肯定有。
师：也就是3个笔筒里只要有一个笔筒里有就行了。所以，我们就找每一种放法中，放笔最多的那个笔筒里放了几支笔。
师：第一种放法中最多的笔筒有几支？（4支），第二种放法中最多的笔筒有（3支），第三种有（2支），第四种也有（2支）。
师：刚才说“不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”，第一、二种里有一个笔筒里有4、3支，符合吗？
生：符合。
师：那怎么理解“至少”？
生1：最少。
生2：不少于。
师：可以多余2支吗？
生：可以。
师：看来，以上四种放法都满足至少2支，所以这个结论是正确的。请你再与你的同桌交流一下你对于这个问题的认识。
[设计意图：鸽巢问题对于学生来说，比较抽象，特别是“不管怎么放，总有一个筒里至少放进了2支笔。”这句话的理解。所以通过具体的操作，枚举所有的情况后，引导学生直接关注到每种分法中数量最多的筒，理解“总有一个筒里至少放进了2支笔”。让学生初步经历“数学证明”的过程，训练学生的逻辑思维能力。]
2.假设法论证，确认结论。
（1）设疑，引出假设法。
师：同学们，如果把100支铅笔放进99个笔筒里，再用枚举法把所有的情况像这样都一一列举出来，这样适合吗？（不适合）所以，我们必须再找一个更好的方法来。
（2）引导学生思考更快的方法，找到假设法。
师：刚才四种不同的摆法中，你觉得哪些种放法能更快地得出这个结论呢？
生：第四种。
师：第四种放法是怎样摆放的？
生：如果每个笔筒先各放一支，那剩下的一支无论放到哪个笔筒里，总有一个笔筒里至少放进了2支铅笔。（学生边摆边说）
（3）理解“平均分”，确认结论。
师：每个笔筒里先各放一支，其实就是把这些铅笔先要怎么分？
生：先要“平均分”。
师：“平均分”是什么意思？平均分是怎么分的？
师根据学生回答演示摆放的过程。
师：这种方法就是运用“平均分”的思想。（板书：平均分）我们可以从最不利的情况考虑：假设先放3支，在每个笔筒里各放1支，剩下的1支不管放进哪个笔筒里，总有一个笔筒里至少放进了2支铅笔。我们把这种方法叫“假设法”。（板书：假设法）解决这类问题，我们一般采用“假设法”比较容易理解。
[设计意图：鼓励学生积极的自主探索，寻找不同的证明方法，在枚举法的基础上，学生意识到了要考虑最少的情况，从而引出假设法渗透平均分的思想。]
三、提升思维，构建模型
1.加深感悟。
（1）把5支铅笔放进4个笔筒里，总有一个笔筒里至少有几支铅笔？为什么？
生：我先拿4支铅笔，每个笔筒里放一支，余下一支不管放进哪个笔筒，总有一个笔筒里至少放2支。
（2）引导学生继续思考：把6支铅笔放进5个笔筒呢？10支铅笔放进9个笔筒？100支铅笔放进99个笔筒呢？（学生一一回答）
2.建立模型。
（1）引导学生观察这些铅笔数和相应的笔筒数，得出：只要铅笔的数量比笔筒的数量多1，那么总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
（2）课件呈现：8只鸽子飞回7个鸽巢，10个苹果放进9个抽屉。
根据这两句话，让学生得出结论。
师：这里的鸽子和苹果相当于刚才研究的什么？
生：铅笔。
师：鸽巢和抽屉相当于什么？
生：笔筒。
3.介绍“鸽巢原理”。（课件出示数学小知识）
鸽巢问题里面蕴含的数学原理，我们叫做“鸽巢原理”或“抽屉原理”，它最早由德国数学家狄利克雷提出来的，因此，该原理又称作“狄利克雷原理”。
其实这位科学家是通过留心观察生活中鸽子飞进鸽巢的现象，才发现了这个伟大的原理。只要同学们留心观察生活中的事物，也会有惊人的发现。（板书：鸽巢问题）
四、应用原理，解决问题
1.提高练习
（1）5只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？
课件演示，关键说明：为什么剩下的2只鸽子，又要分别飞进2个不同的鸽笼？
（2）7个苹果放进4个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有多少个苹果？（课件演示，学生回答）
[设计意图：引导学生用平均分思想，并能用有余数的除法算式表示思维的过程。]
2.运用原理，解释生活现象
（1）随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？
（2）一副扑克牌，拿走大、小王后还有52张牌，任意抽出其中的5张牌，那么至少有2张是同花色的。你能说明其中的道理吗？
学生运用所学知识一一解释。
[设计意图：让学生体会平常事中也有数学原理，有探究的成就感，激发对数学的热情。]
五、全课总结
师：同学们，我们来回顾这节课的学习，你有什么收获？
附：
《鸽巢问题》
学
习
报
告
单
研究问题
把4支铅笔放进3个笔筒中，可以怎么放？有几种不同的放法呢？
摆一摆
4人小组分工合作，用小棒当铅笔，杯子当笔筒。注意：不考虑笔筒的摆放顺序。
画一画用比较简洁的方法将摆的所有情况记录下来。注意：不重复，不遗漏。
