六年级下册数学教案-5 数学广角——鸽巢问题 -人教版

课题：鸽巢问题
教学内容：人教版小学数学六年级下册教材第68～69页。
教材分析：
鸽巢问题又称抽屉原理或鸽巢原理，是组合数学中最简单也是最基本的原理之一，来源于一个基本的数学事实，也是一种数学的思想方法。教材通过几个直观的例子，借助实际操作，介绍了“鸽巢问题”。
学情分析：
此类问题较为抽象，理解比较艰涩，对大部分学生都有一定的挑战性。学生的思维能力一旦弱，学习压力就会大。尤其“鸽巢问题”应用形式千变万化，在理解这一数学方法的基础上，要学会对一些简单的实际问题“模型化”，会用“鸽巢问题”解决问题，从而促进数学逻辑推理能力发展。
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教学策略：
在教学中，可以让学生经历将具体问题“数学化”的过程，以学生熟悉的或者感兴趣的材料作为素材，加强实践操作，借助直观，亲身经历，深刻感知分的过程和分的结果，不断积累对抽屉原理的感性认识，从而缓解学习难度带来的压力。
教学目标：
1、通过操作、观察等活动，初步了解鸽巢原理，学会简单分析方法，解决简单实际问题。
2、在探究过程中，逐步理解和掌握鸽巢原理，经历将具体问题数学化的过程，培养学生模型思想。
3、通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学魅力，体会数学价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。
教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再逐步调整的方法。
教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。
教学准备：课件、学具操作等纸质材料。
教学过程：
一、创设情境、引出新知
1、游戏互动：一副扑克牌取出大小王，还剩52张牌。
生：同桌合作，动手洗牌。随意抽出五张牌，至少有两张牌是相同的花色。
师：自己想想为什么会这样呢？（自由汇报）
问题质疑：把3枝笔放到2个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2枝笔。
师：总有、至少什么意思？（引发学生主动探究简单问题）
4.师生交流、汇报、形成初步认识：
“不管怎么放”也就是说放的情况（
）。
“总有一个”也就是指（
）。
“至少”也就是指（
）。
【设计意图】：安排抽扑克牌“魔术”环节，是为了激发学生的学习兴趣，引出新知；同时依据简单问题情境，把“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”的结论首先抛出来，提出对“总有”和“至少”的质疑，引发了学生的初步探究，进而扫清文字阅读理解障碍。
二、合作探究、学习新知
（一）用操作的方法进行枚举
师：（问题引入）4支铅笔放进3个笔筒，不管怎样放，总有一个笔筒至少放了2支铅笔。（投影课件）
1、小组合作：
（1）画一画：借助“画图”或“数的分解”的方法把各种情况都表示出来；
（2）找一找：每种摆法中最多的一个笔筒放了几支，用笔标出；
（3）我们发现：总有一个笔筒至少放进了（?
）支铅笔。
2、学生汇报，展台展示。
交流后明确：
（1）四种情况：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0）
（2）每种摆法中最多的一个笔筒放进了：4支、3支、2支。
（3）总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。
3、小结：刚才我们通过“画图”、“数的分解”两种方法列举出所有情况验证了结论，这种方法叫“枚举法”，我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论，找到“至少数”呢？
【设计意图】：通过直观的摆铅笔，借助实物模拟、图示、数的分解等方法来分析，罗列实验的所有结果，只要是合理的，教师都应给予鼓励。
（二）采用假设的方法进行推理
1、学生尝试回答。（如果有困难，也可以直接投影书中有关“假设法”的截图）
2、学生操作演示，教师板书图示，讲解指导。
3、语言描述：把4支铅笔平均放在3个笔筒里，每个笔筒放1支，余下的1支，无论放在哪个笔筒，那个笔筒就有2支笔，所以说总有一个笔筒至少放进了2支笔。（指名说，互相说）
4、引导发现、师生交流：
（1）这种分法的实质就是先怎么分的？（平均分）
（2）为什么要一开始就平均分？（均匀地分，使每个笔筒的笔尽可能少一点，方便找到“至少数”），余下的1支，怎么放？（放进哪个笔筒都行）
（3）怎样用算式表示这种方法？（4÷3=1支……1支?
1+1＝2支）算式中的两个“1”是什么意思？
5、学情反馈、加深理解：
（1）5只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进（?
）只鸽子。
（2）6本书放进5个抽屉里，总有一个抽屉至少放进（?
）本书。
（3）100支笔放进99个笔筒，总有一个笔筒至少放进（?
）支笔。
生：列出算式，依据算式说理。
6、发现规律、比较反思：
师：刚才的这种方法就是“假设法”，它里面就蕴含了“平均分”，我们用有余数的除法算式，把平均分的过程简明的表示出来了，现在会用简便方法求“至少数”吗？
【设计意图】：利用假设方法思路进行推理，这种方法比第一种方法更为抽象，但更具一般性。在教学过程中，不断的改变数据（铅笔数比笔筒多1），让学生继续思考，体会假设方法的优点，引导学生归纳一般性的结论。
（三）建立模型、引伸拓展
1、出示题目：5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了几只鸽子？为什么？
学生可能有两种意见：总有一个鸽笼至少有2只或者至少3只。
师：针对两种结果，各自说说自己有什么想法。
2、小组讨论，突破难点：至少2只还是3只？学生说理，边摆边说。（指名说，互相说）
3、质疑、师生交流；强化、对比一下算式。
4、发现规律：先平均分，再用所得的“商+1”
师：（强调）和余数有没有关系？
5、学生交流，明确：与余数无关，不管余多少，都要再平均分，所以就是加1.
6、引申拓展：刚才我们研究了笔放入笔筒的问题，生活中把苹果放入抽屉，把书放入书架，高速路口同时有4辆车通过3个收费口……，类似的问题我们都可以用这种方法解答。
师：你理解上面扑克牌魔术的道理了吗？
生：小组讨论，组内交流，汇报体会。
【设计意图】：通过做一做第一题“鸽子飞进鸽笼”的问题教学，呼应了本单元的标题，扩展了认识范围，也暴露了学生错误思维。然后及时组织引发讨论，实现正确理解，从而引导学生弄清余数大于1时应该怎么思考。
三、知识延伸、拓展思维
师：鸽巢原理的由来。（播放一段视频）
师：介绍
“狄里克雷原理”，由于人们对鸽子飞回鸽巢这个引起思考的故事记忆犹新，所以把这个原理叫做“鸽巢原理”，还有另外一个名字叫“抽屉原理”。
【设计意图】：抽屉原理是重要的数学原理之一，在数论、集合论、组合论等中，有很多应用。也被广泛应用于现实生活中。进行简单的延伸拓展，从而激发学习兴趣，拓展认识。
四、巩固练习，实践反思
1、处理相关习题；学生独立完成，集体讲评；
2、在本节课中，你还有什么收获？
（生自由表达）
3、总结：同学们从数学的角度分析了这些有趣的事情，根据数据特征，发现了抽屉原理的一般规律；初步了解了抽屉原理，会运用抽屉原理解决一些简单的实际问题。
4.下一节课，我们将继续研究另一种类型的抽屉问题；
【设计意图】：抽屉原理问题类型较多，本节课知识是教材中的第一个例题，也是最简单的情况。通过本例的教学，感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法：枚举和假设，学会理解问题中的关键词语“总有和“至少”得含义，形成对抽屉原理的初步认识。课后抛出话题，激发学生学习欲望，使学生明白抽屉原理还有其他形式，做好以后的教学铺垫。
【教学反思】
《“鸽巢问题”是较为抽象的数学问题，对全体学生而言都具有一定的挑战性。如果学生的思维能力略弱，学习时面临的压力会更大。在情境引入时，选取了游戏引入，通过扑克牌游戏，引出问题，使学生思考:“五张扑克牌中至少有两张是同花色的?”在结尾时，利用学生发现的问题，再次解释这个问题，使学生明白“鸽巢问题”也同样应用于现实生活中。
教学例1时，依据情境把“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”的结论先抛出来，并提出对“总有”和“至少”的质疑，使学生明白“总有”是一定有，“至少”是最少，引发学生探究。使学生总结出“发现1”:物体数比笔筒数多1，至少数为2.在学生摆小棒的过程中充分感受“平均分”。
课堂教学中，坚持放手让学生自主探究，通过不断摆小棒，发现归纳出至少数。但随着小棒数量的增多，学生手中的小棒不够用了，这时学生就会思考有没有更好的方法解决这类问题呢。学生会通过摆小棒中的“平均分”的思路，学生可以得出“鸽巢问题”的一般方法:
物体数除以抽屉数等于商和余数，至少数=商+1。
通过本例的教学，感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法：枚举和假设，学会理解问题中的关键词语“总有和“至少”得含义，使学生形成了对抽屉原理的初步认识。