鸽巢原理
【教学内容】人教2011新课标版六年级数学下册
【教学目标】
1、初步了解鸽巢原理，运用鸽巢原理知识解决简单的实际问题。
2、通过动手操作、画图、推理等活动，使学生会运用多种方法去解决问题。
3、培养学生合理的逻辑思维能力和推理能力，提高学生解决问题的动手能力，培养学生学习数学的兴趣。
【教学重点】经历“鸽巢原理”
的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。
【教学难点】理解“鸽巢原理”，并对一些简单的实际问题加以模型化。
【教具学具】小棒、杯子、课件
【教学过程】
一、课前游戏引入。
师：同学们，在上课之前，我们先玩个小游戏：请四位同学，愿意来？（出示：智力大比拼----你来躲我来猜！）？再请一位同学上来帮忙记分。
师：游戏规则是这样的：四位同学任意站在这3个圈子里，每个人都必须站进去。我来猜你们站的情形，猜中了，老师加10分，没猜中，同学们加10分。看谁的得分多！
师：站好了吗？我要开始猜咯～有一个圈子里站着4个人！（不对）
师：有一个圈子里站着3个人！（不对）
师：有一个圈子里站着2个人！（不对）
师：有一个圈子里至少站着2个人！
生回答若说：错了。则：
师：错了吗？想想，至少2个是什么意思？
生：不少于两个，可能是2个，也可能是多于2个。
师：哈哈哈，再猜！如果我的猜法不变，就是总有一个圈子里至少站着2个人！大家帮四位同学调整调整，看看能否战胜老师！（过了一会儿问）发现了什么？
师：为什么战胜不了我呢？其实这里蕴含着一个有趣的数学原理（板书：数学广角——鸽巢原理）。这节课我们就一起来研究这个原理。下面我们开始上课！
【设计意图：在课前进行的游戏激趣，一使教师和学生进行自然的沟通交流；二激发学生的兴趣，引起探究的愿望；三为今天的探究埋下伏笔。】
二、新课
（一）、建立概念
1．出示题目，请一位同学读题：有4枝小棒，3个杯子，把4枝小棒任意放进3个杯子里，可以怎么放？有几种不同的放法？
老师友情提示：不考虑摆放顺序哦。
生讨论后汇报。请几组同学上来展示。
展示式子表示法：
4＋0＋0＝4
3＋1＋0＝4
2＋2＋0＝4
2＋1＋1＝4
?
一
二
三
四
第1笔筒
4
3
2
2
第2笔筒
0
1
1
2
第3笔筒
0
0
1
0
展示表格法：
再展示数字记录法：
、（4，0，0）
、（3，1，0）
、（2，1，1）
、（2，2，0）
【设计意图：展示不同的记录方法，呈现学法多样性。】
师：现在老师把同学们刚才摆的四种方法都罗列出来（课件出示带盒子的四种摆法），请仔细观察这些小棒的摆放情况（横向指一行行的盒子图），你能发现什么？
这个结论比较难上口，请同桌之间也相互说一说。
【设计意图：鸽巢原理对于学生来说，比较抽象，特别是对“总有一个杯子里至少有2枝小棒”这句话的理解。所以通过具体的操作，列举所有的情况后，引导学生直接关注到每种分法中数量最多的文具盒，理解“总有”以及“至少”。训练学生的逻辑思维能力。】
师：把4枝小棒放进3个杯子里，不管怎么放，总有一个杯子至少有2枝小棒。这是我们通过实际操作、观察发现的结论，这种方法很直观。那么，我们能不能不摆，也能得到这个结论呢？
学生思考——组内交流
师：哪一组同学先汇报你们的想法？
生1：4÷3＝1……1
生2：假设每个杯子里放一枝小棒，3个杯子共放了3枝，还剩下1枝，不管怎么放入哪个杯子，总有一个杯子里至少有2枝小棒。
师：这种推理方法，实际上是刚才放法的第几种？（2，1，1）课件展示这种分法的摆放过程。
师：刚才我们用操作和平均分等方法解决了这个问题，下面还有3个问题，请用你们喜欢的方法解决它们吧！出示题目
把6枝小棒放进5个杯子里呢？
把7枝小棒放进6个杯子里呢？
把100枝小棒放进99个杯子里呢？
随学生回答板书。
（二）、建立模型
师：刚才我们研究的都是特殊的情况（指板书让学生对观察，生：商是1余数是1），你们想想，我们还可以研究鸽巢原理的哪些情况呢？
商不是1时的情况，余数不是1时的情况。
1．出示题目：
把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？如果是7本呢？9本呢？
（留给学生思考的空间，师巡视了解各种情况）
2．学生汇报。
生答后师板书除法算式。
师：观察板书，要求一个抽屉里至少有几本书，可以怎么求？
学生思考得出：
“商+
1”与“商+余数”两种方法。
师：看来争论的焦点是余数，那到底是商+1还是商+余数呢？请看这道题。出示：
如果把5本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
生1：至少有3本书。生表述想法
师：还有不同的意见吗？
生2：至少有2本书。生表述想法
【设计意图：从余数是1到余数是2，让学生再次体会要保证“至少”必须尽量平均分，余下的数也要进行二次平均分。】
师：现在大家都明白了吧？那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢？（板书：商+1）
师：同学们的这一发现，称为“鸽巢原理”，“
鸽巢原理”又称“鸽笼原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄利克雷原理”。
这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。看！（出示题目）
【设计意图：让学生体会日常生活中也有数学原理，体会数学在生活中的实际用处，激发对数学的热情。】
1、张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
2、一年有12个月，全班有42个同学，那么其中至少有几个同学的生日在同一个月？
3、一个口袋里放有红色、黄色、绿色三种颜色的球若干个，现在从中取出一球，问：至少取出多少个球，才能肯定有5个球的颜色是相同的？
总结：“鸽巢原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果哦。同学们如果有兴趣继续研究这个原理，那在下课后去图书馆或网络上多找找这方面的知识，和同学、老师一起探讨吧！我期待着在同学们之间出现许多的小小数学家！
设计思路
数学课程标准指出，数学课堂教学是师生互动与发展的过程，学生是数学学习的主人，教师是课堂的组织者，引导者和合作者。本节课的教学注重为学生提供自主探索的空间，引导学生在观察、猜测、操作、推理和交流等数学活动中初步了解“鸽巢原理”，学会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。
1、经历“数学化”的过程。
“建立概念——建立模型——应用模型”是本节课运用的模式，设计了丰富多彩的数学活动，让学生经历“鸽巢原理”的探究过程，从探究具体问题到类推得出一般结论，初步了解“鸽巢原理”，并在此基础上建立该原理的模型，最后到实际生活中加以应用，在问题中找出哪个是原理中的抽屉，哪个是是个数，从而灵活地解决实际问题。让学生经历“数学化”的过程，学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维能力。
2、提供探索空间。
本节课探究原理的过程充分放手，让学生自主思考，同桌合作，操作并记录小棒的摆放方法：“把4支小棒放入3个杯子中，不管怎么放，总有一个杯子里至少有几支小棒”，然后交流展示，针对学生的不同方法教师给予针对性的鼓励和指导，让学生在自主探索中体验成功，获得发展。
3、注重引导提升。
本节课的教学，有意识地培养学生的“模型”思想，让学生理解“抽屉问题”的“模型化”。在学生自主探索的基础上，教师引导学生对商不是1和余数不是1两种情况进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题；在学生解决了“m
n支小棒放入m个杯子”的问题后，对原理进行总结，得出一般性的结论。这样设计，提升了学生的思维，发展了学生的能力。
教学反思：
鸽巢原理是六年级下册数学广角中的内容，这部分教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢原理”，使学生理解“鸽巢原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢原理”加以解决。
实际教学后，本节课有许多值得反思的地方：
1、《鸽巢原理》的教学要适当把握教学的要求。
该内容只要求学生能结合具体问题得出结论并把大致的意思说出来就可以了，不必过于追求说理的“严密”性。因此在学生说理由时，只需学生说能说明理由与思考过程就行了，不必对语言的严谨表达过于要求。比如有的学生描述结论时说“有一个杯子里至少有2支小棒。”也是对的，不必一定要说“总有一个杯子里至少有2支小棒。”在试上初期一直去抠学生的这些表达问题，结果把最主要的环节“平均分”时间给占了。
2、对原理的探究要让学生经历从具体到抽象的过程。
这个原理做为奥数中的内容，在新教材中出现，不但表述十分拗口，而且相当难理解，为了让大多数学生能较好的掌握、理解，我在教学过程中让学生进行充分的操作，以便让学生理解其中的关键字“总有”、“至少”，理解了这两个关键字后，对原理的理解就相对简单多了。所以在教学这个原理时，要先让学生进行充分的操作，在操作中感受“至少”是什么意思，“总有”指的是哪个抽屉。在先前的试上中，这里进行的太快了。虽然部分学生很顺利地得出结论，但不能代表所有的学生都理解了，许多学生此时还只能机械地重复别人的结论，不能理解这些结论是怎么产生的，从而也为后面的教学环节制造了障碍
3、注重“说理“活动，培养学生逻辑能力。
在这节课中，由于我提供的数据比较小，为学生自主探究和自主发现“鸽巢原理”提供了较大的空间。特别是通过学生归纳总结的规律：到底是“商＋1”还是“商＋余数”，引发学生的思维步步深入，并通过讨论和说理活动，使学生经历了一个初步的“数学证明”的过程，培养了学生的推理能力和初步的逻辑能力。
鸽巢原理
4÷3=1……1
6÷5=1……1
7÷6=1……1
100÷99=1……1
5÷2=2……1
2+1=3(本)
7÷2=3……1
3+1=4(本)
9÷2=4……1
4+1=5(本)
5÷3=1……2
商+1
商+余数
板书
PAGE鸽巢问题
一、教学内容：P68例1
二、教学目标：
知识与技能：使学生理解“抽屉原理”(“鸽巢原理”)的基本形式，并能初步运用“抽屉原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。
过程与方法：结合具体的实际问题，通过操作、观察、比较、说理等数学活动，使学生经历抽屉原理的形成过程，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想。
情感态度和价值观：在主动参与数学活动的过程中，让学生切实体会到探索的乐趣，感受数学的魅力，体会数学的价值。
三、教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。
四、教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解平均分后余数不是1时的至少数。
五、教学准备：扑克牌、笔筒铅笔学具、多媒体课件。
六、教学过程：
（一）创设情趣，激发兴趣
出示刘谦的图片。
师：大家认识他吗？他是以为魔术表演师。
出示一副扑克牌。
师：今天老师也要给大家表演一个“魔术”。老师先找5位同学来配合老师完成这个魔术，为了保证“魔术”的公正，老师通过电脑随机抽取5位同学。看这是一副扑克牌，一共54张，取出大王和小王，还剩下52张牌，下面老师请5位同学，每人随意抽一张，不要让老师看到哦，老师可以知道5张牌中至少有2张牌是同花色的。你们相信吗？
师：看来同学们半信半疑，那我们展示一下他们手中的牌就知道老师说的是否正确了，但是在展示之前，同学们来说说看他们手中的牌出现什么情况就算老师说对了？
生：有两张或者两张以上相同花色的情况就说明老师说对了。
师：见证奇迹的时刻，请同学们展示自己手中的牌。老师说对了吗？谁来说说。
师：看来老师说对了，那是老师运气好吗？我们再来玩一次，这一次我们仍然随机抽取5名同学。
再玩一遍魔术游戏。
师：为什么老师进行了两次魔术游戏，都能说对？这中间存在什么规律吗？今天我们就一起来研究这个魔术中到底有什么奥秘，好吗？
（二）呈现问题，引出探究
为了探究这里面到底有什么奥秘，我们先来看一下下面这个问题：
课件呈现：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
师：“总有”和“至少”这两个词是什么意思？
生：“总有”就是一定有，“至少”就是“最少，最起码”。（学生都有类似的理解。）
师：你觉得这句话说得对吗？请你静静思考一下。
师：大家四人小组用学具来摆一摆，并在草稿本上用画一画、写一写等方法把自己的想法表示出来，并在小组中交流。给大家5分钟时间。
（三）自主探究,初步感知
1.学生探究。（略）
2.反馈交流。
（1）枚举法。
师：把4支铅笔放进3个笔筒中，你们一共有几种摆法？哪个小组来展示一下你们小组的摆法？
学生摆一种教师截图保存一种，便于之后对比观察。
师：有哪个小组除了上面四种外还有不同摆法的吗？
师：那请你来说一下，你觉得“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话对吗？为什么？
生1：对的，摆出来的，一共有四种情况。这四种情况中，第一种摆法有一个笔筒是4支，第二种摆法有一个笔筒是3支，第三种摆法有一个笔筒是2支，第四种摆法有两个笔筒都是2支，所以“总有一个笔筒里至少放进2支铅笔”。
师：比2支多也可以吗?
生：至少有2支笔就是最少是2支,比2支多也是可以的,3支、4支都是符合要求的。
教师再次引导学生观察四种摆法，把符合要求的笔筒用红色笔记标出予以检验，理解“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。
师：刚才老师是通过截图来保存不同摆法的，你们是如何记录的呀？
展示学生的做法，并对学生的方法做出评价。（模拟图示、数字表示等）
（2）假设法。
师：除了像这样把所有可能的情况都列举出来，还有没有别的方法可以证明这句话是正确的呢？
请学生展示并解说其他的方法，如果学生没有想到，教师示范：假设老师的说法是错误的，没有任何笔筒里有2支或2支以上的铅笔，那么每个笔筒里只放1支，剩下1支放入任意一个笔筒中，这个笔筒中就有2支笔了。所以总有一个笔筒中至少有2支铅笔。
教师可连续发问：先在每个笔筒中放1支铅笔，实际上就是在怎样分？为什么一开始就平均分呢？只考虑平均分这一种情况，其他的摆放方法不用考虑了吗？引导学生认识到：先在每个笔筒中放1支铅笔，实际上就是在平均分；平均分，就可以使每个笔筒的铅笔尽可能的少，也就有可能找到和老师说法不一样的情况；平均分已经使每个笔筒中的笔尽可能少了，如果这样都符合要求，那另外的情况肯定也是符合要求的了。
可以用除法算式表示这种分析方法，指出这种思考方法叫做“假设法”。
（3）确认结论。
师：到现在为止，我们可以得出什么结论?
生(齐)：把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
（四）提升思维,构建模型
1.加深感悟。
师：刚才我们通过不同的方法验证了这句话是正确的。现在老师把题目改一改，你们看看还对不对，为什么？
师(口述)：5支铅笔放进4个笔筒，总有一个笔筒至少放进2支铅笔。（生答略。）
教师让学生继续思考：6支铅笔放进5个笔筒,总有一个笔筒至少放进（
）支铅笔。
10支铅笔放进9个笔筒呢？100支铅笔放进99个笔筒呢？
（教师引导学生说理，学生逐渐都采用假设的思路熟练地来表达。)
师:我们为什么都采用假设的方法来分析，而不是画图或举例子呢?
（引导学生对两种方法进行比较,体会枚举方法的优越性和局限性,感悟假设方法更具一般性的特点。）
2.建立模型。
师：通过刚才这几道题目的分析，你有什么发现？
生：只要铅笔的数量比笔筒的数量多1，那么总有一个笔筒至少要放进2支笔。
师：对的。如果我们把（n+1）支铅笔放进n个笔筒，也总有一个笔筒至少放进2支铅笔。笔筒我们会解释了，那么下面这两句话你能得出什么结论呢？
课件呈现：8只鸽子飞回7个鸽巢；10个苹果放进9个抽屉。（学生回答略。）
师：以上这些问题有什么相同之处呢？
生：其实都是一样的，鸽巢、抽屉就相当于笔筒，鸽子、苹果就相当于铅笔。
师：同学们像今天我们研究的这样的数学问题，其实在很早之前就已经有人研究过了，想知道他是谁吗？
师：他叫狄利克雷，是德国数学家，他当时研究的并不是把铅笔放进笔筒，而是把苹果放进抽屉里，所以他把他研究的问题称作“抽屉原理”。
一体机具体介绍。
师：所以呀，我们今天研究的问题其实叫做鸽巢问题。
（五）运用模型，解决问题
1.基本练习。
师：现在我们回过头来，你能来说一说我们开课前扑克牌魔术游戏中蕴含的道理吗？
引导学生分析“如果4人选中了4种不同的花色，剩下的1人不管选那种花色，总会和其他4人里的一人相同。总有一种花色，至少有2人抽中”。
2.巩固练习。
（1）5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么？
（2）随意找13位同学，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？
3.能力提升
5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一只鸽笼至少飞进2只鸽子。同意吗？为什么？
（六）课堂总结
这节课你有什么收获？
鸽巢问题重难点突破
数学课程标准提出“数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效”，程建林老师在《鸽巢原理》的教学设计中，恰当使用信息技术，实现信息技术与数学知识的深度融合。
老师在《鸽巢原理》这节课中通过多种图片资源为学生呈现了各种贴近生活的情境，使学生乐意投入到数学学习活动中。
数学课程标准还提出“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式”，程老师在教学重难点的突破上又采取让学生上台“摆一摆”，由学生向同学们展示把“四支铅笔放进三个笔筒中”的四种情况，学生在经历了这种人机之间的交互，不仅加深了对知识的理解，同时在学生积极参与学习活动的过程中体现了学生的主体地位。在学生自主探究的过程中，程老师发现有些小组的记录过程非常具有代表性，通过手机拍照，然后上传至交互式一体机，直接呈现在一体机上给全班同学讲解，形成了生成性的资源。这两种技术的使用，改变了传统教与学的方式，有效地促进了学生对数学知识的学习。
数学课程标准在评价建议中提出“注重对学生数学学习过程的评价”，程老师使用希沃的“班级优化大师”，在上课过程中对学生知识技能、数学思考、情感态度等方面的表现及时给予评价，相关的数据也可以保留在软件中，为过程性评价提供了丰富的数据支撑，不仅增加了教学评价的形式，同时也促进了学生的全面发展。
