两角差的余弦公式(教案加习题含答案)

两角差的余弦公式
一、课标要求：
本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.
三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.
1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.
二、编写意图与特色
本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；
本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；
本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；
本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.
三、教学内容及课时安排建议
本章教学时间约8课时，具体分配如下：
3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时
3.2简单的恒等变换 约3课时
复习 约2课时
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、课标要求：
本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.
二、编写意图与特色
本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.
三、教学重点与难点
重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；
难点：两角差的余弦公式的探索与证明.
3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
三、学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
四、教学设想：
（一）导入：我们在初中时就知道 ，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式
（二）探讨过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）
展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索与、、、之间的关系，由此得到，认识两角差余弦公式的结构.
思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？
提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
展示多媒体课件
比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.
思考：，，再利用两角差的余弦公式得出
（三）例题讲解
例1、利用和、差角余弦公式求、的值.
解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差.
点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.
例2、已知，是第三象限角，求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，所以
所以
点评：注意角、的象限，也就是符号问题.
三、教学设想：（一）导入：问题1：我们在初中时就知道 ，
，由此我们能否得到大家
可以猜想，是不是等于呢？
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一
起探讨两角差的余弦公式
（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边
与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角
的余弦线来表示。
思考1：怎样构造角和角？（注：要与它们的正弦线、余弦线联系）
思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余
弦公式我们能否用向量的知识来证明？
（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
两角差的余弦公式：
（三）例题讲解：例1、利用和、差角余弦公式求、的值.
解：
点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多
种构造方法，例如：，要学会灵活运用.
例2、已知，是第三象限角，
求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，
所以
所以
点评：注意角、的象限，也就是符号问题.
思考：本题中没有，呢？
（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：
解:
(两角差的余弦公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
A组
一、选择题:共6小题
1、(易)则( )
A. B. C. D.
2、(易)设,若,则( )
A. B. C. D.
3、(易)等于( )
A. B. C. D.
4、(中)的值等于( )
A. B. C. D.
5、(中)的值是( )
A.1 B.2 C.4 D.
6、(中)的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题:共3小题
7、(易)已知,是第四象限角,则=____________.
8、(中)若,则____________.
9、(中)_____________.
三、解答题:共2小题
10、(中)化简:.
11、(中)已知,0＜＜,cos(+)=－,sin(+)=,
求sin()的值.
B组
一、选择题:共6小题
1、(易)=( )
　　A.　　 B.　　 C.　　 D.
2、(中)( )
A. B. C. D.
3、(中)的值是 ( )
A. B. C.1 D.
4、(中)已知则的值为( )
A. B. C. D.
5、(难)如果,则 ( )
A. B. C. D.
6、(难)已知A.B均为钝角,,,则A+B的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题:共3小题
7、(中) =_______
8、(中)函数的图象中相邻两对称轴的距离是 .
9、(中)若则的取值范围. .
三、解答题:共2小题
10、(中)化简:［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·.
11、(难)已知是一元二次方程的两个不等实根,求函数的值域.
C组
解答题:共2小题
1、(难)已知非零常数a、b满足=tan,求.
2、(较难)已知
(1)求的值;
(2)若,求的值.
参考答案
A组
1.D =
2.A ∵,,∴,
原式==
3.B 原式
=
4.C ,更一般的结论
,
5.C 原式==
6.B 原式==
7. 由,是第四象限角,得,
于是有;
8. 由,得
∴
9. ∵,
∴,即原式=
10.解:
= =
=
==
11.解:∵＜α＜, ∴＜+α＜π.又cos(+α)=－, ∴sin(+α)=.
又∵0＜β＜, ∴＜+β＜π.又sin(+β)=, ∴cos(+β)=－,
∴sin(α+β)=－sin［π+(α+β)］=－sin［(+α)+(+β)］
=－［sin(+α)cos(+β)+cos(+α)sin(+β)］
=－［×(－)－×］=.
B组
1.D 原式=
2.B 原式=
3.A =
= =
4.B =
5.C 可得,
∴,得,∴.
6.A
=
又
7.－ 把原式分子、分母同除以cos15°,有
==
=tan(15°－45°)=tan(－30°)=－.
8.
,相邻两对称轴的距离是周期的一半
9. 令,
则
10.解:原式=［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·
=［2sin50°+sin10°(1+)］·
=［2sin50°+sin10°()］·
=(2sin50°+2sin10°·)·cos10°
=2(sin50°cos10°+sin10°·cos50°)
=2sin60°=.
11.解:由已知,有,,
.
又由,知,
.
当时在两个区间上都为单调递增,
故所求值域为.
C组
1.分析:这道题看起来复杂,但是只要能从式子中整理出,用、的三角函数表示出来,再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.
解:由于,则.
整理,有=tan=.
2.解:(1)
∴.
(2)由(1)同理得,
∵,由对称性,不防设,
则,,,
又由(1)知,,,若,则矛盾！
∴,有,,
∴.