(共12张PPT)
1. 对应角_______, 对应边——————的两个三角形,叫做相似三角形 .
相等
成比例
2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。
对应角相等
成比例
3.如何识别两三角形是否相似
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
D
E
O
B
C
A
B
C
D
E
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似
是否有△ABC∽△A’B’C’？
A
B
C
C’
B’
A’
三边对应成 比例
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
A`
B`
C`
A
B
C
D
E
过点D作DE∥BC交AC于点E.
又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC
∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB
∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△A`B`C`∽△ABC
∴△ADE≌△A`B`C`
A
B
C
C’
B’
A’
△ABC∽△A’B’C’
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．
试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．
(2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm
A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
试说明∠BAD=∠CAE.
A
D
C
E
B
∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
答案是2:1
4:2=5:x=6:y
4:x=5:2=6:y
4:x=5:y=6:2
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似 这个问题有其他答案吗
4
5
6
2
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;
三边对应成比例的,两三角形相似.
相似三角形的判定方法
不经历风雨，怎么见彩虹
没有人能随随便便成功!(共21张PPT)
相似三角形的判定
这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？
三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
三个内角对应相等。
观察你与老师的直角三角尺 ,会相似吗？
(30O 与60O)
相
似
画△ ，使三个角分别为60°，45°, 75° 。
①同桌分别量出两个三角形三边的长度；
②同桌这两个三角形相似吗
即： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．
相似
一定需三个角吗？
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
相似三角形的识别方法：
思 考
如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？
观察
C
A
A'
B
B'
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
用数学符号表示：
相似三角形的识别
(两个角分别对应相等的两个三角形相似)
例1 如图所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．
C'
B'
A'
C
B
A
例题欣赏
解：∵ ∠B＝∠B′＝90°（已知），
∠A＝∠A′（已知），
∴ △ABC∽△A′B′C′（两个角分别对应相等的两个三角形相似．）
例2. 如图，△ABC中，
DE∥BC，EF∥AB，
试说明△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
例题分析
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知），
∴ ∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等）
∠AED＝∠C. （两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE∽△EFC. （两个角分别对应相等的两个三角形相似．）
例3.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA·PB=PC·PD
A
B
C
D
P
O
证明:连接AC、BD
∵∠A、∠D都是CB所对的圆周角
⌒
∴ ∠A=∠D
同理: ∠C=∠B
∴△PAC∽△PDB
即PA·PB=PC·PD
A
B
C
D
E
例4.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °则AD·AB= AE·AC
找一找
F
A
B
C
D
G
E
图 1
（1）图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。
（2）图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。
答：相似三角形有 △ADE∽△AFG∽△ABC。
答：相似三角形有 △AOB∽△FOE∽△DOC。
A
B
图 2
C
F
D
E
O
（3）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？
∠B=180 °－（∠A+∠C)=180 °－（80 °+60 °)=40 °
A
B
D
C
图 3
填一填
（1）如图3，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时，
△ACD∽△ABC。
（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足
条件 ，就可以使△ADE与原△ABC相似。
●
A
B
C
E
图 4
∠ ACD
∠ B
(或者∠ ACB＝∠ ADB)
DE//BC
D
(或者∠ C＝∠ ADE)
(或者∠ B＝∠ ADE)
D
如图，在Rt△ABC的一边AB上有一点P(点P与点A，B不重合），过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，想一想满足条件的直线共有多少条？试画出图形并简要说明理由.
思考：若三角形为任意三角形，点P为三角形任意一边上的点，则这样的直线有几条？
我们来试一试…
E
A
B
D
C
解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB
∴ AB2 = AD · AC
∵ AD=2 AC=8
∴ AB =4
3.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB
A
B
C
D
D
B
C
A
18
4 √2
12√2
5、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D
若 AB=6 AD=2 则AC=
BD=
BC=
5、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D
A
B
D
C
E
F
问：若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，
求证：AB : AC=DF : BF
泰勒斯测量金字塔高度的示意图:
A
A′
B C B′ C′
C
B
A
C′
B′
A′
如果人体高度AC＝1.7米，人影长BC＝2.2米，而B′C′＝176米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？
可证△ABC∽△A’B’C’
即
所以A’ C’=1.7x176÷2.2=136m
相似三角形的识别方法有那些？
方法1：通过定义
方法5：通过两角对应相等。
课 堂 小 结
（这可是今天新学的，要牢记噢！)
方法2：平行于三角形一边的直线。
方法3：三边对应成比例。
方法4：两边对应成比例且夹角。
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
2
1
O
C
B
A
D
O
C
D
A
B
A
B
C
D
E
下 课(共16张PPT)
A
B
C
D
E
F
1. 对应角_______, 对应边——————的两个
三角形, 叫做相似三角形
相等
成比例
2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。
对应角相等
成比例
如果△ ABC∽ △DEF, 那么
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？
２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？
两个等腰直角三角形呢？
３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？
两个等边三角形呢？
相似比是多少？
300
450
A′
B′
C′
10
6
12
51°
82°
它们是相似三角形吗？为什么？
A
6
B
C
5
3
82°
47°
6
如果△ ABC∽ △ADE,那么你能找出哪些角的关系？
∠A = ∠A,∠B = ∠ADE,∠C = ∠AED.
边呢？
A
D
E
B
C
=
=
DE ∥ BC
如图,DE//BC,且D是边AB的中点,DE交AC于E, △ADE与△ABC有什么关系 说明理由.
相似
A
B
C
D
E
证明:在△ADE与△ABC中
∠A= ∠A
∵ DE//BC
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
过E作EF//AB交BC于F
可证DBFE是平行四边形
F
△ADE≌△EFC
∴DE=BF,DE=FC
∴△ADE∽△ABC
结论:三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似
2. 如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系 说明理由.
相似
A
B
C
D
E
证明:在△ADE与△ABC中
∠A= ∠A
∵ DE//BC
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
过E作EF//AB交BC于F
∵DBFE是平行四边形
F
∴DE=BF
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似
∴△ADE∽△ABC
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交,所得的三角形与原三角形________.
相似
“A”型
“X”型
（图2）
D
E
O
B
C
A
B
C
D
E
（图1）
请写出它们的对应边的比例式
已知：如图，AB∥EF ∥CD，
3
图中共有____对相似三角形。
△EOF∽△COD
AB∥EF
△AOB∽ △FOE
AB∥CD
EF∥CD
△AOB ∽△DOC
如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个 请你写出来.
解： 与△ABC相似的三角形有3个:
△AＤＥ
△ＧＦＣ
△ＧＯＥ
A
B
C
D
E
F
G
O
如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=450,∠ACB=400.
(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长.
（2）
A
D
B
E
C
解: (1)
DE ∥ BC
△ADE∽△ABC
∠AED=∠C=400.
△ADE∽△ABC
在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950.
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。
A
B
C
D
E
F
G
H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1：4
相似三角形的定义
相似比的性质
相似三角形判定的预备定理
不经历风雨，怎么见彩虹
没有人能随随便便成功!(共13张PPT)
相似三角形的判定
判断两个三角形相似,你有哪些方法
方法1：通过定义（不常用）
方法2：通过平行线。
方法3：三边对应成比例。
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？
此时，
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
E
=？
已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , ∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
B`
C`
A
B
C
E
D
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线)
上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE.
∠A=∠A`, 这样,△ADE≌△A`B`C`.
∵A`B`:AB=A`C`:AC
∴ AD:AB=AE:AC
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A`B`C`∽△ABC
相似三角形的识别
∴△ABC∽△
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 。
(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)
A
B
C
A′
B′
C′
想一想：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
A
B
C
D
E
F
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件
判断它们是否相似.
(2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm
∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,
∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm;
∵ = =1.5
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？
解：
∴△AEB∽△FEC
∵∠1＝∠2
＝ ＝1.5
∴ ＝
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
3.在正方形ABCD中，E为AD上的中点, F是AB的四分一等分点，连结EF、EC；△AEF与△DCE是否相似 说明理由.
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
试说明 △ADE∽△ABC。
A
B
C
D
E
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;
三边对应成比例,两三角形相似.
相似三角形的判定方法
两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
