定积分的应用

1.71定积分在几何中的简单应用
——求平面图形的面积
一 教学目标
【知识与技能目标】 通过本节课的探究，能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。
【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
【情感、态度与价值观目标】通过探究式的学习方法，够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣。
二 教学重难点
【重点】应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。
【难点】如何分割或恰当选择积分变量和确定被积函数。
三 教学过程
（1）知识回顾
①定积分的几何意义.
定积分的几何意义：
它是介于轴、函数的图象及两条直线之间的各部分面积的代数和.(在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号)
②计算平面图形的面积
③微积分基本定理 [其中F (x)=f(x)]
（2）新知应用
例1. 计算由两条抛物线围成图形的面积.
解:作出的图象，如图所示:
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
提炼：利用定积分求平面图形的面积的基本步骤
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系)
(2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)
(3)确定积分变 量及被积函数
(4)列式求解.
及时强化：求下列曲线所围成的面积
（1） （2）
例题2 计算由曲线与及轴所围平面图形的面积．
分析：注意一题多解
A:
B:
C:
此题为一题多解，解体的大方向分为选X做积分变量和选Y做积分变量.一般我们要寻找最简解法，譬如我们熟悉X或Y做积分变量的类型；做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形.
练习1（例2变式题）：
计算由曲线和直线所围成的图形的面积
方法一：分割求解
方法二：选取Y做积分变量求解
（3）课堂小结：本节课你有什么收获，？
（4）能力提升：
如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h，宽为常数b．求证：抛物线拱的面积
提示：如图建立平面直角坐标系，
可设抛物线方程为 ，代抛物线上一点入方程，则有 解得 ，所以抛物线方程为
设一半的面积为S，则有
……
（5）作业强化：课本：P60 A组：T1 B组 T3
河北省赵县洨河上。建于隋代（公元581－618年）大业年间（公元605－618年），由著名匠师李春设计和建造，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完善的古代敞肩石拱桥
O
x
y
x
4
y
O
8
4
2
2
S1
S2
S2
S1
S1
S22
2
2
4
8
O
x
4
y
Ｂ
Ａ
Ｃ
4
x
y
O
8
4
2
2
h
b